專(zhuān)插本高等數(shù)學(xué)13頁(yè)練習(xí)

1、專(zhuān)插本高等數(shù)學(xué)13頁(yè)練習(xí)第一章函數(shù)、極限和連續(xù)注：補(bǔ)充例題或習(xí)題已在題號(hào)前標(biāo)注 *一、函數(shù)1x2，x 2的定義域.3x 2,2x31例1 (1)求函數(shù)f x ln x 2,-的定義域.(2)求函數(shù)f x,x21例 2 設(shè)函數(shù) g x x 2 , f g x lnx2,則 f1 .例 3 已知 fx In 1 x , f x x,求 x .例4若 1叵3,則 x .x x例5已知f x的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，f x 1 x x 1 ,則f x 1例6判斷函數(shù)f xlg x &_1的奇偶性.二、極限例1求下列各題的極限(1)媽sin 2x.(2)x3 3x2 2xlim 2. (3)x 2 x

2、 x 6lxm12x2 1(4) lim , x2 2x x例2設(shè)當(dāng)x 0, y1 ax2 1與sin2 x是等價(jià)無(wú)窮小，則 a 例3當(dāng)x 0時(shí)，下列變量與x為等價(jià)無(wú)窮小量的是().A. sin2x B. 1 cosx C. 1 x 、1 x D. xsinx例4求下列各題的極限tanx sin x一一 3sin xtan 2x(1) lim . (2)x 0 sin 5x例5求下列各題的極限111 2x(1) lim . limx 0 1 xx3x 2.(3) lim x-4x 1 2一 .(4)limxx2a (其中a為常數(shù))x 2a*例5求下列各題的極限1(1)limx21 xcos-.

3、 (3)x、1 tanx .1 sin x lim x 0 x . 1 sin2 x xlimx2x cosxx3 x 1例6求下列各題的極限sin x(1) lim. (2)x x12-例8在下列函數(shù)中，當(dāng)0時(shí)，函數(shù)X極限存在的是1,A. fx 0,B.(3)(5)1,1X1,C.1 2 0,0 D. f X(1) limnlimn已知1eX.(2)limXn aoXm boxn 1 a1x. m 1b|Xan iXbm 1X bm2nsin 2r.(4 )x2 kx 3limX 3 X函數(shù)的連續(xù)性例1設(shè)函數(shù)例2設(shè)函數(shù)例3設(shè)函數(shù)lim1x 0cos2xxsin 2x一-sin x, Xk,1

4、 xsin-X2,a,bx,1,X,2 x,X2求常數(shù)k的值.（6）已知lim , X 2 Xax ba, b的值.1,0在其定義域內(nèi)連續(xù)，求常數(shù)k的值.例4求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并說(shuō)明間斷點(diǎn)類(lèi)型(1) f Xx. f X 3x 2例5證明方程4x2x在七上連續(xù)，求常數(shù)a,b的值.1,討論f X的間斷點(diǎn)及其類(lèi)型.1 X ,.1 X22x內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.X在0,2內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)X。，使ex02Xo.第二章一元函數(shù)微分學(xué)5f x0 2h f x0例1設(shè)y f x在x0處可導(dǎo)，則lim0h 0hf x0x f x0xlim x 0例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2In x（1） y4In2 x .（2） yarc

5、tan/ex.（3）y sin3 2xsec2ex1 .（4）y 2 x（5） y f x2x ,其中f u及 x均可導(dǎo).(6)已知f u可導(dǎo)，求 f ln xf x a n 和 f x ax 1設(shè)y f二2 , f xx 1.一 2 rarctanx，求 y x 0(8)設(shè)f x為二階可導(dǎo)函數(shù)，且 f tanx21 sin x2 cos x例3函數(shù)f xx, ln 1 x0處是否連續(xù)，是否可導(dǎo)，為什么?cosx, x 一例4設(shè)函數(shù)f x2x 一, x 一22(1) f x在x 處是否可導(dǎo)?22)若可導(dǎo)，求曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)一，0處的切線(xiàn)、法線(xiàn)方程21，八例5設(shè)函數(shù)f xax b, x在x 1處可導(dǎo)，求

