高中數(shù)學小專題(精品)45

1、數(shù)學小專題第-3 -頁共12頁數(shù)學小專題微專題45 利用均值不等式求最值一、基礎知識：1、高中階段涉及的幾個平均數(shù)：設 a 0 i 1,2,L ,n(1)調和平均數(shù)：Hn(2)幾何平均數(shù)：Gn(3)代數(shù)平均數(shù)：An(4)平方平均數(shù)：Qnn111Laia2ann aia2 L ana1a2L22.aia2Lan2an2、均值不等式：HnGnAnQn,等號成立的條件均為：aa?Lan特別的，當n 2時，G2 A2 Tab 上即基本不等式23、基本不等式的幾個變形：(1) a b 2Tab a,b 0 ：多用在求和式的最小值且涉及求和的項存在乘積為定值的情況a b mH 24222- 2 2 2。3

2、 二一,則 yx x 331x一一3尋4xx xxxx(2) ab :多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項存在和為定值的情況2(3) a2 b2 2ab,本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等式的適用范圍 a,b R4、利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”(1)正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數(shù)，如果有負數(shù)則考慮變形或使用其它方法(2)定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側不能還含有核心變量，例如：當x 0,求y x2 -的最小值。此時若直接使用均值不等式， 則y x2 9 2V4x ,右側依然含有x, xx則無法找到最值。243 .一 求和

3、的式子一乘積為定值。例如：上式中y x 一為了乘積消掉x,則要將一拆為兩個3 乘積的式子一和為定值，例如 0 x ,求f x x 3 2x的最大值。則考慮變積為22112x32x9和后保證x能夠消掉，所以f x x 3 2x-2x 3 2x-（3）2228等：若能利用均值不等式求得最值，則要保證等號成立，要注意以下兩點： 若求最值的過程中多次使用均值不等式，則均值不等式等號成立的條件必須能夠同時成立（彼此不沖突）若涉及的變量有初始范圍要求，則使用均值不等式后要解出等號成立時變量的值，并驗證是否符合初始范圍。5、常見求最值的題目類型（1）構造乘積與和為定值的情況，如上面所舉的兩個例子已知ax b

4、y 1 （a為常數(shù)），求m 口的最值, x y此類問題的特點在于已知條件中變量位于分子（或分母）位置上，所求表達式變量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，則可利用常數(shù)“1”將已知與所求進行相乘，從而得到常數(shù)項與互為倒數(shù)的兩項，然后利用均值不等式求解。3 2例如：已知x 0,y 0,2x 3y 1,求一 一的最小值 x y的3232斛：_2x3y1224xyxy9y 4x12x y（3）運用均值不等式將方程轉為所求式子的不等式，通過解不等式求解:例如：已知x 0, y0,2x y xy 4 ,求2x y的最小值解:xy2x y1 2x y2222x y8所以 2x y xy 4 2x y2x

5、y 2一2即 2x y 8 2x y32 0,可解得 2x y 4J3 4,即 2x y min 46 4數(shù)學小專題第-5 -頁共12頁注：此類問題還可以通過消元求解：2x y xy 44 2xy VT,在代入到所求表達式求0,2例1 ：設x 1 ,求函數(shù)y(x 5)(x 2)的最小值為思路：考慮將分式進行分離常數(shù),(x 5)(x 2)5,使用均值不等式可得：y 2, x 1 2 * ” 59,等號成立條件為xx 1 ,所以最小值為9出最值即可，但要注意y 0的范圍由x承擔，所以x二、典型例題:答案:例2:已知x 0, y 0 ,且xy的最大值是思路:本題觀察到所求的聯(lián)系，從而想到調和平均數(shù)與

