學(xué)案3空間圖形基本關(guān)系與公理PPT課件

1、1.空間圖形的根本關(guān)系空間圖形的根本關(guān)系1點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有 兩種；兩種；2點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有個(gè)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有個(gè) 兩種兩種.3空間兩條直線的位置關(guān)系：空間兩條直線的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外直線直線a和直線和直線b在同一個(gè)平面內(nèi)，而且沒有公共點(diǎn)，在同一個(gè)平面內(nèi)，而且沒有公共點(diǎn)， 這樣的兩條直線叫作這樣的兩條直線叫作 ；直線直線b和和c只需一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的兩條直線叫只需一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的兩條直線叫作作 ；不同在任何的一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線；不同在任何的一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫作叫作 .4直線與平面

2、的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系直線和平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)稱直線和平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)稱 ；直線；直線和平面沒有公共點(diǎn)稱和平面沒有公共點(diǎn)稱 ；直線和平面只；直線和平面只需一個(gè)公共點(diǎn)稱需一個(gè)公共點(diǎn)稱 .5平面與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系異面直線異面直線 平行直線平行直線 相交直線相交直線 直線在平面內(nèi)直線在平面內(nèi) 直線和平面平行直線和平面平行 直線和平面相交直線和平面相交平面平面和平面和平面沒有公共點(diǎn)，稱平面沒有公共點(diǎn)，稱平面與平面與平面為為 ；兩個(gè)平面不重合且有公共點(diǎn)，稱兩個(gè)；兩個(gè)平面不重合且有公共點(diǎn)，稱兩個(gè)平面為平面為 .平行平面平行平面相交平面相交平面 位置關(guān)系 點(diǎn)與線 點(diǎn)在直線上點(diǎn)不在

3、直線上 點(diǎn)與面 點(diǎn)在平面內(nèi)點(diǎn)不在平面內(nèi) 線與線 平行直線相交直線（垂直）異面直線 線與面 直線在平面內(nèi) 直線與平面相交（垂直）直線與平面平行 面與面 平行平面相交平面（垂直）平面平面和平面和平面沒有公共點(diǎn)，稱平面沒有公共點(diǎn)，稱平面與平面與平面為為 ；兩個(gè)平面不重合且有公共點(diǎn)，稱兩個(gè)；兩個(gè)平面不重合且有公共點(diǎn)，稱兩個(gè)平面為平面為 .2.空間圖形的公理空間圖形的公理公理公理1 假設(shè)一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直假設(shè)一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的線上的 都在這個(gè)平面內(nèi)即直線在平面都在這個(gè)平面內(nèi)即直線在平面內(nèi)內(nèi).直線直線a在平面在平面內(nèi)，記作內(nèi)，記作 .公理公理2 經(jīng)過不在同

4、一條直線上的三點(diǎn)，經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)， 一個(gè)一個(gè)平面即可以確定一個(gè)平面平面即可以確定一個(gè)平面.平行平面平行平面相交平面相交平面 一切的點(diǎn)一切的點(diǎn) a有且只需有且只需 公理公理3 假設(shè)兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么假設(shè)兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只需它們有且只需 .平面平面與與平面平面的公共直線為的公共直線為a，記作，記作 . 公理公理4 平行于同一條直線的兩條直線平行于同一條直線的兩條直線 . 定理空間中，假設(shè)兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，定理空間中，假設(shè)兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角那么這兩個(gè)角 .相等或互補(bǔ)相等或互補(bǔ) 一條經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)的公共直線一條經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)

5、的公共直線=a 平行平行 如下圖，空間四邊形如下圖，空間四邊形ABCD中，中，E，F(xiàn)，G分別在分別在AB，BC，CD上，且滿足上，且滿足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，過，過E，F(xiàn)，G的平面交的平面交AD于于H，銜接，銜接EH.1求求AH:HD；2求證：求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn)三線共點(diǎn).G GD DC CG GH HD D A AH H=F FB BC CF FE EB BA AE E=2證明：證明：EFGH，且，且 ， ，EFGH,四邊形四邊形EFGH為梯形為梯形.令令EHFG=P,那么那么PEH,而而EH 平面平面ABD，PFG，F(xiàn)G 平面平面BCD，平面，平面A

