函數(shù)極限存在的條件

1、§3 函數(shù)極限存在的條件與討論數(shù)列極限存在的條件一樣，我們將從函數(shù)值的變化趨勢來判斷其極限的存在性。下面的定理只對  這種類型的函數(shù)極限進(jìn)行論述，但其結(jié)論對其它類型的函數(shù)極限也是成立的。下述歸結(jié)原則有時(shí)成為海涅（Heine）定理。定理3.8（歸結(jié)原則）設(shè)  在  內(nèi)有定義。 存在的充要條件是：對任何含于  且以為極限的數(shù)列 ，極限  都存在且相等。證  必要性  設(shè)，則對任給的，存在正數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)，有 。另一方面，設(shè)數(shù)列且，則對上述的，存在，使得當(dāng)  時(shí)，有 ，從而有 。

2、這就證明了 。(充分性) 設(shè)對任何數(shù)列且，有，則可用反證法推出 事實(shí)上，倘若當(dāng)時(shí)不以為極限，則存在某，對任何（不論多么小），總存在一點(diǎn)，盡管 ，但有 。現(xiàn)依次取 ，則存在相應(yīng)的點(diǎn) ，,使得，而，。顯然數(shù)列  且 ，但當(dāng)時(shí)不趨于。這與假設(shè)相矛盾，所以必有。注1  歸結(jié)原則也可簡述為：對任何（）有。注2          若可找到一個(gè)以為極限的數(shù)列，使不存在，或找到兩個(gè)都以為極限的數(shù)列注3        

3、60; 與，使   與  都存在而不相等，則  不存在。例1  證明極限  不存在。證  設(shè)，（），則顯然有，（），（）。故有歸結(jié)原則即得結(jié)論。函數(shù)的圖象如圖3-4所示。由圖象可見，當(dāng)時(shí)，其函數(shù)值無限地在-1與1的范圍內(nèi)振蕩，而不趨于任何確定的數(shù)。歸結(jié)原則的意義在于把函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限來處理。從而，我們能應(yīng)用歸結(jié)原則和數(shù)列極限的有關(guān)性質(zhì)來證明上一節(jié)中所述的函數(shù)極限的所有性質(zhì)。對于，和這四種類型的單側(cè)極限，相應(yīng)的歸結(jié)原則可表示為更強(qiáng)的形式，現(xiàn)以這種類型為例闡述如下：定理3.9設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心右鄰域 有定義。的充要條件是：

4、對任何以為極限的遞減數(shù)列，有。這個(gè)定理的證明可仿照定理3.8進(jìn)行，但在運(yùn)用反證法證明充分性時(shí)，對的取法要作適當(dāng)?shù)男薷模员ＷC所找到的數(shù)列能遞減地趨于。證明的細(xì)節(jié)留給讀者作為練習(xí)。相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)有界定理，關(guān)于上述四類單側(cè)極限也有相應(yīng)的定理?，F(xiàn)以這種類型為例敘述如下：定理3.10設(shè)是定義在上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限存在。證  不妨設(shè)在上遞增。因在上有界，由確界原理，存在，記為。下證 。事實(shí)上，任給，按下確界定義，存在，使得。取 ，則由的遞增性，對一切=，有另一方面，由，更有。從而對一切有這就證得 。最后，我們敘述并證明關(guān)于函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則。定理3.11（柯西準(zhǔn)則）設(shè)在  

5、;內(nèi)有定義。存在的充要條件是：任給，存在正數(shù)，使得對任何，有證 必要性  設(shè)，則對任給的，存在正數(shù)，使得對任何 有 。于是對任何 ， 有。充分性  設(shè)數(shù)列 且 。按假設(shè)，對任給的，存在正數(shù)，使得對任何，有。由于（），對上述的，存在，使得當(dāng)  時(shí)有 ，, 從而有 .于是,按數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則,數(shù)列的極限存在,記為,即.設(shè)另一數(shù)列 且, 則如上所證,  存在, 記為.  現(xiàn)證.為此,考慮數(shù)列:,易見 且  (見第二章§3例7).故仍如上所證, 也收斂.于是，作為的兩個(gè)子列，與必有相同的極限。所以由歸結(jié)原則推得按照函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則，我們能寫出極限