七年級數(shù)學--角與旋轉

1、七年級數(shù)學一一角與旋轉1、如圖，以直線AB上一點0為端點作射線0C,使N BOC=70。，將一個直角三角形的直角頂 點放在點0處.(注：Z DOE=90°)圖圖圖§(1)如圖，若直角三角板DOE的一邊0D放在射線0B上，則NCOE=°:(2)如圖，將直角三角板DOE繞點。逆時針方向轉動到某個位置，若0C恰好平分NBOE, 求N COD的度數(shù)；(3)如圖，將直角三角板DOE繞點0轉動，如果0D始終在N BOC的內部，試猜想N BOD 和N COE有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由.【答案】(1)20(2)解：如圖，:OC 平分NEOB, Z BOC=70", /

2、. Z EOB=2Z BOC=140%,/ Z DOE=90%Z BOD=Z BOE-Z DOE=50°,/ Z BOC=70%Z COD=Z BOC-Z BOD=20°(3 ) 解：Z COE-Z BOD=20° , 理 由是： 如 圖，: N BOD+Z COD=Z BOC=70" , Z COE+Z COD=Z DOE=90°,(Z COE+Z COD) - (Z BOD+Z COD)=Z COE+Z COD-Z BOD-Z COD=Z COE-Z BOD=90°-70°=20%即N COE-Z BOD=20°

3、;【考點】角的平分線，角的運算，余角、補角及其性質【解析】【解答】如圖,z COE=Z DOE-Z BOC=90o-70°=20°：【分析】(1)根據(jù)角度的換算可知NCOE和NBOC互余，那么根據(jù)N COB=70?？傻肗 COE=20。： (2)根據(jù)角平分線和N BOC可得N BOE=140。，Z COE=Z BOC=90%所以它的余角N COD=20°： (3)一個是直角NEOD, 一個是70。/BOC,這兩個角里都包含了同一個角N COD,那么大家 都減去這個NCOD的度數(shù)，剩下的兩角差與原兩角差是一致的，所以可得出結論 Z COE-Z BOD=20°

4、;o2、如圖，已知NAOB=12知,OC±OB,按下列要求利用量角器過點。作出射線OD、0E：(1)在圖中作出射線0D滿足N COD=50。，并直接寫出N AOD的度數(shù)是;(2)在圖中作出射線OD、OE,使得OD平分NAOC, OE平分N BOD,并求N COE的度數(shù)； (3)如圖，若射線0D從0A出發(fā)以每秒10。的速度繞點。順時針方向旋轉，同時射線OE 從OC出發(fā)以每秒5。的速度繞點O順時針方向旋轉，設旋轉的時間為t秒，在旋轉過程中，當 OB第一次恰好平分N DOE時，求出t的值，并作出此時OD、OE的大概位置.【答案】(1) 20?；?80。(2)解：如圖,OB,/ CO

5、7;BO Z COB=90° Z AOB=120°/. Z AOC=120o-90°=30° OD 平 分 Z AOCZ COD=0.5Z AOC=15"Z BOD=900+15o=105°/ OE 是N BOD 的平分線Z EOD= 0.5Z BOD=52.5° /. Z COE=52.5O-15O=37.5°.（3）解：如圖，根據(jù)題意有：30°+5t+(90°-5t)x2=10t 解得：t=14.【考點】角的平分線，角的運算【解析】【解答】解：(1)有兩種情況分別是：當0D在N AOB內部時

6、，如圖,COJLBOZ COB=90°,/ Z AOB=120°Z AOC=120o-90°=30°/ Z 000=50°,Z AOD=50o+30°=80°當OD在N AOB外部時，如圖,COjLBOZ COB=90° Z AOB=120°Z AOC=120o-90°=30°,/ Z COD=50°, Z AOD=50°-30°=20°【分析】（1）有兩種情況分別是：當0D在NAOB內部時，如圖，根據(jù)垂直的定義及角的 和差，由N AOC=N A

7、OB-N BOC即可算出N AOC的度數(shù)，最后根據(jù)N AOD=N AOC+N COD即可算 出答案；當OD在N AOB外部時，如圖，根據(jù)垂直的定義及角的和差，由N AOC=Z AOB-Z BOC 即可算出N AOC的度數(shù)，最后根據(jù)/ AOD=Z COD-Z COA即可算出答案：（2）根據(jù)垂直的定義及角的和差，由NAOC=NAOB-NBOC即可算出NAOC的度數(shù)，根據(jù)角平 分線的定義得出Z COD=0.5 Z AOC算出Z COD的度數(shù)，根據(jù)角的和差，由 Z BOD=Z COD+Z BOC算出N BOD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義得出N EOD=0.5 Z BOD得出 Z EOD的度數(shù)，最后根據(jù)

