圓錐曲線之軌跡問題例題習(xí)題精品

1、專題：圓錐曲線之軌跡問題一、臨陣磨槍1. 直接法五部法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系,或這些幾何條件簡單明了且易于表達(dá),我們只須把這種關(guān)系“譯成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程.這種求軌跡的方法稱之為直接法.2. 定義法：假設(shè)動點軌跡的條件符合某一根本軌跡的定義如圓、橢圓、雙曲線、拋物線 的定義,那么可根據(jù)定義直接求出動點的軌跡方程.3. 坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法代入法：有些問題中,其動點滿足的條件不便于等式列出,但動點是隨 著另一動點稱之為相關(guān)點而運動的,如果相關(guān)點所滿足的條件是明顯的,或是可分析的,這時我們可以用動點坐標(biāo)表示相關(guān)點坐標(biāo),根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程

2、,這種求軌跡的方法坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法,也稱相關(guān)點法或代入法.4. 參數(shù)法：有時求動點應(yīng)滿足的幾何條件不易求出,也無明顯的相關(guān)點,但卻較易發(fā)現(xiàn) 或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)這個動點的運動常常受到另一個變量角度、斜率、比值、截距或時間等的制約,即動點坐標(biāo)x, y中的x, y分別隨另一變量的變化而變化,我們可以把這個變量設(shè)為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程,這種方法叫做參數(shù)法,如果需要得到軌跡的普通方程, 只要消去參變量即可.5. 交軌法：在求動點軌跡時,有時會出現(xiàn)要求兩動曲線交點的軌跡問題,這類問題?？赏ㄟ^解方程組得出交點含參數(shù)的坐標(biāo),再消去參數(shù)得出所求軌跡方程,此種方法稱為交軌法.二、小試牛刀1.M -3,0, N 3,0

3、PM PN 6,那么動點P的軌跡方程為 析：Q MN PM PN .點P的軌跡一定是線段 MN的延長線.故所求軌跡方程是y 0x 322222. 圓.的萬程為x y 2,圓O的萬程為x y 8x 10 0 ,由動點P向兩圓所引的切線長相等,那么動點 P的軌跡方程為析：.圓.與圓O外切于點M2,0兩圓的內(nèi)公切線上的點向兩圓所引的切線長都相等,故動點P的軌跡就是兩圓的內(nèi)公切線,其方程為x 222x y3. 橢圓 土 1a b 0 ,M是橢圓上一動點,Fi為橢圓的左焦點,那么線段MFia b的中點P的軌跡方程為析：設(shè)Px, yMx0,y.又F c,0由中點坐標(biāo)公式可得：xcxc_222x 2x cx

4、 yt20又點M(x0,y.)在橢圓221(a b 0)上yy2 ya by c22 xa4 1(a b 0)因此中點P的軌跡方程為(2x C) 4y b24.A、B、C是不在同一直線上的三點,P是動點,假設(shè)OP OA (AB那么點P的軌跡一定過三角形 ABCO是平面1BC), 2心.ABC內(nèi)的0,的重uur uuu uurOP OA APuuuAB1 uun BC 2uunABuur BDuUTADuunuHTAPAD,0,故點P的軌跡是射線 AD ,所以,軌析：設(shè)點D為BC的中點,顯然有跡一定過三角形的重心.二、大顯身手1、直接法薩1y軸的正半軸交于 A、B兩點,點Q例1、設(shè)過點P (x,

5、y)的直線分別與 x軸的正半軸和與點P關(guān)于y軸對稱,假設(shè)BP 2PA,且OQ AB 1,那么P點的軌跡方程為解：設(shè) A(a,0), B(0,b)又 P(x, y)unnuuu所以 BP (x,y b), PA (ax, y)又BP 2PA,所以2(a bx)2y3 -x23yA(|x,0), B(0,3y)uuuAB(|x,3y)而Q點與P點關(guān)于y軸對稱,uuur.點Q的坐標(biāo)為(x, y)即OQ (x,y)又OQ AB 1所以jx2 3y2 1這個方程即為所求軌跡方程.變式1、兩點M (-2,0), N (2,0),點P滿足MN MP MN NP 0,動點P的軌跡方程為解:設(shè) P(x, y)那