6、算術平均數(shù)的關系，即x y 4,所以最大值為答案:例3:已知實數(shù)m,n ,若 m 0,n1,則2的最小值為(n 11A.44B.15C.1D.3思路：本題可以直接代入消元解決，但運算較繁瑣?？紤]對所求表達式先變形再求值，可用分離常數(shù)法將分式進行簡化。41，、一.m 2 n 1,結合分母可將條m 2 n 14,進而利用均值不等式求出最值c 4.1m 2 n 1 m 2n 1數(shù)學小專題數(shù)學小專題4-2的最小值為答案:例4:已知正實數(shù)x, y 滿足 xy 2x y4 ,則x y的最小值為思路:本題所求表達式 x y剛好在條件中有所體現(xiàn)，所以考慮將x y視為一個整體，將等第-10 -頁共12頁數(shù)學小專

7、題式中的項往x y的形式進行構造，xy 2x y xy x x y可以利用均值不等式化積為和，從而將方程變形為關于y的不等式，解不等式即解：xy2x4 xy方程變形為:16y 150解得:6962.6答案:y的最小值為2擊3已知, c .1b 2a b ,所以可將a構造為-4 a b(2a b)1-(2a b) b8b(2a b)33 (2ab) b8b(2a b)思路觀察到表達式中分式的分母b 2ab ,可想到作和可以消去b ,可得b 2abb 2ab22 _144 一a2,從而 a a ,設 f ab(2a b) a2數(shù)角度求得最小值(禾iJ用導數(shù))，也可繼續(xù)構造成乘積為定值a a 233

8、 a a 42 2 a2, 2 2 a2答案：3 小煉有話說：(1)和式中含有分式，則在使用均值不等式時要關注分式分母的特點，并在變 形的過程中傾向于各項乘積時能消去變量，從而利用均值不等式求解(2)思路二體現(xiàn)了均值不等式的一個作用，即消元(3)在思路二中連續(xù)使用兩次均值不等式，若能取得最值，則需要兩次等號成立的條件不沖突。所以多次使用均值不等式時要注意對等號成立條件的檢驗例6:設二次函數(shù)f x2ax 4x c x R的值域為0,19, 一八,則的最大值為c 1 a 9思路：由二次函數(shù)的值域可判定 a 0,且0 ac 4,從而利用定值化簡所求表達式:19c 1 a 9r ，1即可求出 c 1a

9、 9c 18a 9c 18 彳1ac a 9c 9 a 9c 139一一的最值。由均值不等式可得：a 9-，則只需確定a 9c的范圍a 9c 13a 9c 12,進而解出最值解：Q二次函數(shù)f x2ax 4x c x R的值域為0,16 4ac 0 ac 4a 05a 9c 13a 9c 18a 9c 18 )1a 9c 13Qa 9c 2 .9ac 1219.56 1 c 1 a 912 13 5答案：65例7：已知x, y,z R ,則 2xy 2yz 2的最大值是 x y z思路：本題變量個數(shù)較多且不易消元，考慮利用均值不等式進行化簡，要求得最值則需要分子與分母能夠將變量消掉，觀察分子為x

10、y,yz均含y ,故考慮將分母中的 y2拆分與x2,z2搭配,xy yz222x y zxy-z，而212122x y y z222 x2 2 y2V2xy, z2 g y2 2 Jz2 2 y2 72yz ,所以xyyz 22xy 2yz 2“2答案：2小煉有話說:本題在拆分2y時還有一個細節(jié)，因為分子xy,yz的系數(shù)相同，所以要想分子分母消去變量,則分母中xy, yz也要相同，從而在拆分y2的時候要平均地進行拆分(因為x2,z2系數(shù)也相同)O所以利用均值不等式消元要善于調整系數(shù)，使之達到消去變量的目的。知正實數(shù)x, y滿足x y 3 xy ,若對任意滿足條件的x, y ,都有(x y)2

11、a(x y) 1 0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為思路：首先對恒成立不等式可進行參變分離，a1y。進而只需求得1 ，一，一 的最小值。x y將x y視為一個整體，將x3 xy中的xy利用均值不等式換成y的范圍再求最小值即可解:(xy)2 a(xy)Q x, y0 xy數(shù)學小專題-12 -頁共12頁數(shù)學小專題xxy 一4 x y 12解得：x（舍）37例9:已知思路:x 丫 mini,y觀察到所求37（在x y6時取得）的最小值是的兩項中x部分互為倒數(shù),所以想到利用均值不等式構造乘積為定值，所以結合第二項的分母變形1,、的分子。因為2xy 1,所以y 1 x 2,則2xy4min答案:小煉有話說:

