長沙理工大學(xué)常微分方程題庫

1、01|02|1|8|A1000011_030_1|247解： 是原方程的解。02|02|1|10|A1000011_030_2|248,并求滿足初始條件：的特解.解：對原式進行變量分離得兩邊同時積分得：，即 (這里)把代入得故滿足初如始條件的特解02|02|1|9|A1000011_030_3|249并求滿足初始條件：的特解.解：對原式進行變量分離得：兩邊同時積分得：即當時顯然也是原方程的解。當時，代入上式得故特解是03|02|1|7|A1000011_030_4|250證明曲線上的切線的斜率與切點的橫坐標成正比的曲線是拋物線。證明：設(shè)為所求曲線上的任意一點，則 則：即為所求。03|02|1|

2、8|A1000011_030_5|251設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴于的積分因子.證:必要性 若該方程為線性方程,則有 ,此方程有積分因子只與有關(guān) .充分性 若該方程有只與有關(guān)的積分因子 .則為恰當方程 ,從而, .其中 .于是方程可化為即方程為一階線性方程.02|06|1|8|A1000011_030_6|252試求方程的所有奇點,并討論相應(yīng)的駐定解的穩(wěn)定性態(tài)解: 由 得奇點(0,0),(1,2),(2,1)對于奇點(0,0)可知不穩(wěn)定對于奇點(1,2)可知不穩(wěn)定對于奇點(2,1)可知漸進穩(wěn)定02|06|1|7|A1000011_030_7|253試求方程的所有奇點,并

3、討論相應(yīng)的駐定解的穩(wěn)定性態(tài)解:由得奇點(0,0),(-1/,0)對于奇點(0,0) 駐定解不穩(wěn)定對于奇點(-1/ ,0) 得駐定解不穩(wěn)定01|03|1|8|A1000011_030_8|254解：這是克萊洛方程，因此它的通解為，從 中消去c,得到奇解.02|03|1|6|A1000011_030_9|255求曲線族的包絡(luò)解：對c求導(dǎo)，得，代入原方程得，即，經(jīng)檢驗得是原方程的包絡(luò).02|03|1|7|A1000011_030_10|256求曲線族的包絡(luò)解：對c求導(dǎo)，得 2(x-c)-2(y-c)=0, 代入原方程得.經(jīng)檢驗,得是原方程的包絡(luò).03|03|1|10|A1000011_030_11|

4、257試證：就克萊洛方程來說，p-判別曲線和方程通解的c-判別曲線同樣是方程通解的包絡(luò)，從而為方程的奇解.證：克萊洛方程 y=xp+f(p)的p-判別曲線就是用p-消去法，從 中消去p后而得的曲線； c-判別曲線就是用c-消去法，從通解及它對求導(dǎo)的所得的方程中消去c而得的曲線，顯然它們的結(jié)果是一致的，是一單因式，因此p-判別曲線是通解的包絡(luò)，也是方程的通解.01|04|1|7|A1000011_030_12|258解：特征方程故通解為01|04|1|7|A1000011_030_13|259解：特征方程有三重根故通解為03|04|1|9|A1000011_030_14|260設(shè)和是區(qū)間上的連續(xù)

5、函數(shù)，證明：如果在區(qū)間上有常數(shù)或常數(shù)，則和在區(qū)間上線形無關(guān)。證明：假設(shè)在，在區(qū)間上線形相關(guān)則存在不全為零的常數(shù)，使得那么不妨設(shè)不為零，則有顯然為常數(shù)，與題矛盾，即假設(shè)不成立，在區(qū)間上線形無關(guān)02|04|1|10|A1000011_030_15|261以知方程的基本解組為，求此方程適合初始條件的基本解組（稱為標準基本解組，即有）并求出方程的適合初始條件的解。解：時間方程的基本解組，故存在常數(shù)使得：于是：令t=0,則有方程適合初始條件，于是有：解得： 故又該方程適合初始條件，于是：解得： 故顯然，線形無關(guān)，所以此方程適合初始條件的基本解組為：， 而此方程同時滿足初始條件，于是：解得：故滿足要求的解