6、么：MN2_2 uuuu4, MP . (x 2)2 y2,MNuur (4,0), NP (x 2,y).又 MN| |MP MN NP 04j(x 2)2 y2 4(x 2) 0化簡得所求軌跡方程為：寸 8x2、定義法例 2、 圓 A 的方程為 (x 3)2 y2 100,點 B (-3,0), M 為圓 O 上任意一點,BM的中垂線交 AM于點P,求點 P的軌跡方程.解：由題意知：MP BPPB PA MP PA AM又圓A的半徑為10,所以|AM 10PA PB 10即點P的軌跡是以定點A(3,0) B(-3,0)為焦點,10為長軸的橢圓(橢圓與長軸所在的對稱軸的兩交點除外)其軌跡方程

7、為22工匕1(x25 165)22變式2、橢圓與與 1(a b 0)的焦點為a bF1,F2 , P是橢圓上的任意一點,如果 M是線段F1 P的中點,那么動點 M 的軌跡方程是 解：由于M是線段F1P的中點,連接 OM,貝U1|OM| JPF2 |MF12所由橢圓的定義知：|PF1| PF2 2a1MF|MO (PFJ IPF2) a即點M到定點O、定點F1的距離和為定值 a,故動點M的軌跡是以O(shè)、F1為焦點,以a為長軸的橢圓,其方程為 A J) a(說明：此題也可以用代入法解決)4y2b23、坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法(代入法)一 2例3、從雙曲線x2y 1上一點Q引直線x+y=2的垂線,垂足為N,求線段Q

8、N的中點P的軌跡方程.解：設(shè)Qx0, y0那么由x y為y.可得n點坐標(biāo)x y 2 0x V.2x 設(shè) P(x,y)2x.y.22由中點坐標(biāo)公式可得：3x. y.22x0 3y.222x2y2xo2y3xy3y2222 又點Q(xo,yo)在雙曲線x y 1上,所以4x2 4y2代入得(3x2)2 (x 3y 2)21 2化簡得(x )221,-即為所求軌跡方程.2變式3、自拋物線y2 2x上任意一點p向其準(zhǔn)線1引垂線,垂足為Q,連接頂點O與P的直線和連接焦點 F與Q的直線交于R,求點R的軌跡方程.解：設(shè)Rx, y, Plxy.拋物線的方程是 y2 2x_ 1-1、 f2,q 2,y.所以 直

9、線OP的方程是y0x x0x .直線qf的方程是 v0x y聯(lián)立兩方程得:X0y.2x2x 12y2x 1：y.o2又 y.2x.所以一22 22化簡得：2x2 y2 x .即為所求軌跡方程. 2x 1 2x 14、參數(shù)法22 V例4、設(shè)橢圓方程為x 1,過點M .,1的直線l交橢圓4111于A、B,點P灑足OP OA OB,點N ,當(dāng)直線l繞點M旋轉(zhuǎn)時,求：1動點P的軌跡方程； 2 |Np的最大、最小值.解：(1)設(shè)直線l的方程為y kx 1代入橢圓方程得(4 k2)x2 2kx 3 0設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2)那么x22kyi y2 k(xix2)22k2k2設(shè)動點P的坐

10、標(biāo)為(x, y),由 OP1 一(OA OB)可得2x1x2x 2y 2k4k2消去參數(shù)k即得所求軌跡方程為:4x2y2 y 0當(dāng)斜率k不存在時,點P的坐標(biāo)為(0,0)顯然在軌跡上,故動點P的軌跡方程為4x2 y2 y 0.(2) P點的軌跡方程可以化為16x2 4(y ；)2 ,111所以可設(shè)點P的坐標(biāo)為(一cos ,4212,1 2)(2sin3)27sin )那么PN2 J (cos43 ,(cos1612所以當(dāng)cosPNmax)232cos 161 -cos 421:當(dāng) cos61時PNmin2變式4、過拋物線y 2x的頂點作互相垂直的兩弦 OA、OB.(1)求弦AB的中點的軌跡方程；

