不等式恒成立存在性問題的解題方法

1、題的解題方法GE GROUP system office room GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-不等式恒成立、存在性問題的解題方法一、常見不等式恒成立問題解法1、用一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于一次函數(shù)/*)=左x+Axe有：例1：若不等式2x-l >?(-1)對(duì)滿足-247<2的所有他都成立，求x的范圍。 解析：我們可以用變換主元的方法，將m看作主變?cè)磳⒃坏仁交癁椋簃(x2 -l)-(2x-l)<0,；令/(?)= ?(一一 1)一(2X一1),則一24"?W2時(shí)，,|v r r / (2) < 0 2(r1) (2x 1) < 0

2、/(/«) < 0恒成立，所以只需即,J(2) < 02(x2 -1) - (2x-l)<0所以x的范圍是£ (一 " "7 二口) 。 222、利用一元二次函數(shù)判別式對(duì)于一元二次函數(shù) f (a) = ax2 + bx + c> 0(6/ W 0,x £ R)有：l /(幻>0解集為空集= av°且4O；2. /(x)«0解集為空集= "0*v°(1)/。)>0在工金/?上恒成立o a > 0且A <0：(2) /(a) <。在x e R 上恒成立 o

3、 a v OfiA < 0例2：若不等式+(?-l)x + 2 >0的解集是R,求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有 參數(shù)m,所以要討論m-1是否是0。(1)當(dāng)m-l=0時(shí)，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；(2)機(jī)1工0時(shí)，只需,所以，加 = (?-1)-8(?-1)<03、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變換使參數(shù)與主元分別位于不等式兩端，從而問題 轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思 路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1)/(X) < g(a)(a為參數(shù))恒成立=g(a)

4、> /(x)max2)f(x) > g(a)(a為參數(shù))恒成立o g(a)< /(x)max例3已知不等式/ +2x + >0在xti,+s)時(shí)恒成立，求。的取值范圍。解：X2 + 2x + > 0在x e 1,+s)時(shí)恒成立，只要a > x2 - lx在x e 1,+s)時(shí)恒成 立。而易求得二次函數(shù)力(外=-/-2%在1,+s)上的最大值為-3,所以>-3。例4.已知函數(shù)/(x) = ax-x-x- ,x e (0,4時(shí)f(x) < 0恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范 圍o解：將問題轉(zhuǎn)化為a < 出二二對(duì)x £ (0,4恒成立。 X令

5、g(x)="'二'一，則4Vg(X)min XJ4 一 14由 g(x) = - - = J-1 可知 g(x)在(0,4上為減函數(shù)，故 g(X)min = g(4)= 0 X X* a v 0即a的取值范圍為(-8,0) o注：分離參數(shù)后，思路清晰，方向明確，從而能使問題得到順利解決。4、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行 “換位”思考，往往會(huì)使問題降次、簡(jiǎn)化。例5.對(duì)任意不等式/+3-4)x + 4-2。>0恒成立,求”的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，但若把。看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等

6、式(x-2)a + / - 4x + 4> 0在4上恒成立的問題。解：令/(a) = (x-2)a + -4x + 4,則原問題轉(zhuǎn)化為/(a) > 0恒成立(CI £ 1,1 ) o當(dāng)x = 2時(shí)，可得/(。)= 0,不合題意。當(dāng)工工2時(shí).，應(yīng)有解之得xvl或v>3。故x的取值范圍為(s,l) U (3,+s)。練習(xí)：1.已知/*)=+辦+ 3-*若xe-2ZJ(x)4 0恒成立，求a的取值范圍.2 .對(duì)于不等式(l-nOx'+lm-Dx+B。(D當(dāng)I x | W2,上式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)| m | W2,上式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.3

7、。若不等式axU2x+2>0對(duì)x£ (1,4)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。二、存在性問題存在x£D,使得函數(shù)f (x)>aOf (x)w>a存在 x£D,使得函數(shù) f (x) WaU>f (x) 1dnWa例6：已知函數(shù)f (x)=x，-ax+a,若存在x£ T, 2使得f (x)>0,試求實(shí)數(shù)a的取值范 圍o解：法一：f(l)=l>0,所以對(duì) a£R,均存在 x£-1,2使得 f(x)0.法二：原題同解于：當(dāng) x£-l,2IT'h f(x)w>0,即:法-1)0 或 f(2

8、)>0代入可得：l+2a0或4 一心0得 a-0. 5或a<4 JaWR練習(xí)：1。已知/(1)=2/-2,“+3,若存在xe(l,2使得f(x)<0成立，求a的取值范圍.2.存在x£R,使得不等式成立，則a的取值范圍是.三、有解問題不等式f(x)a, x£D有解(解集非空)。f (x)mu:>a不等式f(x)<a, x£D解集為空集O f(x心a方程f(x)=a, x£D有解(解集非空)<=> aef(x) x£D即x e。時(shí)/3)的值 域。例7：方程乂?-2*+2a=0在區(qū)間(0,3)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 O解：原題同解于：a=x'-2x+