6、。03|05|1|9|A1000011_030_16|262試驗證是方程組，在任何不包含原點的區(qū)間上的基解矩陣。解：令的第一列為,這時 (t)故 (t)是一個解。同樣如果以 (t)表示第二列，我們有 (t)這樣 (t)也是一個解。因此是解矩陣。又因為det故是基解矩陣。02|05|1|10|A1000011_030_17|263試求，其中 滿足初始條件的解。解：知的基解矩陣 則若方程滿足初始條件則有若則有01|05|1|9|A1000011_030_18|264解：易知對應(yīng)的齊線性方程的基本解組為這時由公式得通解為01|05|1|8|A1000011_030_19|265解：易知對應(yīng)的齊線性方

7、程的基本解組為是方程的特征根故方程有形如的根代入得故方程有通解02|05|1|10|A1000011_030_20|266試用逐步逼近法求方程組 滿足初始條件 的第三次近似解. 解： 04|08|1|2|A1000011_030_21|267常微分方程初值問題的數(shù)值解法一般分為_法和_法。單步，多步04|08|1|1|A1000011_030_22|268求解常微分方程初值問題的Adams公式是_步法。多05|08|1|1|A1000011_030_23|269求解一階常微分方程初值問題的梯形公式為（ ）步法。A、多 B、2 C、3 D、1 D05|08|1|1|A1000011_030_24

8、|270梯形公式是求解常微分方程的（ ）階方法。A、2 B、4 C、3 D、5 A06|08|1|1|A1000011_030_25|271R-K法是一類低精度的方法。 ( )錯06|08|1|1|A1000011_030_26|272求解微分方程初值問題的二階R-K方法是多步法。 ( )錯02|08|1|6|A1000011_030_27|273用Euler法求解 ，保留兩位小數(shù)。n012345xn00.20.40.60.81.0yn11.21.521.982.623.4602|08|1|5|A1000011_030_28|274用改進的Euler法（梯形公式）解初值問題 取步長，至少保留5

9、位小數(shù)。 n012345xn11.21.41.61.82.0yn22.307692.473372.562582.610622.6364906|07|1|1|A1000011_030_29|275單點割線法的收斂階比雙點割線法低。 ( )對06|07|1|1|A1000011_030_30|276牛頓法是二階收斂的。 ( )錯06|07|1|1|A1000011_030_31|277求方程在區(qū)間1, 2內(nèi)根的迭代法總是收斂的。 ( )錯04|07|1|3|A1000011_030_32|278設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是_；04|07|1|4|A1000011_030_33|279用二分法求方

10、程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進行一步后根的所在區(qū)間為_，要求準確到，則至少應(yīng)二分_次； ,1002|07|1|5|A1000011_030_34|280用二分法求方程的正根，使誤差小于0.05。02|07|1|4|A1000011_030_35|281用牛頓切線法求的近似值。取, 計算三次，保留三位小數(shù)。02|07|1|4|A1000011_030_36|282用割線法求方程的在附近的一個根，精確到小數(shù)點后第二位。06|09|1|1|A1000011_030_37|283在等距節(jié)點的情況下，才能計算函數(shù)的差分。 ( )對06|09|1|1|A1000011_030_38|284向前差分與向后差分不存

11、在等量關(guān)系。 ( )錯04|09|1|2|A1000011_030_39|285已知某函數(shù)的二階向前差分為0.15,則其二階向后差分為_。04|09|1|2|A1000011_030_40|286利用牛頓前插公式計算某點的近似值，應(yīng)首先確定公式中的t，其計算公式為t =_。05|09|1|1|A1000011_030_41|287 ( )是利用函數(shù)的值求自變量的值。 A、三次樣條插值 B、反插值 C、分段插值 D、愛爾米特插值 B05|09|1|1|A1000011_030_42|288當線性方程組滿足 ( )時稱為超定方程組。A、未知數(shù)的個數(shù)等于方程的個數(shù) B、未知數(shù)的個數(shù)大于方程的個數(shù)C、

12、未知數(shù)的個數(shù)小于方程的個數(shù)D、未知數(shù)的個數(shù)與方程的個數(shù)大小任意 C02|09|1|4|A1000011_030_43|289已知，按最小二乘原理求一次多項式擬合上述數(shù)據(jù)。02|09|1|6|A1000011_030_44|290求超定方程組 的最小二乘解。 x=（1.6530, 0.6612）T04|10|1|4|A1000011_030_45|291已知，則三點式高斯求積公式為_，用拋物線求積公式求得_。04|10|1|4|A1000011_030_46|292已知，則用三點式可求得_，_，_，且_。05|10|1|1|A1000011_030_47|293求積公式研究的誤差為。A、觀測誤差

