線性系統(tǒng)理論實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、線性系統(tǒng)理論Matlab 實(shí)驗(yàn)報(bào)告1、在造紙流程中，投料箱應(yīng)該把紙漿流變成2cm的射流，并均勻噴灑在網(wǎng)狀傳送帶上。為此，要精確控制噴射速度和傳送速度之間的比例關(guān)系。投料箱內(nèi)的壓力是需要控制的主要變量，它決定了紙漿的噴射速度。投料箱內(nèi)的總壓力是紙漿液壓和另外灌注的氣壓之和。由壓力控制的投料箱是個(gè)耦合系統(tǒng)，因此，我們很難用手工方法保證紙張的質(zhì)量。在特定的工作點(diǎn)上，將投料箱線性化，可以得到下面的狀態(tài)空間模型： 其中，系統(tǒng)的狀態(tài)變量x1=液面高度，x2=壓力，系統(tǒng)的控制變量u1=紙漿流量u2=氣壓閥門的開(kāi)啟量。在上述條件下，試設(shè)計(jì)合適的狀態(tài)變量反饋控制器，使系統(tǒng)具有實(shí)特征根，且有一個(gè)根大于5解：本題目

2、是在已知狀態(tài)空間描述的情況下要求設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，從而使得系統(tǒng)具有實(shí)數(shù)特征根，并要求要有一個(gè)根的模值要大于5，而特征根是正數(shù)時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定，這樣的設(shè)計(jì)是無(wú)意義的，故而不妨采用狀態(tài)反饋后的兩個(gè)期望特征根為-7，-6，這樣滿足題目中所需的要求。要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)反饋的設(shè)計(jì)首先要判斷其是否能控，即求出該系統(tǒng)的能控性判別矩陣，然后判斷其秩，從而得出其是否可控。 Matlab判斷該系統(tǒng)可控性和求取狀態(tài)反饋矩陣K的程序,如圖1所示，同時(shí)求得加入狀態(tài)反饋后的特征根并與原系統(tǒng)的特征根進(jìn)行了對(duì)比。圖1系統(tǒng)能控性、狀態(tài)反饋矩陣和特征根的分析程序上述程序的運(yùn)行結(jié)果如圖2所示：圖2系統(tǒng)能控性、反饋矩陣和特征根的運(yùn)行

3、結(jié)果 圖2中為圖1matlab程序的運(yùn)行結(jié)果，經(jīng)過(guò)判斷得知系統(tǒng)是可控的，同時(shí)極點(diǎn)的配置個(gè)數(shù)與系統(tǒng)狀態(tài)相符，求得了狀態(tài)反饋矩陣K的值，并把原系統(tǒng)的特征根（rootsold）和加入狀態(tài)反饋后的特征根（rootsnew）進(jìn)行對(duì)比。同時(shí)通過(guò)特征值可以看出該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2、描述恒速制導(dǎo)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)方程為： 運(yùn)用ctrb函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的能控型矩陣，并驗(yàn)證系統(tǒng)是不可控的；計(jì)算從u到Y(jié)的傳遞函數(shù)，并消去傳遞函數(shù)中的分子和分母公因式，由此可以得到能控的狀態(tài)空間模型。在消去了公因子之后，請(qǐng)用tf2ss函數(shù)確定新的狀態(tài)變量模型；證明(b)中得到的狀態(tài)變量模型是能控的；說(shuō)明恒速制導(dǎo)導(dǎo)彈是否穩(wěn)定？討論狀態(tài)變量模型的能控性

4、和復(fù)雜性的關(guān)系（假設(shè)用狀態(tài)變量的數(shù)目來(lái)度量復(fù)雜性）。解：該題是通過(guò)描述的恒速制導(dǎo)導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)方程求解相應(yīng)問(wèn)題。（a） 運(yùn)用ctrb函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的能控性矩陣，并判斷該系統(tǒng)不可控，詳細(xì)matlab程序和判斷結(jié)果如圖3和圖4所示。 圖3是判斷該系統(tǒng)能控性的matlab程序，通過(guò)求得能控性矩陣Qc，并通過(guò)秩判據(jù)來(lái)判定該系統(tǒng)是否能控。 圖3系統(tǒng)能控性的判別程序判定的結(jié)果如圖4所示： 圖4系統(tǒng)的能控性矩陣和能控性判定結(jié)果通過(guò)matlab分析求得了系統(tǒng)的能控性矩陣Qc，同時(shí)通過(guò)秩判據(jù)判定該系統(tǒng)不可控。（b）、（c）計(jì)算u到y(tǒng)的傳遞函數(shù)，并通過(guò)tf2ss函數(shù)確定新的狀態(tài)變量模型，同時(shí)判斷該模型是能控的。具體程序

