聚焦中考專題8 綜合型問題

1、數(shù)學專題八綜合型問題要點梳理 綜合題，各地中考常常作為壓軸題進行考查，這類題目難度大，考查知識多，解這類習題的關(guān)鍵就是善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)和代數(shù)的有關(guān)知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題目的要點梳理 近幾年中考試題中的綜合題大多以代數(shù)幾何綜合題的形式出現(xiàn)，其解題關(guān)鍵是借助幾何直觀解題，運用方程、函數(shù)的思想解題，靈活運用數(shù)形結(jié)合，由形導數(shù)，以數(shù)促形，綜合運用代數(shù)和幾何知識解題值得注意的是，近年中考幾何綜合計算的呈現(xiàn)形式多樣，如折疊類型、探究型、開放型、運動型、情境型等，背景鮮活，具有實用性和創(chuàng)造性，在考查考生計算能力的同時，考查考生的閱讀理解能力、動手操作能力、抽象思維能力、建

2、模能力，力求引導考生將數(shù)學知識運用到實際生活中去一個趨勢代數(shù)幾何綜合題從內(nèi)容上來說，是把代數(shù)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)，幾何中的三角形、四邊形、圓等圖形的性質(zhì)，以及解直角三角形的方法、圖形的變換、相似等內(nèi)容有機地結(jié)合在一起，同時也融入了開放性、探究性等問題，如探究條件、探究結(jié)論、探究存在性等經(jīng)?？疾榈念}目類型主要有坐標系中的幾何問題(簡稱坐標幾何問題)，以及圖形運動過程中求函數(shù)解析式問題等三個步驟解綜合題，第一，需要認真審題，分析、挖掘題目的隱含條件，翻譯并轉(zhuǎn)化為顯性條件；第二，要善于將復雜問題分解為基本問題，逐個擊破；第三，要善于聯(lián)想和轉(zhuǎn)化，將以上得到的顯性條件進行恰當?shù)慕M合，進一步得到

3、新的結(jié)論，尤其要注意的是，恰當?shù)厥褂梅治鼍C合法及方程與函數(shù)的思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、運動觀點等數(shù)學思想方法，能更有效地解決問題1(2014重慶)從1，1，2 這三個數(shù)字中，隨機抽取一個數(shù)，記為 a，那么，使關(guān)于 x 的一次函數(shù) y2xa 的圖象與 x 軸、y 軸圍成的三角形的面積為14，且使關(guān)于 x的不等式組x2a，1x2a有解的概率為_ 2(2014沈陽)如圖，ABCD中，ABAD，AE，BE，CM，DM分別為DAB，ABC，BCD，CDA的平分線，AE與DM相交于點F，BE與CM相交于點N，連接EM.若ABCD的周長為42 cm，F(xiàn)M3 cm，EF4 cm，則EM_ c

4、m，AB_ cm.5133(2014隨州)如圖，正方形紙片ABCD的邊長為2，翻折B，D，使兩個直角的頂點重合于對角線BD 上一點 P，EF，GH 分別是折痕(如圖)設(shè) AEx(0 x2)，給出下列判斷： 當 x1 時，點 P 是正方形ABCD的中心； 當 x12時，EFGHAC； 當 0 x2 時，六邊形AEFCHG面積的最大值是114； 當 0 x2 時，六邊形 AEFCHG 周長的值不變其中正確的是_(寫出所有正確判斷的序號 ) 4(2014黃岡)已知：在ABC中，BC10，BC邊上的高h5，點E在邊AB上，過點E作EFBC，交AC邊于點F.點D為BC上一點，連接DE，DF.設(shè)點E到BC

5、的距離為x，則DEF的面積S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為( )D5(2014鹽城)如圖，反比例函數(shù)ykx(x0)的圖象經(jīng)過點 A(1，1)，過點 A 作 ABy 軸，垂足為點B，在 y 軸的正半軸上取一點P(0，t)，過點 P 作直線OA 的垂線 l，以直線 l 為對稱軸，點 B 經(jīng)軸對稱變換得到的點B? 在此反比例函數(shù)的圖象上，則 t 的值是( ) A.1 52 B.32 C.43 D.1 52 A代數(shù)型綜合題【例 1】 (2013沈陽)如圖， 在平面直角坐標系中， 拋物線 y8 25x2bxc 經(jīng)過點 A(32，0)和點 B(1，2 2)，與 x 軸的另一個交點為 C. (1)求拋物線的函數(shù)表達