6、常數(shù) a,b的值.1例6設(shè)曲線(xiàn)y x3 x 2上存在切線(xiàn)與直線(xiàn) y 4x 1平行，求切點(diǎn)例7設(shè)函數(shù)y f x由方程sin x2 y xy確定，求dy. dx例8設(shè)函數(shù)y f x由方程x3 y3 3xy 1確定，求-dy.dx x 0例9設(shè)函數(shù)y 2x 22，求y .1 x x 2一、I 一一x2例10設(shè)函數(shù)y sin x ，求y .專(zhuān)插本高等數(shù)學(xué)13頁(yè)練習(xí)例 11 (1)設(shè) y(n 2) xcosx ,求 y.(2)設(shè) y ln 1 x ,求 y. x x例12已知yt .e costte sin t,求當(dāng)t 時(shí)dy的值.dx、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用arctant*例12已知參數(shù)方程y1 ln 1t2(1

7、) y ln3arcsin , x In 2 . (2)ln xx2 1a arcsin x(1) y 1 x2(2)x1 x24 .求下列隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)(1) y 1 xey. (2)e* * * x ycos xy 0.5 .求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(1) y ln x 1x2 . (2)x e y -x2 x . xarcsin、1 x2, x 0 .6 .求下列函數(shù)的微分1(1) y arctan -17.寫(xiě)出下列曲線(xiàn)在所給參數(shù)值相應(yīng)的點(diǎn)處的切線(xiàn)方程和法線(xiàn)方程x sint(1)y cos2t，在 t 一處.（2）43at1 t2 一2 ,在t 2處.3 at1 t2專(zhuān)插本高等數(shù)學(xué)13頁(yè)練

8、習(xí)例1不用求函數(shù)fx x1x2x3x4的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)方程f x 0至少有幾個(gè)實(shí)根，并指出其所在范圍.例2函數(shù)f x 1 3/x2在 1,1上是否滿(mǎn)足羅爾定理或拉格朗日定理.例3設(shè)函數(shù)y f x在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)可導(dǎo)，且在任一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)都不為零，又f a f b 0,試證：方程f x0在開(kāi)區(qū)間 a,b內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根例4利用洛必達(dá)法則求下列極限1In x2 .(4) lim x In x.x 0xmme 1 xx ax(1) lim 2.(2) lim nn- . (3) lim x 0 sin x x a x a x 1 x 1例5求下列函數(shù)極限(1) lim 1x 012x 此(2)

9、lim xsinx.(3) lim x 0xx2 2x21(4) lim x exx4.1 . (5) lim x 1x1 cos x_ x _e sin x sin x(6) limx 01 cosx例6證明不等式(1) x ln 1 x x, x1 xn 1n n* (3) nb a b a bx一0 .(用單倜性或拉格朗)(2) 2 arctanx x, x 0 .1 xn 1a b a a bna a b ,(a b 0,n 1).* (4) ln - ,(aa b bb 0)例7證明不等式ex 1 x,x 1,0例8證明下列不等式(1) ln xx 1 . (2)當(dāng) 0 x 一時(shí)，s

10、inx tanx 2x. (3)當(dāng) x 1 時(shí)，2H 2例9求函數(shù)f x2x2 、一 ，八x e的單調(diào)區(qū)間和極值例10求函數(shù)y的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).1 x2例11求函數(shù)y x4 2x 10的駐點(diǎn)、拐點(diǎn)、凹凸區(qū)間、極值點(diǎn)、極值 例12求函數(shù)y x 1菽的凹凸性和拐點(diǎn).O2例13求函數(shù)y 3 x2 2x在0,3上的最值.例14求下列曲線(xiàn)的水平漸近線(xiàn)及鉛垂?jié)u近線(xiàn)i xx （1）y -2. y - 1.1 xe1 .不求出f x x 1 x 4 x 7的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)方程f x 0至少有幾個(gè)實(shí)根，并求出根所在的區(qū)間2 .證明方程ex1 x 2 0僅有一個(gè)實(shí)根.3 .求下列函數(shù)的極值.2(1)fx 2x x.(2

