點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系

1、點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系【基礎(chǔ)回顧】一、三個(gè)公理和三條推論公理1:一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。 這是判斷直線在平面內(nèi)的常用方法。公理2、如果兩個(gè)平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，而且這無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)都在 同一條直線上。這是 判斷幾點(diǎn)共線（證這幾點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)）和 三條直線共點(diǎn)（證其 中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一。公理3:經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。推論1:經(jīng)過直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。二、平行和垂直位置關(guān)系的判斷方法1、兩直線平

2、行的判定：（1）公理4:平行于同一直線的兩直線互相平行；（2）線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面 相交的交線和這條直線平行；（3）面面平行的性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；（4）線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。2、兩直線垂直的判定：（1）勾股定理（2）如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說兩條直線互相垂直；（3）如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面上所有的直線；（4）如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么它也垂直于另一條（5）三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，

3、如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它 也和這條斜線垂直。（6）三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么 它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。3、直線與平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定定理：如果不在平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和 這個(gè)平面平行；（2）面面平行的性質(zhì)：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平 行。4、直線和平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的 兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平 面垂直。（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè) 平面。

4、5、兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)：（1）判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相 垂直。（2）定義法：即證兩個(gè)相交平面的二面角為直角；6、兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)：（1）判定：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。三、異面直線所成角（1）范圍：廠（0,；2（2）求法：計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是平移（中點(diǎn)平移，頂點(diǎn)平移以及補(bǔ)形法：把空間圖 形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面 直線間的關(guān)系）轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角。四、直線和平面所成角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線

5、和這個(gè)平面所成的角。（2）范圍：090打；（3）求法：作出直線在平面上的射影，將直線與平面的夾角轉(zhuǎn)化為平面角來求；（4）特征：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。六、二面角：（1） 平面角的三要素：頂點(diǎn)在棱上；角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；角的兩邊與棱都 垂直。（2）作平面角的主要方法：定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；三垂線法：過其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：過一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的范圍：0,二；（4）

6、二面角的求法：轉(zhuǎn)化為求平面角；面積射影法：利用面積射影公式 SM= S原 cost， 其中二為平面角的大小。對(duì)于一類沒有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出（1）異面直線的距離：直接找公垂線段而求之；轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和另一條直線平行。轉(zhuǎn)化為求平面到平面的距離，即過兩直線分別作相互平行的兩個(gè)平面。（2）點(diǎn)到直線的距離：一般用三垂線定理作出垂線再求解。（3）點(diǎn)到平面的距離：垂面法：借助于面面垂直的性質(zhì)來作垂線，其中過已知點(diǎn)確定 已知面的垂面是關(guān)鍵；體積法：轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高； 等價(jià)轉(zhuǎn)移法。（4）直線與平面的距離：前提是直線與平面平行，利用直線上任意一點(diǎn)到平

7、面的距離都 相等，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。（5）兩平行平面之間的距離：轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離。（6）球面距離（球面上經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度）：求球面上兩點(diǎn)A B間的距離的步驟：計(jì)算線段AB的長(zhǎng)；計(jì)算球心角/ AOB勺弧度數(shù)；用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧AB的長(zhǎng)【常見題型】題型一：點(diǎn)共線和共面問題P、Q分別為AC與 BD【例1】如圖正方體ABCD-ABQDi中，E、F分別為DC和BC的中點(diǎn),AC與EF的交點(diǎn).（1）求證：D B、F、E四點(diǎn)共面；（2）若AiC與面DBFE交于點(diǎn)R,求證：P、Q R三點(diǎn)共線. 證明：（1） V 正方體 ABCD -AiBiGDi 中，BBi 仏 DDi，/.

8、 BD BD . 又V BQQ1中，E、F為中點(diǎn)，1 EF / -B1D1. EF/BD ,即 D B、F、E 四點(diǎn)共面.=2（2）v Q 平面AG，Q平面BE， P平面AG，P平面BE， 平面AG n平面BE二PQ.又 AGP!平面BE二R， R 平面AC1， R 平面BE， RPQ.即P、Q R三點(diǎn)共線.【例2】已知直線a/ b c，直線d與a、b、c分別相交于A、B、C,求證：a、b、c、d四線 共面.證明：因?yàn)閍/ b，由公理2的推論，存在平面：，使得a : ,b :-.又因?yàn)橹本€d與a、b、c分別相交于A、B、C,由公理1，d :-.假設(shè)Cd,則cn ： =C,在平面內(nèi)過點(diǎn)C作cb