8、N COE=Z EOD- Z COD算出答案；（3 ） 根據(jù)題意Z AOD=10t,Z C0E=5t,根據(jù)角的和差得出 Z BOD=Z AOD-Z AOB=10t-120°/Z BOE=Z COB-Z COE=90°-5t,然后根據(jù)角平分線的定義得出 Z BOD=Z BOE,從而列出方程，求解即可。初中七年級（上）旋轉動角問題專題（適用于七年級上學期）匕顰題策略U為是一種基本的幾何圖形J凡是由直線組成的圖形和出現(xiàn)角.西盟可以看成有公共端點的兩荼射線組成的圖形，也可以看成是一條射線塊若端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形解與角有關的問題常用到以下知識與方法：1 .角平分線

9、的應用J如雙角平分線模型；2 .多個角間的數(shù)量美系及H等量代投53 .引入字母法示比例角度、動西，用方程的觀點來進行角的計更：4角的邊位置不定時,雷契分類討論.匕典型例題已知N AOB=150" , OC為/AOB內部的一條射線，/ BOC=600.1）如圖1,若0E平行/ AOB , 0D為/BOC內部的一條射線j Z COD/BOD ,求上 DOE的度教J2< 2）如因2,若射線OE燒看0點;從OA開始以15度/秒的速度順時針族轉至 OB結束、OF統(tǒng)看0點;從OB開始 以5度杪的速度逆時介旃轉至 0A結束，運動時間為t秒，當/ EOC=ZFOC時，求t的值：< 3）若

10、射線0M線看O點從OA開始以15度秒的速度逆時計旅轉至 OB結束，在旅博過程中， ON平分N AOM , 流問2/BON -ZBOM在某時間等內是否為定值，若不是，話曉明理由J若是話補全團形，求出這個定值并寫出t所在的時間段.（本題中的角均為大于 0。即升180”的角）出t所在的時間段.(本題中的角均為大于 0°且小于180°的角)解：(1) VZ AOB=150°, OE 平分NAOB,二 75°,2VZBOC=60S ZCOD=4-ZBOD,2./BOD=40°, / COD=20°,/EOD二 NEOB -/DOB = 750

11、-40°二35、(2)當 OE 在/AOC 內部時，VZ EOC二NFOC,/. 90 - 15k60 - 53t=3.當。E 與 OF 重合時，15H5t =150°，t=7 5.綜上所述，當N EOC=/FOC時，仁3s或75s.(3)2NBON-N BOM 的值為定值<4<t<12：>.理由：VZ AOM=15t. ZAON=ZMON=7 5t, / BON=210° - 7 5M Z BOM =210" - 15t,A2ZBON ZBOM=2 <210-7 51) - ( 2100- 15t> =21OQ (4

12、<t< 12).工同步練習一.填空題1 .計克：53° 40' 30” +75" 57' 28 =2 .同學們.，鬧神都見過吧！它的時針和分針如同兄弟俯在寒跑，可你是否知道時針每分鐘走多少度？分針埒分針走多少皮？當你弄清楚這個同族后，你能解決很多關于君沖有理的向31：C1J三點整時時針與分針斯夫的角是 疾.（2）7點25分時針與分針所夾的角是 度.一晝夜（ 0點到24點）時針與分竹互相垂直的次數(shù)有多少次？3 .如圖1,射線0C在/AOB的內郃，圖中共有3個角：N AOB； ZAOC fOZBOC,若其中有一個角的愛豢罡另 一個角度數(shù)的兩倍,則稱射

13、線OC是/AOB的巧分線.如圖2/若N MPN =75巨射線PQ燒點P從.PN位器開始,以每杪15。的速度逆時/瓶隹, 射線PM同時愛點P以每秒5。的速度逆時針放、" 當PQ與PN成180。時, PQ與PM同時停止旅區(qū)，設旋轉的時間內I秒.當新線PQ是NMPN的“巧分線”時，t的值為.4 .如圖1所示上AOB的紙片，OC平分/ AOB ,如圖2把/ AOB沿OC對折成N COBOA與OB更3J，從。點引一條射線OE,使N BOE=1ZEOC,再沿OE把角剪開,若藥開后得到的 3個角中最大的一個角為 76，則N 25如圖，/ AOB=201 ZAOE=110", 0B 平分N