6、BD平面平面BCD=BD，PBD.EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn)三線共點(diǎn).3 31 1ACACEFEF=4 41 1A AC CG GH H=如下圖，知空間四邊形如下圖，知空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)分別是分別是AB，AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，G，H分別是分別是BC，CD上的點(diǎn)上的點(diǎn).且且CG= BC，CH= DC.求證：求證：1E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)共面；四點(diǎn)共面；2三直線三直線FH，EG， AC共點(diǎn)共點(diǎn).3 31 13 31 11銜接銜接EF，GH.由由E,F分別為分別為AB,AD中點(diǎn)，中點(diǎn)，EF BD,由由CG= BC CH= DC，HG BD，EFHG且且EFHG.EF,HG可確定平面可確定平面,E,

7、F,G,H四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面.2 21 13 31 13 31 13 31 12由由1知知,EFHG為平面圖形，且為平面圖形，且EFHG，EFHG.四邊形四邊形EFHG為梯形，設(shè)直線為梯形，設(shè)直線FH直線直線EG=O，點(diǎn)點(diǎn)O直線直線FH，直線，直線FH 面面ACD，點(diǎn)點(diǎn)O平面平面ACD.同理點(diǎn)同理點(diǎn)O平面平面ABC.又面又面ACD面面ABC=AC，點(diǎn)點(diǎn)O直線直線AC公理公理2.三直線三直線FH，EG，AC共點(diǎn)共點(diǎn).在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中中,對(duì)角線對(duì)角線A1C與平面與平面BDC1交于點(diǎn)交于點(diǎn)O,AC,BD交于點(diǎn)交于點(diǎn)M,求證求證:點(diǎn)點(diǎn)C1,O,M共線共線. 證證 明假設(shè)干點(diǎn)共線

8、也可用根本性質(zhì)明假設(shè)干點(diǎn)共線也可用根本性質(zhì)3 為根據(jù)為根據(jù),找出找出兩個(gè)平面的交線兩個(gè)平面的交線,然后證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩平面的公共然后證明各個(gè)點(diǎn)都是這兩平面的公共點(diǎn)點(diǎn).如下圖如下圖,知知ABC在平面在平面外外,AB,BC,AC的延伸的延伸線分別交平面線分別交平面于于P,Q,R三點(diǎn)三點(diǎn).求證求證:P,Q,R三點(diǎn)共三點(diǎn)共線線.證明：空間不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi)證明：空間不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi).(2)如圖如圖,設(shè)直線設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交兩兩相交,且恣意三條不共點(diǎn)且恣意三條不共點(diǎn).直線直線ab=M,直線直線a和和b確定平面確定平面.ac=N,bc=Q,N,Q都在平

9、面都在平面內(nèi)內(nèi).直線直線a,b,c,d共面于共面于.綜合綜合1，2知知,兩兩兩相交而不過同一點(diǎn)的兩相交而不過同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi)四條直線必在同一平面內(nèi). 所謂點(diǎn)線共面問題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一所謂點(diǎn)線共面問題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問題個(gè)平面內(nèi)的問題.1證明點(diǎn)線共面的主要根據(jù)：假證明點(diǎn)線共面的主要根據(jù)：假設(shè)一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的設(shè)一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的一切點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)公理一切點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)公理1.經(jīng)過不在同一條直經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只需一個(gè)平面公理線上的三點(diǎn)，有且只需一個(gè)平面公理2.2證明點(diǎn)證明點(diǎn)線

