函數(shù)與導(dǎo)數(shù)經(jīng)典例題--高考壓軸題(含答案)

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1.已知函數(shù)f (x) =4x33tx?_6tx t -1,x R，其中t R.(i)當(dāng)t=1時，求曲線y = f (x)在點(0, f (0)處的切線方程；(n)當(dāng)t -0時，求f (x)的單調(diào)區(qū)間；(川)證明：對任意的r (0, ：), f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點.【解析】(19)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法，滿分14 分。(I)解：當(dāng)t=1時，f (x) =4x33x?6x, f (0) = 0, f (x) =12x26x 6f (0) = -6.所以曲線y二

2、f (x)在點(0, f(0)處的切線方程為y二-6x.(n)解：f (x)二12x2 6tx6t2，令f (x) = 0，解得x二-t或x二. 2因為t = 0，以下分兩種情況討論：(1)若t 0,則-t,當(dāng)x變化時，f(x), f(x)的變化情況如下表:2x(t)1 -o,I 2)A(-1 嚴(yán))f(X)+-+f(x)z/ 1所以，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-二丄,-t：；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是-tI 2 丿12(2)若t 0,則-t -，當(dāng)x變化時，f(x), f (x)的變化情況如下表:2x(-,t)l2,丿fH(x)+-+f(x)/、/ :it)I t I所以，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)

3、間是(電-1),.丄，址；f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是1,丄12 丿I 2 丿(川)證明：由(n)可知，當(dāng)t 0時，f(x)在!0,*遞增，以下分兩種情況討論：(1)當(dāng)-_1,即 t _2時，f (x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減,2f (0) = t -10, f (1) = -6嚴(yán)4t 3 _ -6 4 4 2 3 .：0.所以對任意t 2, ：), f (x)在區(qū)間(0, 1 )內(nèi)均存在零點。4t 3 _ -6t 4t 3 - -2t3 0.所以f (x)在 iL,1內(nèi)存在零點。12丿f (0)二 t -10所以f (x)在I 0,-內(nèi)存在零點。I 2丿2.已知函數(shù) f (x-x1, h(x)二

4、x .32(I)設(shè)函數(shù) F(x) = 18f(x) -x2h(x)2,(n)設(shè) a R R ,解關(guān)于 xj 2、 -* 1(出)設(shè)nN N，證明:f (n)h(n) -h(1) h(2) HI h(n)6本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù) 與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法及推理運算、分析問題、解決問題的能力.解：(I)F(x) =18f(x) x2h(x)2= x312x 9(x _0),內(nèi)的單調(diào)遞減,內(nèi)單調(diào) 12丿(2)當(dāng) 0:-0，知2ax -2ax 1亠0在 R 上恒成立，因此厶=4a2-4a = 4a(a -1)三0,由此并結(jié)合a 0,知0

5、：a三1.5.已知 a, b 為常數(shù)，且 0，函數(shù) f (x) =-ax+b+axlnx , f (e) =2 (e=2. 71828 是自然對數(shù) 的底數(shù))。(I) 求實數(shù) b 的值；(II) 求函數(shù) f (x)的單調(diào)區(qū)間；(III )當(dāng) a=1 時，是否同時存在實數(shù)m 和 M (m0 得 x1,由 f(x)0 得 0 x1;當(dāng)a：0 時，由 f (x) 0 得 0 ： x ： 1,由 f(x)：0 得 x 1.綜上，當(dāng)a 0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1：),單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 1)；當(dāng)a 0時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, 1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1廠：)。(III ) 當(dāng)

6、a=1 時，f (x) = _x 2 xln x, f (x) =1 n x.- 1由(II)可得，當(dāng) x 在區(qū)間(丄，e)內(nèi)變化時，f (x), f(x)的變化情況如下表:ex1 e(-,1)e1(1,e)ef(x)-0+f(x)2 2e單調(diào)遞減極小值 1單調(diào)遞增221又22,所以函數(shù) f(x)-,e)的值域為1，2。eem =11據(jù)經(jīng)可得，若，則對每一個i m,M ，直線 y=t 與曲線y = f(x)(x,e)都有M=2e公共點。1并且對每一個r(：，m)U(M , V)，直線y二t與曲線y = f (x)(x,e)都沒有公共點。e綜上，當(dāng) a=1 時，存在最小的實數(shù) m=1，最大的實數(shù)

7、 M=2，使得對每一個t m,M ，直線y=t1與曲線y = f (x)(x ,e)都有公共點。e6.設(shè)函數(shù)f ()x = x3- 2ax2bx a，g* ) = x2-3x - 2，其中xR，a、b 為常數(shù)，已知曲線y = f (x)與y = g(x)在點(2,o)處有相同的切線 i。(I)求 a、b 的值，并寫出切線 I 的方程；(II)若方程f (X g(X二mx有三個互不相同的實根o、x、x，其中為：x2，且對任意的x k,x21，fx() - g()x : m(x -1)恒成立，求實數(shù) m 的取值范圍。【解析】20.本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，同時考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)

8、行推理論證的能力，以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想，(滿分 13 分)解：(I)f (x) = 3x 4ax b, g (x) = 2x - 3.由于曲線y = f (x)與 y二g(x)在點(2, o)處有相同的切線，故有f(2) =g(2) = 0, f (2 g (2) =1.所以a二-2,b =5，切線I的方程為x-y-2=0(n)由(I)得f (x)二x4x25x2，所以f (x) g (x)二x3x22x.2依題意，方程x(x -3x，2-m)=0有三個互不相同的實數(shù)0, x!, x2,2故X1,X2是方程x -3x，2 - m = 0的兩相異的實根。所以，;.=9 -4(2 -m)10,即m4又對任意的X以，X2, f (x) g(x) : m(x -1)成立,特別地，取x=人時，f(x1) g(xj -mx1：-m成立，得m：0.由韋達(dá)定理，可得x1x 3 0, x!X2= 2 - m 0,故 0：捲：x2.對任意的x1, x2,有 x-x2乞 0, x_ 0, x 0則f (x) g(x) -mx = x(x _xj(x _x2) M0,又 f (% )