14、 AOC , OD 平分N AOE .（1）求/ COD的度數(shù)3（2）若以點O為觀察中心，OA為正東方向，求射線 OD的方位角J（3若/AOE的兩邊OA,OE分別以擔秒5%/秒3°的速度，同時繞點。按逆時針方向旋羯 當OA回到原處時，OA, 0E停止運動，見經(jīng)過多少秒時,Z AOE=30°?6.加圖，0是白線AB上一點，Z COD是直角，0E平分/ BOC.1)若/ AOC=100% 則N DOE=J 若/ AOC=120% 則/ DOE =5(2)若N AOC=q則N DOE=(用含。的式子表示),請說明理由；(3)在NAOC的內都有一條射線 OF3黃足NA。C-2NB。

15、E=4NA。F7試畸定N AOF與N DOE的炭軌之間的關系,并收明理由.7一副三角板 ABC、DEF ,如圖(1放置,(ND=30NBACM50)(1)求N DBA的度數(shù).2)省三角板DBE繞B點逆時曾旋轉，(如國2)在旅轉過程中BM. BN分別平分/ DBA. ZEBC,則/ MBN如何變化？<3>若三用板BDE繞B點逆時針版轉到如圖( 3)時，其它條件不變，則(2)的結論罡否變化？8.如圖.，宜線EF與WN相交于點O, Z MOE=30 將一直角三角兄的宜角頂點與O正合，直角邊OA與MN £合，0B在/NOE內剖.操作：將三角尺繞點0以每秒3。的速度沿預指針方向位轉

16、一周，設運動時間為 t <s).1>當為何值時,直角邊 0B恰好平分N NOE ? m 0A是否平分N MOE?請說明理由；(2)若在三角尺轉動的同時,直線 EF也集點。以缶秒9°的速度項時針方向旋轉一用當一方先完成旋轉一周時)另一方同時停止轉動.當t為何值時，EF平分/ AOB ?EF能否平分/NOB ?若能請直接寫出t的信5若不能,請說明理由.9.如闋，點O為直線AB上一點，過點 0作射線0(3,使/口0=1350,將一個含45淘的宜用三角尺的一個頂紅1)將圖1中的三角尺繞君點。逆時什旋轉90°,如圖2所示，此時/ BOM=j在圖2中，0M足否平分NCON?

17、請堀明理由， < 2)要接若將圖2中的三角板綾點O逆時針繼續(xù)旋轉到圖3的位置所示，使得ON在N AOC的內郃，詰探究：NAOM與NCON之間的數(shù)量關系，并說明理由；( 3)將圖1卬的三角板繞點O按每秒5。的速度沿逆時針方向旋轉一周，在法芮的過程卬，第I秒時，直線ON恰好平分銀的/ AOC,則t的值為直接寫出結果).10.如圖1,在數(shù)釉上A,B兩點對應鬣;分別是 6, -6, NDCE=90YC與O歪合，D點在教鋪的正華鈾上）（2）如圖2,將N DCE沿物泊的正H軸向右平移 t（0<1<3）個單位后，再繞點頂點 C逆時升旋轉30t度，作CF 平分NACE,此時記/ DCF二a.

18、當t=1時，0=;猜您/ BCE和。的題量關系,并證明.；3）如圖3,開始/ DiGE,與NDCE至臺,將N DCE沿數(shù)軸的正半軸向右平移t <0<t<3）個弟位.再集點頂點C逆時針旋轉30t度，作CF平分NACE,此時記N DCF=為與此同時,將/ DQE沿救軸的京豐鈉向左平移 t （0<t<3）個單位,再續(xù)點頂點 CJ夜時針瓶樣3OI同作CFi平分NAC正曾記N D£F正叢若。與B滿足月二20,請直接寫出t的值力R終考答案3填空題1 .計算：53° 40z 3。, 4-750 57129g鏟 58."解:53° 40 3

19、0"75° 57, 28"=128" 97 58" =429° 37, 582 .同學們，鬧鐘都見過吧！它的時針和分針如同兄弟倆在賽跑，可你是否知道時針每分鐘走多少度？分針每分針 走多少度？當你弄清楚這個問題后，你能解.決很多關于鬧鐘有掩的問題：(1)三點整時時針與分針所美的角是90度.(2) 7點25分時針與分針所夾的角是72 5度.(3)一晝夜(0點到24點)時牡與分針互相垂直的次數(shù)有多少次？(1) 3>30=90。；<2)2巨澈。=72.5 °312< 3)從重合到第一次垂亙所需要的時間為儂，11過一

