si.sir.sis模型

1、數(shù)學(xué)模型實驗實驗報告 10學(xué)院： 專 業(yè)： 姓 名： 學(xué)號： _ 實驗時間： _ 實驗地點：一、實驗項目 ：傳染病模型求解二、實驗?zāi)康暮鸵骯. 求解微分方程的解析解b. 求解微分方程的數(shù)值解三、實驗內(nèi)容問題的描述各種傳染病給人類帶來的巨大的災(zāi)難， 長期以來， 建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的的傳播過 程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律， 探索制止傳染病蔓延的手段等， 一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課 題。不同類型傳染病有各自不同的特點， 在此以一般的傳播機理建立幾種 3 模型。 分別對 3 種建立成功 的模型進(jìn)行模型分析，便可以了解到該傳染病在人類間傳播的大概情況。模型一（ SI 模型）：（1）

2、模型假設(shè)1. 在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N 不變，人群分為健康人和病人， 時刻 t 這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例為 s（t）和 i （t ）。2. 每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)a，a 成為日接觸率，當(dāng)病人與健康者有效接觸時，可使其患病。（2）建立模型根據(jù)假設(shè)，每個病人每天可使 as （ t ）個健康人變成病人， t 時刻病人數(shù)為 Ni（t ），所以每天共有 aNs （t ）i（t）個健康者被感染，即病人的增加率為：Ndi/dt=aNsi又因為 s（t）+i （t）=1 再記時刻 t=0 時病人的比例為 i0則建立好的模型為：didtai(1 i)i（0）=i0s ：健康人比例， i

3、0 ：病人比例在 t=0 時（ 3）模型求解 （代碼、計算結(jié)果或輸出結(jié)果）syms a i t i0% a ：日接觸率， i ：病人比例，的值i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t');y=subs(i,a,i0,);ezplot(y,0,100)figure i=str2double(i); i=0:1; y=*i.*(1-i); plot(i,y)SI 模型的 it 曲線 SI 模型的 di/dti 曲線（ 4）結(jié)果分析由上圖可知，在 i=0:1 內(nèi)， di/dt 總是增大的，且在 i= 時，取到最大值，即在

4、 t->inf 時，所有人 都將患病。上述模型顯然不符合實際，為修正上述結(jié)果，我們重新考慮模型假設(shè)，建立 SIS 模型模型二（ SIS 模型）（ 1） 模型假設(shè)假設(shè)條件與 SI 模型相同；3. 每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù)u，成為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者。顯然 1/u 是平均傳染期。（ 2）模型建立病人的增加率： Ndi/dt=aNsi-uNi且 i （t ） +s（t）=1 ；則有： di/dt=ai（1-i）-ui在此定義 k=a/b ，可知 k 是整個傳染傳染期內(nèi)每個病人有效接觸的平均人數(shù)，成為接觸數(shù)。 則建立好的模型為 ：diaii （1 1/k）d

5、t i（0）=i0;（ 2） 模型求解 （代碼、計算結(jié)果或輸出結(jié)果）>> syms a i u t i0 % a ：日接觸率， i ：病人比例， u：日治愈率， i0 ：病人比例在 t=0 時的值>> dsolve('Di=a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t') % 求用 u 表示的 i t 解析式>> syms k % k ：接觸數(shù)>> k=a/u;>> i=dsolve('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)','i(0)=i0

6、9;,'t') % 求用 k 表示的 i t 解析式% 給 k、 a、 i0 指定特殊值，作出相關(guān)圖像>> y=subs(i,k,a,i0,2,);% k>1 的情況，以k=2 為例>> ezplot(y,0,100)>>pause%作 i t 圖，分析隨時間 t 的增加 , i的變化>> gtext('1/k')>>legend('k>1 本例中 k=2')>>figure>> i=str2double(i);>> i=0:1;>&

7、gt; y=*i.*i-1/2;>> plot(i,y)%作 di/dt i 的圖像>> gtext('1-1/k, 在此圖中為>> legend('k=2')')>> y=subs(i,k,a,i0,); %>> ezplot(y,0,100) %>> legend('k<1 本例中 k=')>>figure>> i=str2double(i);>> i=0:1;>> y=*i.*i-(1-1/;>> plo

8、t(i,y) %>> legend('k=')>> gtext('k<=1 時的情況 ) k<1 的情況，以 k=為例作 i t 圖，分析隨時間 t 增加， i 的變化作 di/dt i 的圖像SIS 模型的 di/dt i 曲線(k>1)SIS模型的 i t 曲線( k>1)SIS 模型的 di/dt i 曲線(k<1)SIS模型的 i t 曲線( k<1)(4)結(jié)果分析不難看出，接觸數(shù)k=1 是一個閾值，當(dāng)k>1時， i (t)的增減性取決于i0 的大小，但其極限值i( )=1-1/k 隨 k 的增加