11、(2)證實：直線 AB 解：(1)由題意知OA的斜率存在且不為零,設(shè)為 k與x軸的交點為定點.那么直線OA的方程為y kx與拋物線y2 2x聯(lián)立可得點A的坐標(biāo)為(號,)同理可得點B的坐標(biāo)為(2k2, 2k) 設(shè)弦AB的中點為M (x,y)貝U.x k21k2消去k得弦AB的中點的軌跡方程為ky2 x 2(2)直線AB的斜率為kARAB所以,其方程為y 2k -1k1 k2k , c. 2、c(x 2k )令 y 0 得 x 2k2故直線AB與x軸的焦點為定點(2,0)5、交軌法2例5、垂直于x軸的直線交雙曲線弓 1于M、N兩點, b2A , A2為雙曲線的頂點,求直線A1M與A2 N的交點P的

12、軌跡方程, 并指出軌跡的形狀.解：.解：(1)設(shè)M點的坐標(biāo)為(xi,yi),那么N點坐標(biāo)為(xi, -四,乂有 A( a,0),A2(a,0)那么A1M的方程為：y=一丑一 (x a) x1 aA2N的方程為：y=y1一(x a) x1 ax得：寸= (x2 a2)x1 a乂因點M在雙曲線上,2 x_ 2 a24 1,即 y： b2、(xaa2).2代入并整理得亳a得 A(窖,勿)同理 B(2pk 2, -2pk)k2k2&=1.此即為P的軌跡方程.b22變式5、設(shè)點A、B為拋物線y 2px( p 0)上除原點以外的兩個動點,OALOB,OM AB于M求點M的軌跡方程,并說明它表示什么曲線.1

13、解：設(shè) OA=y=kx,那么 OB : y x ky kx2y 2pxkABAB: y2p1.2 pk-kk k2d , 2 T722pk72kkk2pk 2 (x 1 kk1 I而op:J x 2pk k21 k2 xk1_.21k - kkkx1 kkx1 k2pk2)2pk31 k2為A曲OM的交點,聯(lián)立kIk22pk31 k22pk1 k2k1 k2(x1 k2 xkk(x 2p). k22p).(1)(1) x消去k,y2=-(x-2p)x,x 2+y2-2px=0(x 豐 0)即為所求.四、享受戰(zhàn)果1、 M( 2,0), N(2,0), PMPN4,那么動點P的軌跡方程為析：滿足條

14、件的點在線段MN上,故軌跡方程是y 0( 2 x 2)2、經(jīng)過拋物線y2 2px焦點的弦的中點的軌跡方程為析：設(shè)過焦點的弦AB所在的直線方程為y k(x衛(wèi))代入拋物線方程消去y的2 2 2,2, p、22 2 八 2k pk (x )2 px k x p(k 2)x0設(shè) A(Xi, yi), Bg, y2)AB 的中點為 M (x,y)2x1x2p(k 2)x 22 k消去參數(shù)k得y y2k2p-(x1 x2) p22kp(x )這就是所求軌跡方程.2一23、與圓x析：假設(shè)與圓2y 4x 0外切,又與y軸相切的圓的圓心的軌跡萬程為 x2 y2 4x 0外切,又與y軸相切的圓在y軸的左側(cè),那么所

15、求軌跡方程為y 0( x 0)假設(shè)與圓x2y2 4x 0外切,又與y軸相切的圓在y軸的右側(cè)那么動圓圓心到定圓圓心地距離減去定圓半徑2等丁動圓圓心到y(tǒng)軸的距離,故所求軌跡方程為y2 8x.22x y4、設(shè)Ai,A2是橢圓 1的左右頂點,Pi, P2是垂直于長軸的弦的端點,那么直線 AR94與A2P2的交點的軌跡方程為 解析：設(shè)交點 P(x,y) ,Ai(- 3,0),A2(3,0),Pi(xo,yo),P2(x., yo),- Ai、Pi、P 共線,.y_xV0xyx 3A2、P2、P 共線,.y_xY0x0yx 3解得x0=9,y重,代入得xx2 x09222紗i,即2L匕i4942 x5、橢