20、次垂直到不一次垂直經(jīng)過x分鐘，則6x - 0.5x=2 305.5x=1805.5x=180,普(24 沖0-12)11 11=24 >60 xH-=43.5次)360取整為43次.頡總次數(shù)為43+1=44次)答；一目夜時針與分針互相垂直的次教為44次.3.如圖3射線OC在/AOB的內部，圖中共有3個角：N AOB , ZAOC和NBOC,若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍,.則稱射線 OC SZAOB的不分線如圖2；若N MPN二75 ，且豺線PQ繞點P從PN位置 開始，以超秒15°的速度逆時針旋轉,射線PM同時緩點P以年秒5°的速度逆時針旋轉，當PQ與PN成

21、18口。時， PQ與PM同時仔止旅轉，逐旅轉的時間為1秒,當射線PQ是/ MPN的芍分線，時，t的值為或日o I15t= < 75%5t), 2解得t=3，當NNPQ二工NMPN 時, 315tq(75/ 3解得t=Ii.8當 nnpq/nmpn 時, 315t* < 75%5t),解得白歿.7戰(zhàn)t的值為3或K或9.874.如圖1所示/ AOB的址片，OC平分N AOB ,如圖2把上AOB沿OC時折成N COB < OA與OB垂合）,從O點引一條射線0E,使/ BOE二方NEOC,再沿0E把用剪開,若打開后得到的 3個角中最大的一個角為 76°, WZ解：:OC 是

22、/AOB 的平分線則/ AOC= Z BOC= ZAOB 或/ AOB二2 NAOC=2 / BOC又剪開后得到的3個角中最大的一個角為76。,，2/COE = 76，/COE二38又,，/ BOE= yZ EOC, 4.,.ZBOE=y>8c=19oAZ BOC=ZBOE+ ZEOC=19 +38° =57°貝叱 AOB=2 Z BOC=2X 571140.二.睥答題5-如囪，N AOB=20° , Z AOE=110" OB 平分N AOC ， OD 平分N AOE .（1）末/ COD的度數(shù);（2）若以點O為觀察中心OA為正東方Pb求射踐 O

23、D的方位角，（3）若NAOE的兩邊OA> OE分別以滋抄5°和麗秒3°的速度,同時,點 O投逆時計萬向旋轉，當 OA回到原處時, OA, OE停止運動，則經(jīng)過多少秒時,N AOE=30 ?解：（1）因為 0B 平分/ AOC， Z AOB二20 ,所以NAOC=40 ,因為OD平分/AOEZ AOE=110 >所以/AOD=5S ，因為/ COD= ZAOD - ZAOC ，所以/ COD=55 - 4050 3（2因為 90° 55°=35° ，所以射線OD的方位角是北儡東35。；（3）設經(jīng)過X秒時，Z AOE=30 >加國

24、1所示，當OA未追上OE時，依題意，得5x- 110=3x-30,解得.x=40;如圖2所示，當OA超過OE時，儂題意，得 5x- 110=3x - 3O5x - 110=3x+30 , 解得，x二70.6.如圖'O是直線AB上一點，N COD是直角，OE平分N1）若/ A00100 則/ DOE二 50° ；若/ AOC二 12。，（2）若N AOCH ,則N DOE= 0 （用含。的式子表示）2BOC.則N DOE二 600,請說明理由；（3）在N AOC的內部有一條射線 OF,滿足/ AOC - 2/BOE二4 NAOF ,試確定/ AOF與/ DOE的度數(shù)之間的關 系

25、，并說明理由.解：（.1） VZ AOC=IOD ，BOC二 18。- 100°二8030E 平分/ BOC,，Z COE=Z BOC=冷0。二40122TN COD二90 ，AZ DOE二/COD - Z COE二9。- 40。二50°VZ AOC=120 >AZBOC=180 - 1200=6010E 平分N BOC,AZ COE二1NBOC二1>60°二30122'.'ZC0D=9D ，Z DOE= ZCOD - Z COE二9。一 30°二60° J(2) N DOE二上的2.NAOC£,.,.Z

26、BOC-180 - 3TOE 平分/ BOC；Z COE=Z BOC=90 -"22二/COD=9。，Z DOE= ZCOD - Z COE=90 -90。-工0) Jr 22(3) ZDOE-ZAOF=45 .理由：，/Z AOC - 2Z BOE=4 ZAOF ， .'.ZAOC - 3ZAOF=2 ZBOE+ ZAOF ,設/ DOE=x , Z AOFy ,左邊=ZAOC - 3NA0F=2 ZDOE - 3ZAOF=2x.3y ,右邊二2/BOE*/AOF=2 <90x> +y= 180" -2x+y,/. 2x - 3y= 180 - 2 X