13、 B、模型誤差 C、舍入誤差 D、截斷誤差 D05|10|1|1|A1000011_030_48|294梯形公式、拋物線公式及n階N-C求積公式的代數(shù)精度分別至少為（ ）。 A、1,2,n B、2,3,n C、1,3,n D、1,4,n+1 C06|10|1|1|A1000011_030_49|295梯形求積公式和拋物線求積公式都是高精度方法。 ( )錯06|10|1|1|A1000011_030_50|296在使用插值型求積公式時，勿須進行誤差分析。 ( )錯02|10|1|5|A1000011_030_51|297n=4，用復(fù)合梯形公式求的近似值，取四位小數(shù)，并估計誤差。02|10|1|4

14、|A1000011_030_52|298用復(fù)合拋物線公式計算，要使截斷誤差不超過，應(yīng)至少將區(qū)間0，1.5多少等份？806|11|1|1|A1000011_030_53|299高斯塞德爾迭代法一定比雅可比迭代法收斂快。 ( )錯06|11|1|1|A1000011_030_54|300逐次超松弛迭代法是高斯賽德爾迭代法的一種加速方法。 ( ) 對04|11|1|1|A1000011_030_55|301QR算法是用來求_矩陣的全部特征值的一種方法。任意實的非奇異04|11|1|1|A1000011_030_56|302雅可比方法是用來求_矩陣的全部特征值及特征向量的一種變換方法。 實對稱05|1

15、1|1|1|A1000011_030_57|303冪法的收斂速度與特征值的分布（ ） A、有關(guān)； B、無關(guān)； C、不一定。 A05|11|1|1|A1000011_030_58|304冪法是用來求矩陣（ ）特征值及特征向量的迭代法。A、按模最大； B、按模最?。籆、任意一個； D、所有的。 A02|11|1|1|A1000011_030_59|305用簡單迭代法（雅可比迭代法）解線性方程組 取，列表計算三次，保留三位小數(shù)。x=（2.444, 0.333, -2.531）T06|12|1|1|A1000011_030_60|306在求插值多項式時，插值多項式的次數(shù)越高，誤差越小。 ( )錯04|

16、12|1|2|A1000011_030_61|307已知，則三次插值基函數(shù)=_。05|12|1|1|A1000011_030_62|308函數(shù)表示線性插值( )點的基函數(shù). A、； B、 ； C、 D、。 A05|12|1|1|A1000011_030_63|309過點的二次插值多項式中的系數(shù)為( ).A、0.5 B、0.5 C、2 D、-2 A02|12|1|5|A1000011_030_64|310已知求的牛頓插值多項式，及的近似值，取三位小數(shù)。06|01|1|1|A1000011_030_65|311一個近似數(shù)的有效數(shù)位愈多，其相對誤差限愈小。 ( )對04|01|1|3|A100001

17、1_030_66|312是x舍入得到的近似值，它有_位有效數(shù)字，誤差限為_，相對誤差限為_；05|01|1|1|A1000011_030_67|313舍入誤差是( )產(chǎn)生的誤差。A、只取有限位數(shù) B、模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C、觀察與測量 D、數(shù)學(xué)模型準確值與實際值 A05|01|1|1|A1000011_030_68|314用 1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是( )誤差。A、模型 B、觀測 C、截斷 D、舍入 C02|01|1|5|A1000011_030_69|3153.142，3.141，分別作為的近似值，各有幾位有效數(shù)字？4位，3位，3位02|01|1|4|A1000011_

18、030_70|316設(shè)計算球體積允許的相對誤差限為1%，問測量球直徑的相對誤差限最大為多少？03|20|1|10|A1000011_030_71|317設(shè)及在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，對于初值問題的解，證明    1. .    2. .1由于是齊次線性方程的初值問題的解, 寫出解的積分表達式即知.2由于是齊次線性方程的初值問題: 的解；另外也是解, 由解的唯一性, 02|21|1|6|A1000011_030_72|318求 Clairaut 方程的通解及奇解.通解, 奇解.02|14|1|8|A1000011_030_73|319求初值問題通過點的第三次近似解.&