5、如圖5所示，判斷的結(jié)果如圖6示。 圖5確定新?tīng)顟B(tài)空間并判定能控性的程序 圖6系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、新的狀態(tài)空間模型和能控性判定結(jié)果 分析得知u到y(tǒng)的傳遞函數(shù)可通過(guò)狀態(tài)空間描述的矩陣求得，同時(shí)通過(guò)tf2ss函數(shù)確定了新的狀態(tài)空間（A1，B1，C1，D1），運(yùn)用函數(shù)ss求得新模型的狀態(tài)方程，再通過(guò)能控型矩陣判定系統(tǒng)的能控性。 顯然得到系統(tǒng)是可控的，同時(shí)還要聲明通過(guò)傳遞函數(shù)求得空間描述和通過(guò)狀態(tài)矩陣求得結(jié)果不同，從而驗(yàn)證了傳遞函數(shù)對(duì)系統(tǒng)的內(nèi)部描述不完整。（d）判斷恒速制導(dǎo)導(dǎo)彈系統(tǒng)穩(wěn)定性 以下通過(guò)求得矩陣的特征值即傳遞函數(shù)的極值點(diǎn)來(lái)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。圖7是求取極值點(diǎn)的程序，通過(guò)roots和eig函數(shù)來(lái)求取

6、，目的進(jìn)行必要的對(duì)比。圖8是通過(guò)兩種途徑獲得的系統(tǒng)的極值點(diǎn)。 圖7求取極值點(diǎn)的源程序圖8是圖7程序的運(yùn)行結(jié)果： 圖8系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和極值點(diǎn) 從求得的結(jié)果中可以看出其特征值的根的實(shí)部都不是正數(shù)，從而就說(shuō)明了該系統(tǒng)在李雅普洛夫意義下是穩(wěn)定的。圖9 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 通過(guò)程序給系統(tǒng)一個(gè)單位階躍信號(hào)，從上圖可以看出系統(tǒng)不是嚴(yán)格收斂的，而是發(fā)散的。（e）狀態(tài)變量模型的能控性和復(fù)雜性的關(guān)系（用狀態(tài)變量的數(shù)目來(lái)度量復(fù)雜性）。 討論狀態(tài)變量模型的能控性與復(fù)雜性的關(guān)系。很直觀地講，一個(gè)系統(tǒng)要能控，必須要其能控型判別矩陣的秩等于系統(tǒng)的階數(shù)也即就是狀態(tài)變量的數(shù)目，但是反過(guò)來(lái)，系統(tǒng)越復(fù)雜，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)越多，能控型

7、判別矩陣要求滿足的秩也就越大，也即意味著越難達(dá)到要求，從而其能控性也就越不容易滿足。從而可以得出結(jié)論，即越復(fù)雜的系統(tǒng)越不容易達(dá)到完全可控。3、垂直起降的飛機(jī)的線性化模型為：=Ax+B1u1+B2u2其中 , 系統(tǒng)的狀態(tài)變量為水平速度（節(jié)）、垂直速度（節(jié)）、傾斜率（度/秒）和傾斜角（度）；系統(tǒng)的控制輸入為和，其中用于控制垂直運(yùn)動(dòng)，用于控制水平運(yùn)動(dòng)。(a) 計(jì)算系統(tǒng)矩陣的特征值，并由此判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；(b) 利用poly函數(shù)確定的特征多項(xiàng)式，計(jì)算特征根，并與(a)中得到的特征根相比較；(c) 當(dāng)只有發(fā)揮作用時(shí)，系統(tǒng)能控嗎？當(dāng)只有發(fā)揮作用時(shí)，結(jié)果又如何？請(qǐng)比較解釋你的結(jié)論。解：通過(guò)給定的垂直起降的