16、圓42七 1的焦點為Fi, F2, A是橢圓上任意一點,過點Fi向Z F1AF2的外3PF2AFi|af22a =8- (xix又y2i)2yi28xii2xiIlyi22ec、2x 12y rt、r 4 1代入得D的軌跡方程.角平分線作垂線于 D,那么點D的軌跡方程為 解：設(shè)FiD的延長線交直線F2A 丁 P,D(x,y), P(xi, yi)由橢圓的定義知：6、過原點的雙曲線以 F (4,0)為一個焦點,且實軸長為2,貝U此雙曲線的中央的軌跡方程為析：設(shè)雙曲線的中央為 P(x, y),那么雙曲線的另一個焦點為 F (2x 4,2 y)乂雙曲線過原點,且實軸長為2, 所以|OFOF | 4

17、即 4 J(2x 4)2 4y2化簡得：(x 2)2y2 16(x6).7、在 ABC中,B (-3,0), C(3,0),ADL BC于 D,1.(1)求點H和點A的軌跡萬程；(2)設(shè)P (-1,0),8FiiiJ,.)那么111能成等差數(shù)列嗎?HP PQ HQ解(1)設(shè)H點的坐標(biāo)為(x,y),對應(yīng)的A的坐標(biāo)為(Xi,yi),那么D的坐標(biāo)為(Xi,0),由H分有向線段AD所成的比為1知8xi8 9yiJAP 0Q1DxABC的垂心H分AD所成的比為Q又 BHACyixi 3故旦一x 39 y8x 3i,2即三i(y0),此即點H的軌跡方程.x再將yxi8代入上式,得9yi故點A的軌跡方程為2

18、xi6481yi8i,i,8 2 y 81i(y0).由(1)可知,P, Q分別為橢圓的左右焦點,設(shè) H(x, y),且HP PQ能成等差QH數(shù)列,那么2PQ1HPL,但HQPQ2,HP1 八3 -x, HQ313 x,故3i3】x32但此時匕811 -x321 3 0,矛盾!9,化簡得27HP PQ QH不可能成等差數(shù)列.8、22直線l與橢圓與馬 1(a b 0)有且僅有一個交點 Q,且與x軸、y軸分別 a b解：由,直線l不過橢圓的四個頂點,所以設(shè)直線l的方程為 ykxm(k代入橢圓方程b2x222a y2,22 2a b,付 b x2 , 2 2-a (k x 2kmxm2)a2b2化簡

19、后,得關(guān)于的一元二一次方程2 222(a k b )x2222ka mx a m2 ab20.交于R、S,求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程.0).于是其判別式22(2ka2m)2 ,4a2b2 (a2k24(a2k b2由,得 =0.即a2k2 b22 m .線方程y=kx+m中,分別令y=0,x=0,令頂點P的坐標(biāo)為(x, y),由,得myxE,解得k, xym.my.2代入式并整理,得2 a.222b )(a m一 2、m ).求得R(m,0),S(0,m).2xb22y1,即為所求頂點P的軌跡方程.9、動點P到直線x=1的距離與它到點 A 是(4,0)的距離之比為

20、2,那么點P的軌跡方程略解：由題意知：點 P到點A (4,0)與它到直線x=1的距離之比為設(shè)P(x,y)那么(x 4)2 y2x 1化簡得：3x24y230x63 010、 A (0,7),另一焦點F的軌跡方程.-7) C (12,2),以C為一個焦點作過 A、B的橢圓,求橢圓的解：由題意得:所以 AF支,其方程是ACBF11、圓O的方程AF故動點2x481(yBCBF 而 AC13, BC 15F的軌跡是分別以 A、B為焦點,實軸為2的雙曲線的下半1)4,假設(shè)拋物線過點 A(0 , -1),B(0,1),且以圓的切線為準(zhǔn)線,求拋物線的焦點的軌跡方程.PA PB,PO2 OA2 PO 2 OB

21、2設(shè) P(x, y)那么x2y2 2(x4)2y2 63胃x 即為動點P的軌跡萬程.213、拋物線2px,過頂點的兩弦 OA、OB互相垂直,以O(shè)A、OB為直徑的兩圓解：首先設(shè)焦點為F x,y ,準(zhǔn)線即圓的切線為LA到L的距離為a, B到L的距離為b那么根據(jù)拋物線的性質(zhì)有 a=|AF| b=|BF|于是 |AF|+|BF|=a+b而a+b恰是圓的直徑畫個示意圖想想為什么既有 |AF|+|BF|=4故 動焦點F的軌跡是分別以 A,B為焦點的橢圓, 而且半長軸是222故所求軌跡方程是 匕二 1.43222212、圓O的萬程x y 2,圓O的萬程x y 8x 10 0,由動點P向圓O 和圓O所引的切線