11、)fx x e39 24 .當(dāng)a為何值時(shí)，點(diǎn)1,3是曲線(xiàn)y ax -x的拐點(diǎn).25 .(1)求曲線(xiàn)f x3x5 20x3 7x 5的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).(2)求曲線(xiàn)y 3/x的拐點(diǎn).6 .證明下列不等式x12(1)當(dāng) x 1 時(shí)，e e x. (2) 1 x cosx x 0 .27.設(shè)f x在a, 可導(dǎo)，且xa時(shí)fx k 0 ,其中k是常數(shù).證明：若f a 0,則方程f x 0在a,a U-上有且僅有一根.k第三章不定積分與定積分、不定積分1例 1 (1)已知 f xe;dxx . (2)已知 xf x dx arcsinx C,求4 dx.二、積分法(一)直接積分法(公式法)例1求下列不定積分

12、2/ 、1 x(13 dx.x 1、x1 dx.(3)x2 1(4)3xexdx. (5)x x23 .x-dx .6x(6)例2求下列不定積分.2 x(1) sin -dx. (2) 2cos2x一 22 sin xcos xdx.(3)1 cos2xdx. (4)tan2 xdx.(二)換元積分法1 .第一類(lèi)換元法(湊微分法) 例1求下列不定積分(1)_ X2xe dx. (2)2arctanx(3)32sin xcos xdx. (4)x xe sine dx. * (5)-x .e dx.(5)一1dx.x 1 x(6)1x2 4x 5dx.(7)1、1一xdx.(8) e earct

13、an xdx. x 1 x專(zhuān)插本高等數(shù)學(xué)13頁(yè)練習(xí)例2求下列不定積分22(1) sin xcos xdx. (2)-dx. sin x(4)-dx. cosx2 .第二類(lèi)換元法a2dx a2xdx. 例 3&xdx.x例 4(1)一L=dx.1 , 1 x(2)1 dx1ex(3)二dx . (4)11 dxex 1（三）分部積分法例* 1 (1) x2cosxdx.(2)xdx.(3)In xdx. (4)arctanxdx. (5) exsinxdx.(6) sin lnxdx.3,*例 1 sec xdx.例2已知f x的一個(gè)原函數(shù)是xfx dx.（四）一些簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分一

14、1例 1 (1)與2dx . (2)x adx .x 2x 3(3)2x 6x 10.1dx. (4) 2dx .x x2 1練習(xí)題1.計(jì)算下列不定積分(1)小，x .21.1 e ,3 4 tan x dx.7dx. (3)3 x1 etanxsec3 xdx.(4)2x=dx.2x(5)5x 6dx.(6)12dx. (7)dx.n(8)arcsinxdx.(9) x 2 n/x 4dx.(10)n x 呼 dx.x x1(1) o x arctan xdx. (2)lnxdx. (3) ° xcosxdx. (4)e,* 2sin ln x dx .1例3計(jì)算定積分04 sin

15、 Jxdx .（四）定積分的綜合題【熱點(diǎn)】 例1求下列各題的導(dǎo)數(shù)(1) xtetdt.(2)x32 x.1 tdt.2x*例1已知11f x dx .0例2求下列各題的極限x2arctan tdt3x(2)limx 0sin x0 tanx、,tdt(3)limxxt2et2 0x2dt.(此題HB補(bǔ)充)例3用積分變換證明等式（1）證明x112dx x2dx為連續(xù)函數(shù),證明xf sin x dxf sin x dx .0X1_ _20 t4t5x cost , dt ,0 2 tdt,f x dx.x的最大值和最小值.（五）定積分的性質(zhì)【熱點(diǎn)】參見(jiàn)習(xí)題5-1 （2012年最后一題考查了性質(zhì)6,