8、飛機(jī)的線性化模型分析系統(tǒng)的屬性（a）計(jì)算系統(tǒng)矩陣A的特征值，并根據(jù)特征值判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定 圖10矩陣A的特征值和u1、u2分別作用的能控性判別程序（b）利用poly函數(shù)確定A的特征多項(xiàng)式，計(jì)算特征值，并與（a）中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比（c）當(dāng)只有u1作用時(shí)，系統(tǒng)能控性；只有u2作用時(shí)，系統(tǒng)能控性。針對(duì)以上三點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)圖10所示的matlab程序來(lái)判斷所有問(wèn)題，最終的結(jié)果在圖11中顯示。求取矩陣A的特征值和u1、u2分別作用時(shí)系統(tǒng)可控性的運(yùn)行結(jié)果：圖11特征值、特征多項(xiàng)式和u1、u2分別作用的能控性結(jié)果 其中roots1是通過(guò)eig函數(shù)求得的狀態(tài)矩陣A的特征值，顯然有兩個(gè)特征值具有正實(shí)部，故系統(tǒng)不穩(wěn)定

9、；Q1是通過(guò)poly函數(shù)確定的A的特征多項(xiàng)式，roots2是通過(guò)roots函數(shù)求得的A矩陣的特征多項(xiàng)式的根，經(jīng)過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)roots1和roots2的數(shù)值一樣；只有u1或者u2作用是通過(guò)能控型矩陣Qc，用秩判據(jù)得到系統(tǒng)都是可控的。dimA是通過(guò)size函數(shù)求得矩陣A的維數(shù)。對(duì)比的當(dāng)u1與u2發(fā)揮作用時(shí)所對(duì)應(yīng)的能控型判別矩陣的秩都為4，即其秩等于系統(tǒng)的階數(shù)也就是矩陣A的維數(shù)，從而說(shuō)明在這兩種情況下，系統(tǒng)均為能控。4、為了探究月球背面（遠(yuǎn)離地球的一面）的奧秘，人們付出了不懈的努力。例如，在地球-太陽(yáng)-月球系統(tǒng)中，人們希望通信衛(wèi)星能定點(diǎn)在不受月球遮擋的軌道上，并為此開(kāi)展了廣泛的論證研究工作。圖中給出了

10、預(yù)期衛(wèi)星軌道的示意圖，從地球上看上去，衛(wèi)星軌道的光影恰似環(huán)繞月球的外層光暈，因此這種軌道又稱為光暈軌道。軌道控制的目的是，使通信衛(wèi)星在地球可見(jiàn)的光暈軌道上運(yùn)行，從而保證通信鏈路的暢通，所需的通信鏈路包括從地球到衛(wèi)星和從衛(wèi)星到月球背面共兩段線路。衛(wèi)星繞定點(diǎn)位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化和線性化的漂移運(yùn)動(dòng)方程為：其中，狀態(tài)變量是衛(wèi)星在三個(gè)方向上的位置和速度漂移，輸入分別是軌控發(fā)動(dòng)機(jī)在、和方向上產(chǎn)生的加速度。(a) 衛(wèi)星的定點(diǎn)位置是否穩(wěn)定？(b) 如果只有發(fā)揮作用，衛(wèi)星是否能控？(c) 如果只有發(fā)揮作用，衛(wèi)星是否能控？(d) 如果只有發(fā)揮作用，衛(wèi)星是否能控？(e) 如果能夠測(cè)得方向的位置漂移，請(qǐng)確定由到該位

11、置漂移量的傳遞函數(shù)。（提示：可以令觀測(cè)輸出為）(f) 用tf2ss函數(shù)，計(jì)算(e)中得到的傳遞函數(shù)的狀態(tài)變量模型，并驗(yàn)證該軌跡子系統(tǒng)是能控系統(tǒng)；(g) 采用狀態(tài)反饋，設(shè)計(jì)合適的反饋控制器，使(f)中得到的系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為和。解：在給定的衛(wèi)星繞定點(diǎn)位置運(yùn)動(dòng)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)化和線性化的漂移運(yùn)動(dòng)方程，通過(guò)matlab分析一下幾點(diǎn)問(wèn)題。 圖12系統(tǒng)穩(wěn)定性和u1、u2、u3分別作用時(shí)的能控性（1）關(guān)于衛(wèi)星的定點(diǎn)位置的穩(wěn)定性和分別只有u1或者u2或者u3作用時(shí)，衛(wèi)星的能控性通過(guò)圖12的程序來(lái)判斷，判斷結(jié)果在圖13中顯示。衛(wèi)星定位系統(tǒng)的穩(wěn)定性和u1、u2、u3分別作用時(shí)的能控性判別結(jié)果如圖13所示 圖13系統(tǒng)特征根