9、,因?yàn)閎/ c,則c/c，此與cPlcC矛盾.故直線c二很.綜上述，a、b、c、d四線共面.點(diǎn)評(píng)：證明一個(gè)圖形屬于平面圖形，需要緊扣公理2及其三條推論，尋找題中能確定平面的已知條件.此例拓展的證明先構(gòu)建出一個(gè)平面，然后從假設(shè)出發(fā)，推出矛盾，矛盾的原 因是假設(shè)不成立，這就是證明問題的一種反證法的思路.題型二：求異面直線所成角【例1】如圖中，正方體 ABCABQD, E、F分別是AD AA的中點(diǎn).（1）求直線AB和CC所成的角的大??；（2）求直線AB和EF所成的角的大小.解：（1）如圖，連結(jié) DC,DC II AB, DC和CC所成的銳角/ CCD就是AB和CC所成的角./ CCD=45,二 AB

10、 和 CC所成的角是 45.（2）如圖，連結(jié)DA、AiCi,EF/ AD, AB/ DC,： / ADC 是直線 AB 和 EF 所成的角.ADC是等邊三角形，二/ ADC=60o，即直線AB和EF所成的角是60o.【例2】已知空間邊邊形ABCD各邊長(zhǎng)與對(duì)角線都相等，求異面直線AB和 CD所成的角的大小. 解：分別取AC AD BC的中點(diǎn)P、M N連接PM PN,由三角形的中位線性質(zhì)知 PN/ AB,PM/ CD,于是/ MPN就是異面直線AB和CD成的角（如圖所示） 連結(jié) MN DN 設(shè) AB=2,二 PM=PN=1.而 AN=DN=，由 MNLAD, AM=1,得, mN=mP+nP,./

11、 MPN900.異面直線 AB CD成 90角題型三：直線與平面平行的位置關(guān)系【例4】已知P是平行四邊形/平面PEC證明：設(shè)PC的中點(diǎn)為G, F為PD中點(diǎn)，ABCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別為連接EG FG GF/ CD且 GF=- CD2 AB/ CD AB二CD, GF/ AE,GF=AE,EG/ AF,又 AF二平面PEC EG 平面PECE為AB中點(diǎn)，四邊形AEGF為平行四邊形.ABAFAF/ 平面 PEC求證：EF/平面BBDD.【例5】在正方體ABCDAB1CD中，E、F分別為棱BC GD的中點(diǎn).證明：連接AC交BD于O,連接OE則0日/ DC 0匡丄DC2 DC/ DG , DC

12、=DG , F為 DG 的中點(diǎn), OE/ DF , OE=DF ,四邊形DFEO為平行四邊形.EF/ DQ又EFU平面 BBDD, DQu平面 BBDD,EF/平面 BBDD.【例6】如圖，已知BC 的中點(diǎn)E、F、G、M分別是四面體的棱 AD、CD、， 求證： AM / 平面 EFG證明：如右圖，在 BCD 中，G、FT G為BD中點(diǎn)，在 AMD 中, T E、連結(jié)DM，交GF于0點(diǎn)，連結(jié)0E， 分別是BD、CD中點(diǎn)， GF/BC， 0為MD中點(diǎn)，0 為 AD、MD 中點(diǎn)， EO/AM，又I AM 平面EFG， EO 平面EFG， AM / 平面 EFG .點(diǎn)評(píng)：要證明直線和平面平行，只須在平

13、面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了 注意適當(dāng)添加輔助線，重視中位線在解題中的應(yīng)用【例7】經(jīng)過正方體 ABCDABCD的棱BB作一平面交平面 AADD于EiE，求證：EiE/ BiBC1C證明：T AA, / BB1, AA 平面 BEE1B1,BB1 平面 BEE1B1， AA 平面 BEE1B1 .又 AA 二平面 ADD1A，平面 ADD1A1 門平面 BEE1B1 = EE1， AA1/EE1.nt AA1 / BB1則=BBJ/EE1.AA / EE1【例 8】 如圖， AB/，AC/BD，OS-，Dh*，求證： AC=BD.證明：連結(jié)CD，T AC / BD，直線AC和BD可以確