10、共面的常用方法線共面的常用方法:納入平面內(nèi)：先確定一個(gè)平面，再納入平面內(nèi)：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).輔助平面法：先證明有關(guān)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面的點(diǎn)、線確定平面，再證明其他元素確定平面，再證明其他元素確定平面，最后，最后證明平面證明平面,重合重合.反證法反證法.3詳細(xì)操作方法：證詳細(xì)操作方法：證明幾點(diǎn)共面的問題可先取三點(diǎn)不共線的三點(diǎn)確定一明幾點(diǎn)共面的問題可先取三點(diǎn)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再證明其他各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)個(gè)平面，再證明其他各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).證明空間幾證明空間幾條直線共面問題可先取兩條相交或平行直線確定一條直線共面問題可先取

11、兩條相交或平行直線確定一個(gè)平面，再證明其他直線均在這個(gè)平面內(nèi)個(gè)平面，再證明其他直線均在這個(gè)平面內(nèi). 如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，判別以下命題能否正確，并闡明理由判別以下命題能否正確，并闡明理由.1直線直線AC1平面平面CC1B1B；2設(shè)正方形設(shè)正方形ABCD與與A1B1C1D1的中心分別為的中心分別為O，O1，平面，平面AA1C1C 平面平面BB1D1D=OO1；3點(diǎn)點(diǎn)A，O，C可以確定一個(gè)平面；可以確定一個(gè)平面；4由點(diǎn)由點(diǎn)A，C1，B1確定的平面是確定的平面是ADC1B1；5由由A，C1，B1確定的平面和由確定的平面和由A，C1， D確定的平面是同一平面確定的平面

12、是同一平面.(1)錯(cuò)誤，假設(shè)錯(cuò)誤，假設(shè)AC1平面平面CC1B1B，那么，那么A平面平面 CC1B1B，這與，這與A 平面平面CC1B1B的幾何現(xiàn)實(shí)矛盾的幾何現(xiàn)實(shí)矛盾.(2)正確，正確，O，O1是這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)是這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn).(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤,點(diǎn)點(diǎn)A，O，C在同不斷線上在同不斷線上.(4)正確，正確，A，C1，B1不共線，不共線，確定平面確定平面.AB1C1D是平行四邊形，過是平行四邊形，過AD與與B1C1兩平行線確兩平行線確定定一平面一平面,又又,都過不共線三點(diǎn)都過不共線三點(diǎn)A,C1,B1，與與重合重合.點(diǎn)點(diǎn)D平面平面AC1B1，即，即A,C1,B1確定的平面是確定的平面是AD

13、C1B1.(5)正確，同正確，同4.如下圖，正方體如下圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，中，M，N分別是分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)的中點(diǎn).問：問：1AM和和CN能否是異面直線？能否是異面直線？2D1B和和CC1能否是異面直能否是異面直 線？請(qǐng)闡明理由線？請(qǐng)闡明理由.2是異面直線，證明如下：是異面直線，證明如下：假設(shè)假設(shè)D1B與與CC1在同一個(gè)平面在同一個(gè)平面D1CC1內(nèi)，內(nèi)，那么那么B平面平面CC1D1，C平面平面CC1D1.BC平面平面CC1D1，這與正方體這與正方體ABCDA1B1C1D1中中BC面面CC1D1相矛相矛盾盾.假設(shè)不成立，故假設(shè)不成立，故D1B與與CC1是異面直線是異

14、面直線. 斷定異面直線的常用方法有：斷定異面直線的常用方法有：1定義法；定義法；2反證法；反證法；3斷定定理法，運(yùn)用異面直線斷定定理來斷斷定定理法，運(yùn)用異面直線斷定定理來斷定時(shí)，應(yīng)留意能否滿足它的定時(shí)，應(yīng)留意能否滿足它的“四要素，即點(diǎn)四要素，即點(diǎn)A平面平面,B ,直線直線a,A a,那么直線那么直線AB與與a異面異面.如下圖，如下圖，E,F在在AD上，上，G,H在在BC上，圖中上，圖中8條線條線段所在的直線，哪些直線段所在的直線，哪些直線互 為 異 面 直 線 ？互 為 異 面 直 線 ？先找規(guī)律性較強(qiáng)的直線，如先找規(guī)律性較強(qiáng)的直線，如AB與與CD，AC與與BD，AD與與BC互為異面直線，然后

