2021年中考數(shù)學專題突破26菱形問題

1、專題26菱形問題專題知識點概述1菱形的左義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2. 菱形的性質(zhì)菱形的四條邊都相等：（2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。3. 菱形的判定定理（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形：（3）四條邊相等的四邊形是菱形。4. 菱形的而積：S=ah=mn2 （菱形底邊長為a,髙為h,兩條對角線長分別為m和n）例題解析與對點練習【例題l（2020牡丹江）如圖,在平面直角坐標系中,0是菱形ABCD對角線BD的中點，ADx軸且AD=4, ZA = GO0 ,將菱形ABCD繞點0旋轉(zhuǎn)，使點D落在X軸上，則旋轉(zhuǎn)后 點C

2、的對應(yīng)點的坐標是（）A. （0. 23）B. （2, - 4）C. （23, 0）D. （0, 23）或（0, - 23）【對點練（2019瀘州）一個菱形的邊長為6,而積為28,則該菱形的兩條對角線的長度 之和為（）A. 8 B. 12 C. 16 D. 32【例題2 （2020營口）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC, BD交于點0,其中OA = 1,0B = 2,則菱形ABCD的而積為【對點練-Jl（2019湖北十堰）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC, BD交于點6 E為BC 的中點，若OE=3,則菱形的周長為【例題3 （2020福建）如圖，點E, F分別在菱形ABCD的邊BO CD上，

3、且BE = DF求證：ZBAE=ZDAF 【對點練習】（2019湖南岳陽）如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別為AD、CD邊上的點,DE=DF,求證：Z1=Z2.1. （2020-黃岡）若菱形的周長為16,髙為2,則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為（A. 4： 1 B. 5： 1 C 6： i D 7： 12. （2020鹽城）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點6 H為BC中點，AC=6, BD=&則線段OH的長為（）A- T B- Ic 3 D- 53. （2020樂山）如圖，在菱形ABCD中，AB=4 ZBAD = I20° , O是對角線BD的中點,過點O作OE丄C

4、D于點E,連結(jié)OA則四邊形AOED的周長為（）A. 9+23 B. 9+3 C 7+23 D 84. （2020甘孜州）如圖，菱形ABCD中,對角線AC, BD相交于點O, E為AB的中點.若菱形ABCD的周長為32,則OE的長為（A. 3 B. 4 C 5 D 65. （2020遵義）如圖，在菱形ABCD中，AB = 5, AC=6,過點D作DE丄BA,交BA的延長線于點E,則線段DE的長為（）E.BCA. B. C. 4 D.5S56. （2019內(nèi)蒙古赤峰）如圖,菱形ABCD周長為20,對角線AC、BD相交于點O, E是CD的 中點，則OE的長是（）A. 2.5 B. 3 C 4 D 5

5、7. （2029四川省綿陽市）如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC為菱形，0（0, 0）, A （4,0）, ZAOC=60° ,則對角線交點E的坐標為（）A,（2,3） b.（點2） c.（屈3） d. （3少）8. （2019-四川省廣安市）如圖，在邊長為的菱形ABCD中，ZB = 30%過點A作AE丄BC于點E,現(xiàn)將AABE沿直線AE翻折至AAFE的位置，AF與CD交于點G則CG等 于（）a.J5-1 b.i c.-29. （2019四川省雅安市）如圖，在四邊形ABCD中,AB=CD, AC、BD是對角線,E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點，連接EF、FG、G

6、H、HE,則四邊形EFGH的形狀是（）A. 平行四邊形B.矩形 C.菱形 D.正方形20（2019 貴州安順）如圖，在菱形ABCD中，按以下步驟作圖：X 分別以點C和點D為圓心，大于2 CD的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點; 作直線MN,且MN恰好經(jīng)過點A,與CD交于點E,連接BE.則下列說法錯誤的是（）A. ZABC=60° B. SABE = 2SADE21C.若 AB=4,則 BE=4 D SinZCBE= 14 二、填空題（2020陜西）如圖，在菱形ABCD中，AB = 6, ZB=60° ,點E在邊AD上，且AE =2. 若直線I經(jīng)過點E,將該菱形的而積平分，