16、性質(zhì)7歷年未考查過(guò)）練習(xí)題1 .設(shè) f n04tannxdx，n證明x2 .0t dt 1 cosx,證明x dx 1.3.設(shè)4.設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且 f x 0,t dt1 ,dt , x a,b t0在區(qū)間a,b上有且僅有一個(gè)實(shí)根xx 3x t 1 dt,求 x的極值.0d x _22*5設(shè)f x連續(xù)，求 tf x t dt. dx 0四、定積分的應(yīng)用(一)利用定積分求面積和體積1 一例1求由曲線(xiàn)y x 2與y 3所圍成平面圖形的面積.3例2求拋物線(xiàn)y2 2px p 0與直線(xiàn)y x p所圍成的圖形的面積.2例3求拋物線(xiàn)yx2 4x 3及其點(diǎn)0, 3和點(diǎn)3,0處的切線(xiàn)所圍成的平面圖形的面積例4求

17、曲線(xiàn)y x2, x 2與直線(xiàn)y 0所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)后生成旋轉(zhuǎn)體的體積2例5試求拋物線(xiàn)y x在點(diǎn)1,1處的切線(xiàn)與拋物線(xiàn)自身及x軸所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)后所得旋轉(zhuǎn)體的體積.(二)平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)包括直角坐標(biāo)情形和參數(shù)方程情形2 3例1計(jì)算曲線(xiàn)y±x2上相應(yīng)于3x從a到b的一段弧的長(zhǎng)度.x a sin例2計(jì)算擺線(xiàn)，02 的長(zhǎng)度.y a 1 cos五、廣義積分的計(jì)算例1計(jì)算下列廣義積分x2 .(1) ° xe dx. (2)xdx.x(3)1 、3dx. (4)x lnx2x-dx. 2第四章多元函數(shù)微積分一、多元函數(shù)的定義例1寫(xiě)出下列二元函數(shù) z f x,y的幾何意

18、義(表示何種空間曲面)(1) z ax byc.(2) zVRx2y2.(3)zVxy2.(4)zx2y2.二、二元函數(shù)的定義域例1求下列函數(shù)的定義域7x2(1) zJ4xy2. (2) z lnx2y2 1 .(3)zxxVy.(4)zy.x y三、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)專(zhuān)插本高等數(shù)學(xué)13頁(yè)練習(xí)例1求函數(shù)f x, yxy22x y0,x,yx, y0,0在原點(diǎn)0,0的偏導(dǎo)數(shù).0,0例2設(shè)z tan - y，求上和-z. y x x y例 3 設(shè) z xe xy sin xy ,求一z 和-z. x y四、全微分的概念例1求z arctan xy的全微分五、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 22Z - Z例 1 設(shè)

19、z u v , u x y , v x y,求一和一.，、-、，99z - z例 2 設(shè)z u , u 3xy , v 4x 2y,求一和一.x y例 3 設(shè) z f xy,，求 dz. y2*例 3 設(shè) z f 2x,x ，求 dz.例4求z f 2x 3y,exy的全微分.，r2cos xy ,求*例 4 設(shè) z f x,u x u , u六、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及偏導(dǎo)數(shù)例1設(shè)z z x, y由下列方程確定，求 一z和一z. x y(1) x 2y z 2jxyz 0. (2) x2 z2 ln . y2 、一 222一 z*例 1 設(shè) x y z 4z 0 ,求一2 x七、高階偏導(dǎo)數(shù)1sin x

20、 yz « z例1設(shè)z ye ，求一2和.x x y*八、高階復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)參見(jiàn)習(xí)題9-4的第12題（考綱未明確此部分內(nèi)容，歷年未考察過(guò)）1.求下列函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)xe-z 和-z ： (1) z ln x Jx2_y2 . (2) z x y'xzz - z2 .設(shè)一 ln 一,求和.zyx y3 .設(shè) ezxyz 確定 z f x, y，求一z 和一z .x y.22 z z _4 .設(shè) z ln x xy y ,證明 x - y 2. x y八、二重積分（一）二重積分的定義（二）直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算例 1 計(jì)算x練習(xí)題1.設(shè) z ln &y2 arctan-,求 一z