22、長相等,求動點 P的軌跡方程.A、B,那么由題意有:解:設(shè)由動點P向圓.和圓O所引的的切線的切點分別為的另一交點Q的軌跡方程.22解：設(shè) A-,乂,B坦,y2.由 OAOB 可得2p2p.koA koB 1, y y24 p yy2可以求得,以O(shè)A為直徑的圓的方程為:x(xxy(y貝o.2即 x(x ) y(y y) o.2p同理,以O(shè)B為直徑的圓的方程為 xxy(yy2)o.設(shè)Px,yo,點p為兩圓交點,那么2,y、xo(xo) yo(yo y) o,x(x.2pyo(yoy2)o.所以,yi,y2可以看作是關(guān)于 z的方程X0(X022p)y0( y0 z) 0的兩根, 一 2_ 一 22

23、一 -整理得 X0Z2pyz 2p(X0 y) 0.由根與系數(shù)的關(guān)系,可知yiy2組送Yo)X0結(jié)合式,有X：y22pX0 即(X.p)2 y2所以p的軌跡方程為(X P) y222 /p (X 0).故 點p的軌跡是以(p,0)為圓心,p為半徑的圓(去掉原點)(另法)；解：設(shè)A(X1,y1), B(x2, y2),直線AB的方程為ykX b (顯然 b 0).y kxbb(42X1 貝U y2 2px 1 2px y2pp) 2pk 0XkX 222 by 2pxy 2pkx (兩邊同時除以 x ) b.OAOB 那么YiY2X1X22 pk.代入直線ab的方程：y k(x 2p).1OP

24、ABOP 的萬程為： v X k、式聯(lián)立消去k ,得到P的軌跡方程y2x(x 2 p),( X 0)當(dāng)AB X軸時,斜率k不存在,此時 P點為AB中點,且在X軸上,坐標(biāo)為(2p,0)滿足上面的方程,因此 P點的軌跡方程為 y2x(x 2 p),( X 0).14、三點 N(0,2 a),p (t, 2 a), F(0,a),其中 a 0,動點 M 滿足 NP PM且 PM MF 2.aob的面積的最小值.(1)求動點M的軌跡方程;(2)過點F作直線與動點 M的軌跡交于A、B兩點,求解：(1) 動點 M 滿足 NP PM 0,且 PM MF 2.動點M的軌跡是以F(0,a)為焦點,以ya為準(zhǔn)線的

25、拋物線.所以點M的軌跡方程是x2 4ay.AB的斜率存在設(shè)為k,那么直線AB的方程為y kx a與拋物線方程聯(lián)立消去y得：2 x4akx 4a20那么xx24ak,xx24a11而SAOB-a x1 x222(2)顯然直線2當(dāng)k所以設(shè) A(x, y), Bg, y)a,(x x2)24x1x2 2a2 . k2 1.時,AOB面積的最小值為2a2.15、點Q位于直線x3右側(cè),且到點(1)求動點Q的軌跡C的方程；F (-1,0)與直線x 3的距離之和為4.(2)直線l過點M (1,0)且交曲線C于A、B兩點,點P滿足FP1 -(FA FB),且EP AB 0,求點E(xo,0)的橫坐標(biāo)Xo的取值

26、范圍.解：(1)設(shè) Q(x, y)(x3)由題意有x 3 . (x 1)2 y2 42y 4x, x 3,0動點Q的軌跡C為以F (1,0)為焦點,坐標(biāo)原點為頂點的拋物線在直線x 3右側(cè)的局部.uuu由FP1 ULU UUU -(FA FB)可知：點P為線段AB的中點,設(shè) A(x,y),Bg, y2)由2 yy4xk(x 1)可得2 22、.22k2 4k x (4 2k )x k0,Xx2,2,必k_ 2 24(4 2k ) 4k0由題意(x1 3)( x2 3)0解之得32-k 1.A(x 3) (x2 3)04(2)由題意可設(shè)直線l的方程為y k(x 1)1.uuu uuu由 EP AB