7、并與菱形的另一邊交于點F,則線段EF的長 為12. （2020-哈爾濱）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,點E在線段Bo上，連接AE,若CD=2BE, ZDAE=ZDEA, EO = I,則線段AE的長為13. （2020嘉興）如圖，（SABCD的對角線AC, BD相交于點6請?zhí)砑右粋€條件: （Babcd是菱形.14. （2019西北部灣）如圖，在菱形ABCD中對角線AC, BD交與點6過點A作AH丄BC 于點 H,已知 BO二4, S 菱形 ABCD二24,則 AH=15. （2019內(nèi)蒙古通遼）如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，ZA = 60o , M是AD邊上的一1點，

8、且AM= 3 AD, N是AB邊上的一動點，將AAMN沿MN所在直線翻折得到AA' MN, 連接A' C則A' C長度的最小值是DN16. （2019湖南常徳）規(guī)左：如果一個四邊形有一組對邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四 邊形為廣義菱形.根據(jù)規(guī)龍判斷下而四個結(jié)論：正方形和菱形都是廣義菱形；平行四邊 形是廣義菱形；對角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；若M、N1的坐標分別為（0, 1）, （0, -1）, P是二次函數(shù)y =4x2的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一 點，PQ垂直直線y= - 1于點Q，則四邊形PMNQ是廣義菱形.其中正確的是.（填序號）17. （

9、2019廣四梧州）如圖，在菱形ABCD中，AB = 2, ZBAD = 6ff3t將菱形ABa）繞點A 逆時針方向旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)得到菱形AEFG,點EAC上，EF與CD交于點P ,則DP的長 是 .三、解答題18. （2020-濱州）如圖，過EABCD對角線AC與BD的交點E作兩條互相垂直的直線，分別 交邊 AB、BC、CD. DA 于點 P、M、Q、N.（1）求證：PBEQDE:（2）順次連接點P、M. Q、N.求證：四邊形PMQN是菱形19. （2020-郴州）如圖，在菱形ABCD中，將對角線AC分別向兩端延長到點E和F,使得 AE = CF連接DE, DF, BE, BF.求證：四邊形BED

10、F是菱形.E20. （2019海南?。┤鐖D，在邊長為丨的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，點P是邊AD 上一點（與點A、D不重合），射線PE與BC的延長線交于點Q.（1）求證：PDEQCE;（2）過點E作EFBC交PB于點F,連結(jié)AF,當PB = PQ時， 求證：四邊形AFEP是平行四邊形； 請判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由.圖1圖221. （2019北京市）如圖1,在菱形ABCD中，AC為對角線，點E, F分別在AB, AD上, BE=DF,連接 EF.（1）求證：AC丄EF：（2）如圖2,延長EF交CD的延長線于點G,連接BD交AC F點O,若BD二4, tanG= 2 t 求

11、AO的長.C專題26菱形問題1菱形的左義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。2. 菱形的性質(zhì)菱形的四條邊都相等：（2）菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。3. 菱形的判定定理（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形：（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形：（3）四條邊相等的四邊形是菱形。4. 菱形的而積：S=ah=mn2 （菱形底邊長為a,高為h,兩條對角線長分別為m和n）【例題l（2020牡丹江）如圖，在平而直角坐標系中，0是菱形ABCD對角線BD的中點，ADx軸且AD=4, ZA = GO0 ,將菱形ABCD繞點O旋轉(zhuǎn)，使點D落在X軸上，則旋轉(zhuǎn)后 點C的對應(yīng)點的坐標是（）

12、A. (O, 23)B. (2,4)C. （23, O） D（O, 23）或（O, - 23）【答案】D【解析】分點C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸和y軸負半軸兩種情況分別討論，結(jié)合菱形的性質(zhì)求解.根據(jù)菱形的對稱性可得：當點D在X軸上時，A、B、C均在坐標軸上，如圖，VZBAD = 60j , AD=4,AZOAD = 30° ,OD=2,AAO= 42 - 22 = 23 =OC,點C的坐標為(O, -23),同理：當點C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸時,點C的坐標為（0, 23）, 點C的坐標為（0, 23）或（0, -23）【對點練-Jl（2019瀘州）一個菱形的邊長為6,而積為28,則該菱形的兩條對角線