19、#160;   , (注意：含的一項是不精確的，該項精確的表達式應(yīng)為，這可從求時看出)02|14|1|5|A1000011_030_74|320求初值問題的解, 此初值問題的解是否唯一? 是否滿足Lip條件? 唯一解為；不滿足 Lip 條件03|14|1|5|A1000011_030_75|321證明第 n 次近似解與真解的誤差表達式:利用 Lip 條件和的界用數(shù)學(xué)歸納法證.02|13|1|10|A1000011_030_76|322求下列初值問題的解的最大存在區(qū)間    1. ，    2. ，    3. ，&

20、#160;   4. 1    2    3    4. ，最大存在區(qū)間為02|04|1|6|A1000011_030_77|323求方程的通解.02|04|1|5|A1000011_030_78|324求方程的通解.02|06|1|4|A1000011_030_79|325研究下列方程的零解的穩(wěn)定性    1. .    2. .    3. .    4. .1. 漸近穩(wěn)定    2. 不穩(wěn)定    3

21、. 穩(wěn)定但不是漸近穩(wěn)定    4. 穩(wěn)定但不是漸近穩(wěn)定02|22|1|6|A1000011_030_80|326不求解，判別方程的零解的穩(wěn)定性，其中    1，    2    31不穩(wěn)定    2漸近穩(wěn)定.    3穩(wěn)定. 02|23|1|4|A1000011_030_81|327判斷奇點的類型和穩(wěn)定性    1) ；    2)     3)          &

22、#160;   4)  1). 穩(wěn)定兩向結(jié)點；   2). 鞍點 (不穩(wěn)定);     3). 不穩(wěn)定星形結(jié)點;    4). 穩(wěn)定焦點02|23|1|8|A1000011_030_82|328確定下列方程組的極限環(huán)，并判別其穩(wěn)定性   .解:  由, 得方程, 其中, 是閉軌. 當時, , 當時, , 所以是半穩(wěn)定極限環(huán).02|24|1|8|A1000011_030_83|329對以下系數(shù)矩陣A, 求:1. , 2. , 3. , 4. . 1. ,   2. , 

23、0; 3. ,     4. .02|01|1|5|A1000011_030_84|330求函數(shù) (c 是任意常數(shù), 是常數(shù))滿足的微分方程.02|01|1|5|A1000011_030_85|331求函數(shù) ( 是任意常數(shù))滿足的微分方程.06|13|1|1|A1000011_030_86|332當在平面上連續(xù)時，微分方程的解的定義域為，（ ）錯06|13|1|1|A1000011_030_87|333函數(shù)在平面的某一區(qū)域D上關(guān)于變量滿足局部李普希茲條件，則在D上必須滿足李普希茲條件（ ）錯06|14|1|1|A1000011_030_88|334方程有唯一常數(shù)解。（ ）錯

24、06|14|1|1|A1000011_030_89|335證明方程解的存在唯一性定理中所構(gòu)造的畢卡逐次逼近序列是唯一的。（ ）錯06|14|1|1|A1000011_030_90|336方程在區(qū)域：上滿足解的存在唯一性定理條件。（ ）對05|14|1|1|A1000011_030_91|337微分方程的一個特解是（ ）A、 B、 C、 D、 B05|14|1|1|A1000011_030_92|338 及對任意，原方程均有兩個解，則（ ）A、程的初值問題的解不唯一 B、方程的初值問題的解仍是唯一的C、此方程不滿足存在唯一定理條件 D、無法確定破壞唯一性 B02|14|1|8|A1000011_

25、030_93|339求初值問題的三次近似解06|15|1|1|A1000011_030_94|340n階線性方程的線性無關(guān)解的個數(shù)不超過n個（ ）錯06|15|1|1|A1000011_030_95|341線性非齊次方程的任意兩個解之差是其對應(yīng)齊次方程的解（ ）對05|15|1|6|A1000011_030_96|342設(shè)，試求方程的通解。02|15|1|5|A1000011_030_97|343求方程的通解，已知方程對應(yīng)的齊次方程有基本解組05|15|1|1|A1000011_030_98|344微分方程有三個特解，則該方程的通解為（ ）A、 B、C、 D、 C05|16|1|1|A1000011_030_99|345下面函數(shù)為方程的解為（ ） A、 B、 C、 D、 B05|16|1|1|A1000011_030_100|346函數(shù)是下列哪個微分方程的解（ ）