6、式； (2)點 D 在對稱軸的右側(cè)，x 軸上方的拋物線 上，且BDADAC，求點 D 的坐標 (3)在(2)的條件下，連接 BD，交拋物線對稱 軸于 E，連接 AE.判斷四邊形OAEB 的形狀，并說明理由 解：(1)將 A(32，0)，B(1，2 2)代入 y8 25x2bxc 得 8 259432bc0，8 25bc2 2， b8 2，c42 25， y8 25x28 2x42 25. (2)當BDADAC 時，BDx 軸B(1，2 2)， 當 y2 2時，2 28 25x28 2x4252， 解得 x11，x24，點 D 的坐標為(4，2 2) (3)四邊形 OAEB 是平行四邊形 理由如

7、下：拋物線的對稱軸是 x52， BE52132.A(32，0)，OABE32. 又BEOA，四邊形 OAEB 是平行四邊形 【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、解方程、平行四邊形的判定等知識點1(2014長春)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx2bxc經(jīng)過點(1，1)，且對稱軸為直線x2，點P，Q均在拋物線上，點P位于對稱軸右側(cè)，點Q位于對稱軸左側(cè)，PA垂直對稱軸于點A，QB垂直對稱軸于點B，且QBPA1，設(shè)點P的橫坐標為m.(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關(guān)系式；(2)求點Q的坐標(用含m的式子表示)；(3)請?zhí)骄縋AQBAB是否成立，并說明理由幾何型綜合題【例2】(2014

8、咸寧)如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標軸上，點B的坐標為(4，4)點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動；點Q從點O同時出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運動，規(guī)定點P到達點O時，點Q也停止運動連接BP，過P點作BP的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D.BD與y軸交于點E，連接PE.設(shè)點P運動的時間為t(s)(1)PBD的度數(shù)為 ，點D的 . 坐標為用t表示)；45(t，t)(2)當t為何值時，PBE為等腰三角形？若 BPBE，在 RtBAP 和 RtBCE 中，BABCBPBE，RtBAPRtBCE(HL)APCE.APt，CEt.POEO4t.POE90，P

9、E PO2EO2 2(4t)延長 OA 到點 F，使得 AFCE，連接 BF，如圖 2 所示 在FAB 和ECB 中，ABCBBAFBCE90AFCE，F(xiàn)ABECB.FBEB，F(xiàn)BAEBC.EBP45，ABC90，ABPEBC45.FBPFBAABP EBC ABP 45 . FBP EBP. 在FBP和EBP中 ，BFBEFBPEBPBPBP，F(xiàn)BPEBP.FPEP.EPFPFAAPCEAP.EPtt2t.2(4t)2t.解得：t4 24當 t 為 4 秒或(4 24)秒時，PBE 為等腰三角形 (3)探索POE周長是否隨時間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個定值EPCEAP

10、，OPPEOEOPAPCEOEAOCO448.POE周長是定值，該定值為8.【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及分類討論的思想等知識，綜合性強熟悉正方形與一個度數(shù)為45的角組成的基本圖形(其中角的頂點與正方形的一個頂點重合，角的兩邊與正方形的兩邊分別相交)是解決本題的關(guān)鍵2(2014紹興)如圖，在平面直角坐標系中，直線l平行x軸，交y軸于點A，第一象限內(nèi)的點B在l上，連接OB，動點P滿足APQ90，PQ交x軸于點C.(1)當動點P與點B重合時，若點B的坐標是(2，1)，求PA的長解：(1)點P與點B重合，點B的坐標是(2，1)，點P的坐標是(2，

11、1)PA的長為2.(2)當動點P在線段OB的延長線上時，若點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，求PA PC的值過點P作PMx軸，垂足為M，過點P作PNy軸，垂足為N，如圖1所示點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，OAAB.OAB90，AOBABO45.AOC90，POC45.PMx軸，PNy軸，PMPN，ANPCMP90.NPM90.APC90.APN90APMCPM.在ANP和CMP中，APNCPM，PNPM，ANPCMP，ANP CMP.PAPC.PA：PC的值為1 1.(3)當動點P在直線OB上時，點D是直線OB與直線CA的交點，點E是直線CP與y軸的交點，若ACEAEC，PD2OD，求PA P