13、的長度 之和為（）A. 8 B. 12 C 16 D 32【答案】C【解析】如圖所示：四邊形ABCD是菱形,AO=CO= AC, DO=BO=扌BD, AC丄BD,T面積為28,ACBD = 2ODAO=28 菱形的邊長為6,OD2+OA2=36 , 由兩式可得：(OD+AO) 2 = OD2+OA2+2ODAO = 36+28 = 64.OD+AO=& 2 （OD÷AO） =16,即該菱形的兩條對角線的長度之和為16【例題2 （2020營口）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC, BD交于點0,其中OA = 1,0B = 2,則菱形ABCD的而積為【答案】4【解析】根據(jù)菱形的

14、面積等于對角線之積的一半可得答案VOA=1, OB=2, AC=2, BD=4, 菱形ABCD的面積為扌×2×4=4.【對點練-Jl（2019湖北十堰）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC, BD交于點0, E為BC 的中點，若0E=3,則菱形的周長為【答案】24【解析】四邊形ABCD是菱形，AAB = BC=CD=AD, BO = DO.T點E是BC的中點，.,.0E是ABCD的中位線，CD=2OE = 2X3=6,菱形ABCD的周長=4X6=24【例題3 （2020福建）如圖，點E, F分別在菱形ABCD的邊BC. CD ±,且BE = DF.求 證：ZBAE=

15、ZDAF 【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)菱形的性質(zhì)可得ZB=ZD, AB = AD,再證明 ABEADF,即可得ZBAE =ZDAF.證明：四邊形ABCD是菱形,ZB= ZD, AB=AD,1ABE >FADF 中，AB = ADZB = ZD,BE = DF.ABEADF (SAS), ZBAE= ZDAF 【對點練習】(2019湖南岳陽)如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別為AD、CD邊上的點,DE=DF,求證：Z1=Z2.【答案】見解析【解析】證明：四邊形ABCD是菱形, AD = CD>'AD 二 CD< ZD=ZD在ZADF 和ZkCDE 中，IDF二DE,A

16、DFCDE (SAS),Z1=Z2.1.（2020-黃岡）若菱形的周長為16,髙為2,則菱形兩鄰角的度數(shù)之比為（）A. 4： 1 B. 5： 1 C 6： 1 D 7： 1【答案】B【解析】如圖，AH為菱形ABCD的髙，AH = 2,利用菱形的性質(zhì)得到AB=4,利用正弦的左 義得到ZB = 30° ,則ZC=15Oa ,從而得到ZC： ZB的比值.如圖，AH為菱形ABCD的高,AH = 2,菱形的周長為16,AB=4,在 RtABH 中，SinB= - = -=-AB 42ZB=3O° ,VABCD>AZC= 150° ,：.ZC： ZB = 5: 1.HC

17、2. （2020-鹽城）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O, H為BC中點，AC=6, BD = 8.則線段OH的長為（）CA. B. -C. 3 D 5 52【答案】B【解析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC丄BD, OB=OD= D=4, OC = OA=扌AC = 3,再利用勾2 2股泄理計算出BC,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到OH的長.J四邊形ABCD為菱形，.AC丄BD, OB=OD= -BD=4, OC=OA=-AC=3,在 RtBOC 中,BC= 32 + 42 =5,TH為BC中點,AOH=-BC=三2 23. （2020樂山）如圖，在菱形ABCD中，AB=4

18、, ZBAD = I20° , O是對角線BD的中點 過點O作OE丄CD于點E,連結(jié)OA.則四邊形AOED的周長為（）A. 9+2l B. 9+3 C 7+23 D 8【答案】B【解析】先利用菱形的性質(zhì)得AD=AB=4, ABCD, ZADB = ZCDB = 30° , Ao丄BD,利用 含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AO=2, OD=23,然后計算出OE、DE的長，最后 計算四邊形AOED的周長.J四邊形ABCD為菱形，AD=AB=4, ABCD,VZBAD = I20° , ZADB=ZCDB = 30° ,TO是對角線BD的中點，AO丄BD,

19、在 RtAOD 中，AO=-AD = 2>2OD= 3OA = 23,TOE丄CD, ZDEO=90o ,在 RtDOE 中，OE= fD=,2DE= 3OE = 3,四邊形AOED的周長=4+2+3 +3 = 9+34. （2020甘孜州）如圖,菱形ABCD中，對角線AC, BD相交于點6 E為AB的中點若菱形ABCD的周長為32,則OE的長為（）A. 3 B4 C5 D6【答案】B【解析】由菱形的性質(zhì)得岀AB = BC = CD = AD=8, AC丄BD,則ZAoB=90° ,由直角三角 形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出答案.J四邊形ABCD是菱形，AAB = BC=CD=AD