27、、 即 4x - 4y= 180",.x-y=45fr.a.ZDOE-ZAOF=45 .7.一副三色板 ABC，DEF,如圖1）放置，（ND=30'、/BAC=45°） 1）求/ DBA的度數(shù).< 2>若三角板DBE笠B點:逆時什施話，（如圖2）在施話過程中 BM、BN分別平分/ DBA、Z EBC,則/ MBN 如何變化？<3）若三角板BDE繞B點逆時針制專到如圖< 3）時.其它條件不變則<2）的結論是否變化？解；< 1 > Z DBA= ZDBC - Z ABC=60 - 45Q=15Q5<2> Z MBN的

28、度數(shù)不變化，理由如下：設NABE=P ，貝iJNABD=6O - x°、Z CBE=45 - x°,BM、BN 分別平分N ABD、ZCBE.'.Z ABM=工NABD= L(600-x>22ZEBN= LneBC=L <45ft- x>22?.Z MBN- ZABM+ NABE+ ZEBN- A.(60°- x°3+x°+工(45°-乂°-52.5 °22<3)<2>中的結論不變,理由如下：設N ABE二支，貝UNABD二60+文、NCBE二4s +x0,.BM、BN

29、分別平分/ ABD、ZCBE >.-.Z ABM= 1»NABD= L60Jx»22ZEBN=工/EBC二上(45"),22AZ MBN- ZABM -NABE+NEBN=! <60°+x°) - xg1455)-52.5°.228.如圖,直線EF與MN相交于幻O； NM0E二37 ,將一直角三角尺的直角頂點1與0重合,直由邊0A與MN重合，0B在NN0E內部-操作：將三甬尺繞點 。以每秒3°的速度沿順指針方問詢與一周，設運動時間為t <s).1)當t為何值日寸，直西邊 0B恰好平分N NOE ?此時0A是

30、否平分N M0E ?請說明理由5<2>若在三角尺轉動的同時，亙線 EF也笠點O以由秒9°的速度順時針方向笳轉一周，當一方先完成旋轉一周時，另一方同時停止行動.當t為何值時EF平分N A0B ?EF能否平分/ N0B?若能話直度寫出的值，若不能，話說明理由.解：C1> :當互角邊0B恰好平分上NOE時,N NOB二J»NNOE二!1200-30。二75122/.S0-3t =75解行：t=5.此時 N MOA二3 >5=15"=ZMOE， 2J此時OA平分/ MOE .(2) 0E 平分/ AOB ，儂題意有3CT+91- 3仁90°

31、;丑,解得仁2.5;OF 平分/ AOB)依題意有 300+9t - 3t=180，90° 攵 ,解得仁32.5.故當t為2.5s或32.5s時，EF平分N AOBOB在MN上面，依題意有 180°- 30°- 91 =(90°- 3t)交，解得仁14;OB在rv1N下面，依題意有 9t- ( 3600 - 30) = (3t - 900) 42,解得仁38 (舍去).故EF能平分/ NOB, t的值為14s.9.如圖點、。為亙線AB上一點，過點 O作射線OC,使NBOC=136，將一個含45宣的直角三角尺的一個頂點 放在口。處，斜邊OM與直線AB更合，

32、另外兩條亙珀邊都在直線AB的F方.1)將團1中的三角尺緩看點 0強時廿標轉90%加因2所示，此時/ BOW 90。j在因2中，OM是否平分 /CON?詰說明理由j2緊接君將圖2中的三角板線點O逆時針繼續(xù)旋轉到圖3的位鎧所示，使得ON在NAOC的內部，話探究：N AOM與NCON之間的數(shù)量美系，并說明理由；3將圖1中的三魚板繞點 。按斑利50的速度沿逆時針方向旋轉一周,在旋轉的過程中,第 t秒時,亙線ON恰 好平分銳角/ AOC ,則t的值為4.5秒或40.5秒 直接寫出結果).扉：(1)如圖 2； ZBOM=9t)，OM平分/ CON,理由如下： ,NBOC= 135 ， .ZMOC=12fc -90"=45°,而 NMON=4 ， /.ZMOC= ZMON ;（2） NAOM二 ZCON . 理由如下：如圖3, Z MON=45 ，/.ZAOM=45 -ZAON , a/Z AOC=45 ，'./NOC=45 - Z AON ,'.NAOM