12、和u1、u2、u3分別作用的能控性判別結(jié)果圖14系統(tǒng)極值點(diǎn)分布圖 通過(guò)圖13可以看出系統(tǒng)的極值點(diǎn)（roots1）中有大于零的點(diǎn)，直觀的從圖14的系統(tǒng)極值點(diǎn)分布圖中看出在虛軸的右半平面上有一個(gè)極值點(diǎn)，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；從圖13中還可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在只有u1或者u2或者u3作用時(shí)，均不可控。（2） 確定由u2到漂移量的傳遞函數(shù)并確定傳遞函數(shù)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量模型，然后驗(yàn)證其為能控系統(tǒng)。執(zhí)行程序如圖15所示，該程序用于求解傳遞函數(shù)和狀態(tài)模型，并驗(yàn)證該模型的能控性。運(yùn)行的結(jié)果如圖16所示。圖15傳遞函數(shù)、狀態(tài)變量模型和能控性求解程序以上程序中求得了新系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以及狀態(tài)空間模型，并通過(guò)求取系統(tǒng)的能控性矩

13、陣，根據(jù)秩判據(jù)判定系統(tǒng)的可控性，由if語(yǔ)句來(lái)選取，把最終結(jié)果顯示在命令窗口。圖15程序的運(yùn)行結(jié)果如圖16所示： 圖16傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間描述和能控性的結(jié)果 圖16中顯示了由u2到n方向的位置漂移量的傳遞函數(shù)，以及通過(guò)tf2ss函數(shù)得到該傳遞函數(shù)的狀態(tài)變量模型，最后驗(yàn)證得到該模型是能控的。（3） 在給定狀態(tài)空間描述的基礎(chǔ)上采用狀態(tài)反饋u2=-Kx，使得（1）中得到的模型的閉環(huán)極點(diǎn)為-1+j，-1-j，-10，-10.具體程序如圖17所示，運(yùn)行的結(jié)果如圖18,圖19所示。圖17狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)的程序：圖17狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)程序 該程序首先判定極值點(diǎn)是否配置合理，求得反饋矩陣，并畫(huà)出加入狀態(tài)反饋后的根軌跡，

14、再求得加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的零極點(diǎn)及增益，最后畫(huà)出系統(tǒng)加入反饋后的階躍響應(yīng)圖。圖18是上述程序運(yùn)行得到的反饋矩陣和系統(tǒng)的零極點(diǎn)以及增益值。圖18狀態(tài)反饋矩陣、零極點(diǎn)和增益其中K是狀態(tài)反饋矩陣，zI是加入狀態(tài)反饋后的零點(diǎn)，pI是加入狀態(tài)反饋后的極點(diǎn)，gainI是系統(tǒng)增益，透過(guò)極點(diǎn)可以看出系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 通過(guò)圖18可以看出再加入狀態(tài)反饋K時(shí)，求得的極點(diǎn)正好是期望的值，也驗(yàn)證了求取的正確性。最后求得加入狀態(tài)反饋時(shí)系統(tǒng)的增益。通過(guò)圖19可以看出系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。圖19是加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的根軌跡和階躍響應(yīng)：圖19加入反饋K時(shí)系統(tǒng)的根軌跡和階躍響應(yīng)從圖19看到系統(tǒng)是穩(wěn)定的正好驗(yàn)證了極值點(diǎn)實(shí)部小于零系統(tǒng)穩(wěn)定

15、，同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在加入狀態(tài)反饋后調(diào)節(jié)時(shí)間較快。5、在8.2風(fēng)力機(jī)的一階模型中，采用漿距角控制風(fēng)力機(jī)的轉(zhuǎn)速，風(fēng)速的變化視為擾動(dòng)，設(shè)計(jì)風(fēng)力機(jī)轉(zhuǎn)速的閉環(huán)PI控制，使轉(zhuǎn)速恒定。解：給定風(fēng)力機(jī)的一階模型，采用漿距角控制風(fēng)力機(jī)轉(zhuǎn)速，風(fēng)速變化視為擾動(dòng)，設(shè)計(jì)風(fēng)力機(jī)的PI控制，使轉(zhuǎn)速恒定。PI控制器的模型為K1+K2/s，從而可以求出該系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為S2+0.3397K1*S+0.3397K2=0要使得該風(fēng)力機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行，則需讓特征方程的根具有負(fù)實(shí)部。syms s k1 k2;>> s=solve(s2+0.339*k1*s+0.339*k2) s = - (339*k1)/2000 -