12、因為要求得最小值，所以x 0時,本題考驗學生對表達式特點的觀察能力,其中兩項的x互為倒數(shù)為突破口，從而聯(lián)想到均值不等式，在變形時才會奔著分子分母向消出定值的方向進行構造例 10：已知 m,n,s,t R , m 2n5,m s9, n m ,且m, n是常數(shù)，又s 2t的最小值思路：條件中有到的最值條件與m n一 一 9,且有s tm,n相關：2tmin1,進而聯(lián)想到求s 2t最小值的過程中達1 s 2t s9m n2t s t2mt2n ssn2n 2V2mn ，即 s 2t數(shù)學小專題第-22 -頁共12頁數(shù)學小專題,一，1的取小值為一m 2n 9m 3n 7答案：7三、歷年好題精選1、（2

13、016,天津河西一模）uuirr uuurrAC b, AFxa-m 2n 2 2mn92s/2mn ,所以 m 2n 5n m如圖所示，在ABC中，AD1m 1,解得 ，所以n 2uuuDB,點F在線段CD上，設ABr 14yb ,則-的取小值為（）x y 1A. 6 2 2 B. 6,3 C. 64, 2 D.3 2,22、（2016,南昌二中四月考）已知 a,b都是負實數(shù)，則a 2bA.B.C.2.2 1的最小值是（）a bD. 2 .2 13、（2016,重慶萬州二中）已知 a,b為正實數(shù)，且ab2b 12的最小值4、（揚州市2016屆高三上期末）已知 ab 1 且 2logab310

14、g b a 71-2的最b2 1小值為5、已知正項等比數(shù)列an滿足a7 a6 2a5,若存在兩項 am,an,使得 Jaman1 4的取小值為（）m nA. 3B.2 uuuruur6、設 OA 1, 2 ,OB a,1 2共線，則一一的最小值是_ a b7、已知 a,b 0,5C.竺D.不存在36uuur1 ,OC b,0 ,a 0,b 0, O為坐標原點。若A,B,C三點，且2a b 1 ,則s 2碗4a2 b2的最大值是（）2 1A.2B. 、2 1C. -2 1、. 2 1D.28、設 x, y9、已知ax y11R,a 1,b 1,右a b 3,a b 2擲，則的最大值為 x y2

15、b2b ,且ab 1,貝U -的最小值是a b習題答案：1、答案：Duuur解析：AF所求表14x y 1uuuuuur uuur uuurxAByAC2xADyAC,因為C,F,D三點共線，所以2x y 1 ,根據達式構造等式為 2x y 12所以有2x1 y 1 8x2 y 4 ,由均值不等式可得:2 x y 1解析：a 2b233b 312a a - b122b b ba3a2b2.22.23、答案:2.2上四2 生4夜，所以1x y 1- x y 1x2、答案：Ba 2 12 b 1 a272 3 a b 134、答案：3 2ab 2 b2221-a3ab 2baQa,b 0 a,b是

16、正實數(shù) b a亙生2, 2.2 b a . b a解析：210g a b3logab22 log ab 710g a b 3 0解析:b2Qab221og a b 1 logab 301ogab 或 1ogab 31 logab 2loga ab25、答案:解析：a?解得：q, aman123a62a52q a5qa52a54al16（舍）.a12m 1a12n4alm, n4m4m4m卜面驗證等號成立條件：2 2n 4m所以等號成立,n 2m, /口 m 2解得：n 4.3一的最小值為一注：本題要注意到m,n N，在利用均值不等式求最小值的過程中有可能等號成立的條件不滿足。所以在變量范圍比較特殊時，要注意驗證等號成立條件6、答案：8解析：QA, B,C三點共線uuu uuurAB / ACuuuQ AB auur1,1 , ACb 1,24abb 1 2a2 2ab b7、答案:解析：2-、abx2 ,2ab2a2c .2/220220 2ab 12,214ab 2ab 24a b -22222.