20、, Ae丄BD,ZA0B = 90° ,T菱形ABCD的周長為32,AB = 8,TE為AB邊中點,IAB=45. （2020遵義）如圖，在菱形ABCD中，AB = 5, AC=6,過點D作DE丄BA,交BA的延長 線于點E,則線段DE的長為（）EA.125B.-C. 4D.245【答案】D【解析】由在菱形ABCD中，AB = 5, AC=6,利用菱形的性質(zhì)以及勾股龍理，求得OB的長. 繼而可求得BD的長，然后由菱形的面積公式可求得線段DE的長.如圖.四邊形ABCD是菱形，AC=6,'AC丄BD, OA=-AC=3, BD=20B,2TAB = 5,OB= AB2 - OA2

21、 =4,BD=20B = &VS 菱形 ABCD=ABDE= ACBD,AC BD -×6×824ADE=2=一AB556. （2019內(nèi)蒙古赤峰）如圖,菱形ABCD周長為20,對角線AC、BD相交于點0, E是CD的 中點，則OE的長是（）A. 2.5 B. 3 C 4 D 5【答案】A【解析】Y四邊形ABCD為菱形，CD = BC= =5,且0為BD的中點,TE為CD的中點,AOE為BCD的中位線,OE= =ZB = 2527. (2019四川省綿陽市)如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC為菱形，0 (0, 0), A (4,0), ZAOC=60°

22、; ,則對角線交點E的坐標為()A.©，©) B. (5,2) c.蔭,3) d. (3弟)【答案】D【解析】過點E作EF丄X軸于點F,T四邊形OABC為菱形，ZAOC=60° ,A0E=AQC：.2=30° , ZFAE=60° ,VA (4, 0),0A=4,ae = ao=×a：. 2 2 =2,:AF=AE= EF=ZwT=Fp3, OF=AO-AF=4-1=3, E(3S) 8. （2O19四川省廣安市）如圖，在邊長為的菱形ABCD中，ZB = 30%過點A作AE丄BC于點E ,現(xiàn)將AABE沿直線AE翻折至AAFE的位置，A

23、F與CD交于點G則CG等 于（）A.3-l B.l C. -D.二2 2【答案】A【解析】因為ZB=30o , AB二JJ, AE丄BC,所以 BE=-,所以 EC=32 2則 CF=3-3 ,又因為CGAB,所以空=空，AB BF所以CG= y3 19. （2019四川省雅安市）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD, AC、BD是對角線,E、F、GXH分別是AD、BD、BC、AC的中點，連接EF. FG. GH. HEt則四邊形EFGH的形狀是（）A.平行四邊形B.矩形 C.菱形 D.正方形【答案】C【解析】由點1 F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD. BC. CA的中點，根據(jù)三

24、角X丄形中位線性質(zhì)，得 EF = GH= 2 AB, EH = FG= 2 CD,又由 AB=CD,得 EF = FG = GH = EH 時, 四邊形EFGH是菱形T點E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC. CA的中點，EF = GH= 2 AB,1EH = FG= 2 CD, VAB=CDt AEF=FG=GH = EH 時，四邊形 EFGH 是菱形，故選 C.10. （2019 貴州安順）如圖，在菱形ABCD中，按以下步驟作圖： 分別以點C和點D為圓心，大于2 CD的長為半徑作弧，兩弧相交于FVL N兩點; 作直線MN,且MN恰好經(jīng)過點A,與CD交于點E,連接BE.則

25、下列說法錯誤的是（）21A. ZABC=60° B. SABE = 2SADEC.若 AB=4,則 BE=4 D SinZCBE= 14【答案】C【解析】由作法得AE垂直平分CD,即CE = DE, AE丄CD,J四邊形ABCD為菱形，AAD = CD=2DE, ABDE,DE丄在 RtADE 中，COSD= AD = 2 ,ZD = 60o ,AZABC=60° ,所以A選項的結(jié)論正確;Ie丄vsabe=2 abae. sade=2deae,而 AB=2DE,.,.SABE = 2SADE,所以B選項的結(jié)論正確；若 AB=4,則 DE = 2,AE = 2 VS,在RtA