12、C的值若點 P 在線段 OB 的反向延長線上，過點 P 作 PMx 軸，垂足為 M，過點 P 作 PNy 軸，垂足為 N，PM 與直線 AC 的交點為 F，如圖 3 所示同理可得：PM32x，CA2PF4x，OC 15x.PNOM12OC152x.PAPCPNPM152x32x153.綜上所述：PAPC 的值為155或153. 代數(shù)和幾何型綜合題【例3】(2013寧波)如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為(0，4)，點B的坐標為(4，0)，點C的坐標為(4，0)，點P在射線AB上運動，連接CP與y軸交于點D，連接BD.過P，D，B三點作 Q與y軸的另一個交點為E，延長DQ交 Q

13、于點F，連接EF，BF.(1)求直線AB的函數(shù)解析式；解：(1)設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為ykx4，代入(4，0)得：4k40，解得：k1，則直線AB的函數(shù)解析式為yx4；(2)當點P在線段AB(不包括A，B兩點)上時求證：BDEADP；設(shè)DEx，DFy.請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)由已知得：OBOC，BODCOD90，又ODOD，BDOCOD，BDOCDO，CDOADP， BDEADP， 連接 PE，ADP 是DPE 的一個外角，ADPDEPDPE，BDE 是ABD 的一個外角 ，BDEABDOAB，ADPBDE，DEPABD，DPEOAB，OAOB4， AOB90， OAB45， DP

14、E45，DFEDPE45，DF 是Q 的直徑，DEF90，DEF 是等腰直角三角形，DF 2DE，即 y 2x； (3)請你探究：點P在運動過程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2 1？如果存在，求出此時點P的坐標；如果不存在，請說明理由3)當 BDBF21 時，過點F 作 FHOB 于點H，DBOOBF90， OBFBFH90， DBOBFH， 又DOBBHF90， BODFHB，OBHFODHBBDFB2，F(xiàn)H2，OD2BH，F(xiàn)HOEOHOEF90，四邊形 OEFH 是矩形，OEFH2，EFOH412OD，DEEF，2OD412OD，解得：OD43，點 D 的

15、坐標為(0，43)，直線CD 的解析式為 y13x43，由y13x43，yx4得：x2，y2，則點 P 的坐標為(2，2)；當BDFB12時，連接 EB， 同(2)可得：ADBEDP， 而ADBDEBDBE， EDPDAPDPA，DEBDPA，DBEDAP45，DEF 是等腰直角三角形，過點F 作 FGOB 于點G，同理可得：BODFGB， OBGFODGBBDFB12，F(xiàn)G8，OD12BG，F(xiàn)GOGOEOEF90，四邊形OEFG是矩形，OEFG8，EFOG42OD，DEEF， 8OD42OD，OD43，點 D 的坐標為(0，43)，直線 CD 的解析式為 ：y13x43，由y13x43，yx

16、4，得：x8，y4，點 P 的坐標為(8，4)，綜上所述，點 P 的坐標為(2，2)或(8，4) 【點評】此題考查了一次函數(shù)、矩形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)的綜合，關(guān)鍵是綜合運用有關(guān)知識作出輔助線，列出方程組，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用3(2014廣安)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2bx3與x軸交于點A(4，0)，B(1，0)兩點(1)求拋物線的解析式； (2)在第三象限的拋物線上有一動點D. 如圖(1)， 若四邊形 ODAE 是以 OA 為對角線的平行四邊形， 當平行四邊形 ODAE 的面積為 6 時，請判斷平行四邊形 ODAE 是否為菱形？說明理由 如圖(2)，直線 y12x3 與拋物線交于點

17、Q，C 兩點，過點 D 作直線 DFx 軸于點 H，交 QC 于點 F.請問是否存在這樣的點D，使點 D 到直線 CQ 的距離與點 C 到直線 DF 的距離之比為 52？若存在，請求出點D 的坐標；若不存在，請說明理由 解：(1)把點 A(4，0)，B(1，0)代入解析式 yax2bx3，得16a4b30ab30，解得a34b154， 拋物線的解析式為：y34x2154x3. (2)如答圖1， 過點 D作 DHx 軸于點H.S?ODAE6， OA4， SAOD12OADH3，DH32.因為 D 在第三象限，所以 D 的縱坐標為負，且 D 在拋物線上， 34x2154x332，解得：x12，x23.點 D 坐標為(2，32)或 (3，32)當點 D 為(2，32)時，DH 垂直平分 OA，平行四邊形 ODAE 為菱形；當點 D 為(3，32)時，ODAD，平行四邊形 ODAE 不