27、 0可知 EPAB2k21.2、一 k 1 整理得xoXo k,11 c、, Xo的取值氾圍ZE ( , 3)32216、設(shè)雙曲線C1的方程為jX2 % 1(a 0,b 0), a bA、B為其左、右兩個頂點,P是雙曲線C1上的任意一點,弓 I QB PB, QA PA, AQ 與 BQ 交于點 Q.(I )求Q點的軌跡方程；(口)設(shè)(I)中所求軌跡為 C2, C1、C2的離心率分別為 e、e2,當(dāng)e1 J2時,e2的取值范圍.(I)解法一：設(shè) P(xo,yo), Q(x ,y )A( a,0), B(a,0),QBPB,QA PAW 工 1(1)x0 a x aXoyoa由得:2yo 2Xo

28、2Xo2a2b21,代入(3)得b2y2即a2x2b2y22a2y22Xo a2 2x a4a2y2ab22a4a經(jīng)檢驗點(a,0), (a,0)不合因此Q點的軌跡方程為a2x2 b2y2=a4 (除點(-a,0) ,(a,0)外)(I)解法二：設(shè) P(xo,yo), Q(x,y), . A( a, 0), B(a , 0), QB PB, QA PAy0X0 ay.X0 ayx a由(1) (2)得 2ax.(x(xa)x.a)x.yy.yy.axax2 a2a(1)2ax把3代入2解得:y.X0(X0 a)(x a) (x2 把34代入當(dāng) a當(dāng)xa時,不合題意,22. 224a x b y

29、 aQ點軌跡方程為a2x22y.1得蘭a2x(3) a)(x yy2, 22、2(X a )1221y b.22b y(I)解法三：設(shè) P(x,y.),Q(x,y),y.(1)a)(4)X0 a x a連接PQ,取PQ中點Ra4除點a,.,a,.外. . PAX QA1-1-2|PQ|,|RB| 2|PQ|PA QA,QB PB, | RA| RA| | RB |, R點在y軸上X0 x0,即 Xo把(2)代入得:2y0y21a x22Xo ayo y2把(3)代入竺a(3)22四1得蘭I 2 ,2b axa時,不合題意,x2 a2整理得：a2x2b2 y2 a4Q點軌跡方程為a2x2 b2y

30、222 2(X a )2,2y b0a4(除去點(a,0), (a,0)外)(II)解:由(I)得C2的方程為2 y 4 ab21e2 11(、2)2117、如右圖,給出定點 A(a, 0)(a0)和直線l: x= 1. B是直線l 上的動點,Z BOA的角平分線交AB 丁 C.求點C的軌跡方程,并討論 方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.依題意,記B(- 1, b)(b R),那么直線OA和OB的方程分別為y=0 和y= bx.設(shè)點C(x, y),那么有0vxa,由OC平分Z AOB,知點C 到OA、OB距離相等.根據(jù)點到直線的距離公式得|y|y 成|.1 b2依題設(shè),點C在直線AB上,故有由X

31、 a乒0得 b= -(1一些將式代入式得22y21 +戶令= y-32, (x a)x a整理得y2(1 a)x2 2ax+ (1 + a)y2 = 0,假設(shè) y豐0,那么(1 a)x2 2ax+ (1 + a)y2=0(0xa);假設(shè)y = 0, WJ b=0 , ZAOB=兀,點C的坐標(biāo)為(0, 0),滿足上式.綜上得點C的軌跡方程為(1- a)x2 2ax+ (1 + a)y2=0(0 x a).(i) 當(dāng)a= 1時,軌跡方程化為y2 = x(0x 1).此時,方程表示拋物線弧段；(ii) 當(dāng)a 1時,軌跡方程為(x -)2、,21 a + - = 1(0 x a) . a 2 a(3rv所以,當(dāng)01時,方程表示雙曲線一支的弧段.2218、橢圓亳 %=1(a b 0),點P為其上一點,F1、F2為橢圓的焦點, a bZF1PF2的外角平分線為l,點F2關(guān)丁 l的對