26、abe中，BE=V2 + (23) 2=2A/V,所以C選項的結(jié)論錯誤:作EH丄BC交BC的延長線于H,如圖，設(shè) AB=4a則 CE = 2a, BC=4a, BE = 2Wa,在厶CHE 中，ZECH=ZD = 60° ,CH=a, EH=V3a>EHASinZCBE = BE =所以D選項的結(jié)論正確.故選：C.二、填空題（2020陜西）如圖，在菱形ABCD中，AB = 6, ZB=60° ,點E在邊AD上，且AE =2.若直線I經(jīng)過點E,將該菱形的而積平分，并與菱形的另一邊交于點F,則線段EF的長 為A ED【答案】2Z【解析】過點A和點E作AG丄BC, EH丄B

27、C于點G和H,可得矩形AGHE,再根據(jù)菱形ABCD 中，AB = 6, ZB = 60c ,可得 BG = 3, AG = 33 =EH,由題意可得，F(xiàn)H = FC-HC=2 - 1 = 1，進而根據(jù)勾股定理可得EF的長.如圖，過點A和點E作AG丄BC, EH丄BC于點G和H,得矩形AGHE,GH=AE=2,T在菱形 ABCD 中，AB = & ZB = 60° ,BG = 3, AG = 33 =EH,AHC=BC - BG - GH = 6 - 3 - 2 = 1, EF平分菱形面積， FC=AE = 2,FH = FC- HC=2 - 1 = 1,在RtAEFH中，根據(jù)

28、勾股左理，得EF= EH2 +FH2 = 27 + l =2712. （2020-哈爾濱）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,點E在線段BO上，連接AE,若CD=2BE, ZDAE=ZDEA, EO = I,則線段AE的長為【答案】2近.【解析】設(shè)BE=x,則CD=2×,根據(jù)菱形的性質(zhì)得AB=AD=CD = 2x, OB = OD. AC丄BD, 再證明DE = DA=2×,所以l+x=x,解得x=2,然后利用勾股泄理計算0A,再計算AE的 長.設(shè) BE=X,則 CD=2x,四邊形ABCD為菱形，AB=AD=CD = 2×, 0B=0D, AC丄B

29、D,VZDAE = ZDEA,'DE = DA=2x,'BD=3x,* OB = OD= -×t2V0E+BE = B0, l+x= -X.解得 x=2,2即 AB=4, OB = 3,在 RtAOB 中，OA= 42 - 32 = 7,在 RtAOE 中，AE=JI2+ (7)2 =22.13. (2020-嘉興)如圖，SABCD的對角線AC, BD相交于點0,請?zhí)砑右粋€條件：，使ISABCD是菱形.D【答案】AD = DC （答案不唯一）【解析】根據(jù)菱形的泄義得岀答案即可.鄰邊相等的平行四邊形是菱形，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,試添加一個條件：

30、可以為：AD = DC.14. （2019西北部灣）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC, BD交與點0,過點A作AH丄 BC 于點 H,已知 B0=4t S 菱形 ABCD=24,則 AH=【答案】亍.【解析】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股左理以及菱形而積公式，根據(jù)菱形面積=對角線積的 一半可求AC,再根據(jù)勾股泄理求出BC,然后由菱形的而積即可得出結(jié)果.四邊形ABCD是菱形， BO=DO=4, AO=CO> AC丄BD,BD=8 TS 菱形 ABCD=-AC× BD=24, AC=6. OC=-AC=3, BC= OB1+OC1 =5,15. （2019內(nèi)蒙古通遼）如圖，在邊長為3

31、的菱形ABCD中，ZA = 60o , M是AD邊上的一 點，且AM= 3 AD, N是AB邊上的一動點，將ZkAMN沿MN所在直線翻折得到V MN, 連接A' C.則A' C長度的最小值是Illf IlfeiIIBIIIBBHN【答案】i-l【解析】過點M作MH丄CD交CD延長線于點H,連接CIVb丄VAM= 3 AD, AD=CD = 3AM = lt MD = 2T CD AB, ZHDM= ZA=60o1HD= 2 MD = I, HM=VShd=VsCH=4.mc=2+CH2=19將Aamn沿MN所在直線翻折得到za' mn, AM=A1M = I,點/V在以