21、 和一z . x x y2.設(shè) z e2x y sin x 2y ,求二和二. x y .3.設(shè) z ln 1 2x 3y ，求 dz.4.設(shè)3xy x2 y2 1確定y是x的函數(shù)，求dy dx x 1 y 25.求 yexydxdy,其中積分區(qū)域 D是由y軸，y 1, y 2及xy 2所圍成的平面區(qū)域 xy y2 dxdy, DD例2計(jì)算x2 ydxdy, D 由 x 0 , yD例3計(jì)算 sn4xdy ,D是由直線(xiàn)yD xx,y 0 x 1,0 y 1 .0與x2 y2 1所圍成的第一象限的圖形x與拋物線(xiàn)y x2所圍成的區(qū)域.例 4 計(jì)算 2x y dxdy ,口由丫 1 , 2x y 3

22、 0, x y 3 0 圍成.D（三）利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分例1計(jì)算 ex2 y2 dxdy, D是圓心在原點(diǎn)，半徑為 a的圓. D2222例2計(jì)算 ln 1 x yd, D是圓周x y1及坐標(biāo)軸圍成的第一象限內(nèi)的閉域Dy 1 , 1 x2所確定.21 y21dx xe dy.26 .求 2ydxdy,式中積分區(qū)域D由X2D1 X 27 .變換積分次序，并計(jì)算積分0dx xey dy222D由x2y2 1, x 0 , y 0 所確定.x y8 .計(jì)算 e 2 dxdy,式中積分區(qū)域D第五章常微分方程一、微分方程的基本概念d2x2 一 . 一例1驗(yàn)證x C1 coskt C2 sin kt (

23、 C1、C2為任意常數(shù))是方程 一2- k x 0的通解.dt, 公、 d 2x 2例2已知萬(wàn)程' k2xdt20 的通解為 x C1coskt C2 sin kt , xt 0a dxA,求一dt t 00條件下的特解例3確定下列函數(shù)關(guān)系式中的常數(shù)，使函數(shù)滿(mǎn)足所給的初始條件(1)x2 y2 C, y、05.(2) y G C?x e2x, yx0 0, y x0 1.(3)y C1 sin x C2 , yx 1, y x 0.二、可分離變量的微分方程例1解微分方程dy 2xy . dx彳 2 dy 3 cy 1 x 0.dx例2求下列方程的通解(1) 1 x2y 、.1 y2 .

24、(2) 10xy.(3) cosxsin ydx sin xcos ydy 0.(4) dxy sin x y In y例3求方程的初始問(wèn)題的特解.yx- e 2例4求初值問(wèn)題cosydx 1 ex sin ydy 0, yx0 的特解. 4三、一階線(xiàn)性微分方程例1求微分方程y ycosx e sinx的通解.例2求下列非齊次方程的通解d2(1) y ytanx sin2x.(2) 32.(3) x 1 y 2xy cosx.(4) x 2d例 3 求 dy ytanx secx , y 0 0的特解. dxx例4求下列方程的特解/、 dy y sinx. z x dy x 廣 cosx ,(

25、1)一 一 ， y x 1.(2) ycotx 5e , y x _4.dx x xdx2四、二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程例1求解下列常系數(shù)二階方程(1) y 7y 12y 0. (2) 4y 4y 10y 0.(3) y 2y y 0.例2求下列方程的特解(1) y 3y 4y °, yx0 0, y|x0 第一章函數(shù)的連續(xù)性例6設(shè)：f(x)=eAx 2 x 因?yàn)椋篺(0)=1 2 0= 1<0f(2)=e2-2-2=e2-4>0. y 25y 0,、。2,、。5.*五、微分方程綜合題【熱點(diǎn)】x2*例 1 設(shè) f x 2 f t dt x ,求 f x .0*例2求一曲線(xiàn)的方程，這曲線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)，并且它在點(diǎn)x,y處的切線(xiàn)斜率等于 2x y .(2012年倒數(shù)第二題考查了一階線(xiàn)性微分方程的幾何意義，與上題形式差不多)練習(xí)題1 .求方程曳10xy的通解. dx2 .求方程xdy dx eydx的通解.3 .求方程dy cosx dxysin x 1的通解.4 .求下列方程滿(mǎn)足初始條件的特解:y、。25 .求下列二階齊次方程