15、再把互為異面直線，然后再把EG添入，那么易得添入，那么易得EG分別分別與與AB,AC,BD,DC成異面直線成異面直線.同理，同理，F(xiàn)H也與它們分別成也與它們分別成 異面直線，異面直線，EG與與FH也互為異面直線也互為異面直線.每兩條異面直線稱每兩條異面直線稱 為為“一對(duì)，那么共有一對(duì)，那么共有12對(duì)異面直線對(duì)異面直線. 【分析】【分析】 此題首先要思索將標(biāo)題中的直線此題首先要思索將標(biāo)題中的直線AB與與 CD所成的角是所成的角是60反映在圖形上反映在圖形上 ，故要思索添加輔，故要思索添加輔 助線，通常取中點(diǎn)將其中的直線進(jìn)展平移，從而得解助線，通常取中點(diǎn)將其中的直線進(jìn)展平移，從而得解.在空間四邊形

16、在空間四邊形ABCD中，中，AB=CD且其所成的角是且其所成的角是60，點(diǎn)點(diǎn)M,N分別是分別是BC,AD的中點(diǎn)的中點(diǎn).求直線求直線AB與與MN所所成的角成的角. 【解析】取【解析】取AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)P，連結(jié)，連結(jié)PM,PN，那么有，那么有 PMAB，且，且PM= AB.PNCD，且，且PN= CD. 又又AB=CD且其所成的角是且其所成的角是60， PM=PN，MPN=120或或60. MPN=60或或30，即直線即直線AB與與MN所成的角為所成的角為60或或30.2 21 12 21 1 求異面直線所成的角主要有定義法求異面直線所成的角主要有定義法(平移法平移法)和向量法和向量法. 利用定義

17、法利用定義法(平移法平移法)求異面直線所成角的普通步驟為求異面直線所成角的普通步驟為: (1)平移平移:選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),平移異面直線中的一條或兩條平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線成為相交直線,這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn),如線段的如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)中點(diǎn)或端點(diǎn),也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn)也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn). (2)證明證明:證明所作的角是異面直線所成的角證明所作的角是異面直線所成的角. (3)尋覓尋覓:在立體圖形中在立體圖形中,尋覓或作出含有此角的三角形尋覓或作出含有此角的三角形,并解之并解之. (4)取舍取舍:由于異面

18、直線所成角由于異面直線所成角的取值范圍是的取值范圍是090,所以所作的角為鈍角時(shí)所以所作的角為鈍角時(shí),應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角所成的角.如下圖，在四棱錐如下圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為中，底面是邊長為2的菱形，的菱形，DAB=60,對(duì)角線對(duì)角線AC與與BD交于點(diǎn)交于點(diǎn)O，PO平面平面ABCD，PB與平面與平面ABCD所成角為所成角為60.(1) 求四棱錐的體積；求四棱錐的體積；(2) 假設(shè)假設(shè)E是是PB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，求異面直線求異面直線DE與與PA所成角的余弦值所成角的余弦值.1在四棱錐在四棱錐PABCD中，中，PO平面平面ABCD，PBO是是PB與平面與平面ABCD所成的角，所成的角，即即PBO=60,在在RtPOB中，中，BO=ABsin30=1,又又POOB，PO=BOtan60= ,底面菱形的面積底面菱形的面積S=2 22 =2 ，四棱錐四棱錐PABCD的體積的體積VPABCD= 2 =2.3 32 21 12 23 33 33 31 13 33 3(2)取取AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)F，銜接，銜接EF，DF，E為為PB中點(diǎn)，中點(diǎn)，EFPA.DEF為異面直線為異面直線DE與與PA所成角