32、M為圓心，AM為半徑的圓上，當點/V在線段MC上時，MC長度有最小值A(chǔ),C長度的最小值=MC - MA,=V19 - 116. （2019湖南常徳）規(guī)定：如果一個四邊形有一組對邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四邊形為廣義菱形.根據(jù)規(guī)立判斷下而四個結(jié)論：正方形和菱形都是廣義菱形；平行四邊 形是廣義菱形：對角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形：若M、N丄的坐標分別為(O, 1), (0, -1), P是二次函數(shù)y =4x2的圖象上在第一象限內(nèi)的任意一 點，PQ垂直直線y= - 1于點Q,則四邊形PMNQ是廣義菱形.其中正確的是.(填序號)【答案】O®.【解析】根據(jù)廣義菱形的怎

33、義，正方形和菱形都有一組對邊平行，一組鄰邊相等，正確； 平行四邊形有一組對邊平行，沒有一組鄰邊相等，錯誤： 由給岀條件無法得到一組對邊平行，錯誤；X 設(shè)點 P (m, 4 m2),則 Q(In, - !).MP 腫討 1）； lP+112PQ= 4 i +1,點P在第一彖限，m>0t2.mp=4 rn +1,MP= PQ,又 T MN PQ,四邊形PMNQ是廣義菱形.正確：故答案為®.17. (2019 梧州)如圖，在菱形ABCD中，AB = 2, ZBAD = 6OP ,將菱形ABCD繞點A 逆時針方向旋轉(zhuǎn)，對應(yīng)得到菱形AEFG,點E在AC上，EF與CD交于點P ,則DP的長

34、 是 .【答案】3-l【解析】連接加交AC于O,如圖所示：.四邊形ABCD是菱形，.CD = AB = 2 , ZBCD = Z4D = 60o , ZACD = ABAC = 1BAD = 30o , OA = OC ,2Ae 丄 BD,. OB = IAB = I ,2/ .OA = 3OB = 3 , .C = 23 ,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE = AB = 2, ZEAG = ZBAD = 60P ,/.CE = AC-AZs=23-2,.四邊形AEFG是菱形,：.EFllAG,.ZCEP=ZEAG = 60。， ZCEP+ZACD = 90P, . . ZCPE = 90。,/.PE =

35、 1CE = 3-1 , PC = 3P=3-3 ,2 DP = CD - PC = 2 - (3-屈=也一 。三、解答題18. （2020-濱州）如圖，過EABCD對角線AC與BD的交點E作兩條互相垂直的直線，分別 交邊 AB、BC、CD、DA 于點 P、M、Q、N.（1）求證：PBEQDE:（2）順次連接點P. M. Q、N,求證：四邊形PMQN是菱形.【答案】見解析?！窘馕觥?2)證明：四邊形ABCD是平行四邊形,EB = ED, AB/7CD,AZEBP= ZEDQ, ZEBP= ZEDQEB = ED,ZBEP = ZDEQPBEQDE (ASA)：(2)證明：如圖所示：VPBEQD

36、E,EP = EQ,同理：BMEDNE (ASA),EM = EN,四邊形PMQN是平行四邊形, / PQdMN,四邊形PMQN是菱形.19. （2020-郴州）如圖，在菱形ABCD中，將對角線AC分別向兩端延長到點E和F,使得 AE = CF連接DE, DF, BE, BF.求i正：四邊形BEDF是菱形.【答案】見解析?！窘馕觥克倪呅?ABCD 是菱形，可得 AB = BC=CD=DA, ZDCA=ZBCA, ZDAC=ZBAC, 可以證明厶CDFCBF, DAEBFC, DCFBEA,進而證明平行四邊形BEDF是菱 形.證明：四邊形ABCD是菱形， BC=CD, ZDCA=ZBCA,ZDC

37、F= ZBCF,CDFCBF (SAS),DF = BF,V AD/7 BC >ZDAE= ZBCF,VAE = CF, DA=AB,DAEBFC （SAS）, DE=BF,同理可證：DCFBEA （SAS）, DF = BE,.四邊形BEDF是平行四邊形，VDF = BFt平行四邊形BEDF是菱形.20. （2019海南省）如圖，在邊長為I的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，點P是邊AD 上一點（與點A、D不重合），射線PE與BC的延長線交于點Q.（1）求證：PDEQCE:（2）過點E作EFBC交PB于點F,連結(jié)AF,當PB = PQ時， 求證：四邊形AFEP是平行四邊形； 請判斷四邊形