9、而增加；當(dāng) k<=1 時，病人比例 i ( t )越來越小，最終趨于 0，這是由于傳染期內(nèi)經(jīng)有效解除從而使健康者變?yōu)榈牟∪藬?shù)不超過原來病人數(shù)的緣故。模型三 SIR 模型(1)模型假設(shè)1. 總?cè)藬?shù) N 不變，人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者三類，稱SIR 模型。時刻 t 三類人在總?cè)藬?shù) N中占得比例分別記作 s(t),i(t)和 r(t)。2. 病人的日接觸率為 ，日治愈率為 (與 SI 模型相同)，傳染期接觸數(shù)為(2)模型建立由假設(shè) 1 顯然有s(t) i(t) r (t) 1 對于病愈免疫的移出者而言應(yīng)有1)N ddrt Ni2)再記初始時刻的健康者和病人的比例分別是s0(s0&

10、gt;0) 和 i0(i0>0) (不妨設(shè)移出者的初始值 r0=0 )，則SIR 模型的方程可以寫作dt si i,i(0) t0dsdtsi, s(0) s0(3) 模型求解我們無法求出解析解，先做數(shù)值計算：設(shè) 1,0. 3, i ( 0) 0.02, s(0) 0.98，用 MATLAB軟件編程：function y=ill(t ，x)a=1;b=;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)'ts=0:50;x0=,;t,x=ode45('i11',ts,x0);t,x plot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,paus

11、e plot(x(:,2),x(:,1)表 1 i(t),s(t) 的數(shù)值計算結(jié)果t012345678i(t)s(t)t91015202530354045i(t)0s(t)i(t),s(t) 的圖形i s圖形(相軌線)(4) 結(jié)果分析i(t),s(t)的圖形見左圖， i s的圖形見右圖， 稱為相軌線， 隨著 t的增加， (s,i)沿軌線自右向左運動。 由上圖結(jié)合表 1 可知， i(t) 由初值增長至約 t 7時達(dá)到最大值，然后減少， t ,t 0;s(t) 則單調(diào) 減少 t ,s 0.0398 。進(jìn)行相軌線分析，可得：si 平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域 (s,i) D 為D ( s

12、,t)|s 0,i 0,s i 1在方程( 3)中消去 dt ，并注意到 的定義，可得di 11 i | idt s ， i |s s0 i0( 4)容易求出它的解為i (s0 i0) s 1 ln ss0( 5)在定義域 D 內(nèi)，上式表示的曲線即為相軌線1. 不論初始條件 s0, i0 如何，病人終將消失，即i06)其證明如下，首先，由(ds3)， dt而 s(t)dr0故s 存在；由( 2)， dt，而 r (t)1 ，故 r 存在，dr再由( 1)，對于充分大的 t有 dt2 ，這將導(dǎo)致，與 r 存在相矛盾。2. 最終未被感染的健康者的比例是s ，在( 5)式中令 i 0 得到， s 是

13、方程s0 i0 s1 ln s 0s07)在 (0,1 / ) 內(nèi)的根。在圖形上，s 是相軌線與 s軸在 (0,1/ ) 內(nèi)交點的橫坐標(biāo)。3.若s0 1/ ，則 i(t)先增加，當(dāng) s 1/ 時， i (t)達(dá)到最大值1is0 i0 1 (1 ln s0)(8)然后 i(t)減小且趨近于 0， s(t)則單調(diào)減小至 s 。4. 若 s0 1/ ，則 i(t) 單調(diào)減少至 0， s(t )單調(diào)減少至 s 。如果僅當(dāng)病人比例 i(t)有一 段增長的時期才/ 中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率 越??；醫(yī)療水平認(rèn)為傳染病在蔓延，那么 1/ 是一個閾值，當(dāng) s0 染期接觸數(shù) ，即提高閾值 1/ ，使得 s0 1/ 初始值 s0是一定的，通?？烧J(rèn)為 s0 接近 1)。 并且，即使 s0 1 / ，從( 7)，(8)式可以看出， 控制了蔓延的程度，我們注意到，在1/ (即1/ s0)時傳染病就會蔓延。而減小傳即1/ s0 )，傳染病就不會蔓延(健康者比例的減少時， s 增加(通過作圖分析) ，i m降低，也越高，日治愈率 越大，于是 越小，所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控