14、定一個(gè)平面，記為，T C,D 三用，C,D ：= l：-，:門二CD，T AB :， AB 二.，二 CD AB/CD，又 T AC / BD， 四邊形ACDB為平行四邊形， AC二BD .題型四：平面與平面的位置關(guān)系【例1】如右圖，在正方體 ABCA1B1C1D中，M N、P分別是CQ BQ、CQ的中點(diǎn)，求證:平面MN/平面ABD證明：連結(jié)BD,t p、N分別是DG、BC的中點(diǎn)， PN/ BD. 又 BD / BD， PN/ BD又PN不在平面ABD上， PN/平面ABD同理，MN/平面 ABD 又PNn MN=N, 平面PM/平面 ABD【例2】已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行

15、四邊形.點(diǎn)M N Q分別在PA BD PD上, 且PM MA=BN ND=PQ QD 求證：平面 MNQ平面PBC證明：了 PM MA=BN ND=PQ QD MQ/ AC, NQ/ BP,而Bfc平面PBC NQu平面PBC NQ/平面PBC又：ABCD為平行四邊形，BC/AD, M(/ BC,而BC 平面PBC MQ二平面PBC MQ 平面PBC由MQ N(=Q,根據(jù)平面與平面平行的判定定理,平面MNQ平面PBC點(diǎn)評(píng)：由比例線段得到線線平行，依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，證得兩條相 交直線平行于一個(gè)平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行 一般證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線 的平行【例4】直四棱

16、柱ABCDABQiDi中，底面ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱AA = 3 , M N分別 為ABi、AD的中點(diǎn),E、F分別是BQ、CQ的中點(diǎn).(1)求證：平面 AMM平面EFDB (2)求平面AMNf平面EFDB勺距離.證：(1)連接AiCi,分別交MN EF于P、Q 連接AC交BD于0,連接AP、0Q由已知可得 MN/EF , MN /平面EFDB .由已知可得，PQ / A0且PQ =A0. AP / 0Q , AP/平面 EFDB . 平面 AM平面 EFDB解：(2)過A作平面AMNf平面EFDB勺垂線，垂足為H、H,易AH _AP 1HH 一 PQ 2 .由 AP =JaA2 +A

17、P2 =32 +(空)2 =愛，根據(jù) Vamn =Va*n ,貝 UV42738鯊恵I-AHU 3，解得AH二口9 .所以，平面 AMN323219與平面EFDB勺距離為罟.點(diǎn)評(píng)：第(1)問證面面平行，轉(zhuǎn)化途徑為“線線平行一線面平行一面面平行”第(2)問求面面距離，巧妙將中間兩個(gè)平面的距離，轉(zhuǎn)化為平面另一側(cè)某點(diǎn)到平面距離的比例，然 后利用等體積法求距離.等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想在本題中十分突出，我們可以用同樣的轉(zhuǎn)化思維, 將此例中的兩個(gè)平面的距離，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn) B到平面AB C的距離.【例5】已知正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為1,分別取邊BC CD的中點(diǎn)E、F,連結(jié)AE EF、AF,以 AE EF、FA為折痕，折

18、疊使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P.(1) 求證：API EF； (2)求證：平面 APEL平面APF證明：(1)如右圖，/ APE：/ APF=90,PEn PF=P, PA!平面 PEF / EFu平面 PEF, PAI EF.(2) v/ APE=/EPF=90,APn PF=P,a PE丄平面 APF 又PEu平面PAE二平面 APEL平面APF【例6】如圖,在空間四邊形ABCD中, AB=BC, CD=DA, E,F,G分是CD,DA,AC的中點(diǎn)，求證：平面 BEF_平面BGD . 證明：AB=BC,G為AC中點(diǎn)，所以AC丄BG.同理可證AC_DG,二AC _面BGD 又易知EF/ AC,則EF丄面BGD又因?yàn)镋F 面BEF 所以平面BEF _平面BGD .【例7】如圖，在正方體ABCD AiBiCiDi中，E是CCi的中點(diǎn)，求證：平面ABD _平面BED .證明：連接AC交BD于 F,連接AF，EF, AE，AG .BD的中點(diǎn)，所以由正方體 ABC D i A1B1C，易得 AD =AB， ED 二 EB， F 是 A F _ B D E_F B得到 AFE是二面角Ai - BD -E的平面角.設(shè)正方體ABCD ABQDi的棱長(zhǎng)為2,貝UAF2 =AA2 +AF2 =22 +(J2)2 =6， EF2 =CE2 +CF2 =12 +(72)2 =3，AE2 =AG2