16、(114921*k12)/1000000 - (339*k2)/250)(1/2)/2 (114921*k12)/1000000 - (339*k2)/250)(1/2)/2 - (339*k1)/2000使其為負(fù)數(shù)，從而可得出K1<=180，K2<=86,得到的PI控制器就能滿足要求，不妨取K1=80，K2=60.simulink仿真如圖20所示。圖20加入PI控制的系統(tǒng)仿真圖其中輸入采用階躍信號(hào)，擾動(dòng)信號(hào)為單位脈沖。在未加入擾動(dòng)信號(hào)時(shí)，只有階躍信號(hào)輸入的系統(tǒng)響應(yīng)如圖21所示：圖21未加脈沖擾動(dòng)只有階躍信號(hào)輸入的輸出響應(yīng)圖22在加入脈沖擾動(dòng)情況下系統(tǒng)輸出響應(yīng)通過(guò)圖21和22對(duì)比發(fā)

17、現(xiàn)系統(tǒng)能很好的通過(guò)反饋調(diào)節(jié)使系統(tǒng)在擾動(dòng)情況下趨于穩(wěn)定，同時(shí)可以看出調(diào)節(jié)速度較快，所以得到的PI控制器可以滿足所要求的指數(shù)。6、在8.2風(fēng)力機(jī)的三階模型中，采用漿距角控制風(fēng)力機(jī)的轉(zhuǎn)速，風(fēng)速的變化視為擾動(dòng)，電磁轉(zhuǎn)矩視為常數(shù)，采用狀態(tài)反饋和極點(diǎn)配置算法，設(shè)計(jì)風(fēng)力機(jī)轉(zhuǎn)速的閉環(huán)控制系統(tǒng)。解：理論上一般選取觀測(cè)器的期望極點(diǎn)為傳遞函數(shù)極點(diǎn)的2到5倍為佳，在以下程序中選取觀測(cè)器的極值點(diǎn)為-2.2986e004,-300，-0.0286e004。具體求解程序如圖23所示。同時(shí)通過(guò)求取加入狀態(tài)反饋后的伯德圖，根軌跡以及單位階躍響應(yīng)來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性和調(diào)節(jié)速度。通過(guò)圖23的分析程序，我們能得到圖24能控性矩陣和狀態(tài)

18、反饋矩陣K，圖25的加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的伯德圖以及圖26的根軌跡，圖27的反饋系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。圖23是利用極點(diǎn)配置算法求取風(fēng)力機(jī)轉(zhuǎn)速的閉環(huán)控制系統(tǒng)的程序：圖23系統(tǒng)狀態(tài)反饋矩陣的求取程序圖24能控性矩陣和狀態(tài)反饋矩陣K圖25是加入反饋矩陣K時(shí)系統(tǒng)的伯德圖：圖25加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的伯德圖圖26加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的根軌跡圖圖27是加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：圖27加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 在求取系統(tǒng)狀態(tài)反饋時(shí)，首先應(yīng)該判斷該系統(tǒng)的能控性，所以程序開(kāi)始通過(guò)求取能控型矩陣，運(yùn)用秩判據(jù)來(lái)判斷系統(tǒng)能控性，把結(jié)果顯示在命令窗口。圖24中Qc是能控型矩陣，判斷結(jié)果為系統(tǒng)可控，并求得狀態(tài)反饋

19、矩陣K。通過(guò)圖25，圖26，圖27分析得知系統(tǒng)在加入反饋后，系統(tǒng)不僅穩(wěn)定而且調(diào)節(jié)和響應(yīng)速度較快。7、給定風(fēng)力機(jī)的三階模型，采用漿距角控制風(fēng)力機(jī)的轉(zhuǎn)速，風(fēng)速變化視為擾動(dòng)，設(shè)計(jì)風(fēng)力機(jī)的LQR控制器。解：在設(shè)計(jì)LQR控制器時(shí)，首先要確定加權(quán)矩陣Q（不妨選取Q=diag(4e004,0,1e004),R=1），然后直接利用lqr函數(shù)求取LQR控制器的狀態(tài)反饋矩陣k。求取程序如圖28所示： 圖28 LQR控制器的求取程序 圖29 LQR控制器的狀態(tài)反饋矩陣k同時(shí)在圖28所示的程序中求取加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的伯德圖，根軌跡和單位階躍響應(yīng)，如圖30，圖31，圖32所示。圖30加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的伯德圖圖31加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的根軌跡圖圖32是加入狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：圖