n個(gè)平面最多可將空間分成多少個(gè)部分

1、邯鄲市一中校刊n個(gè)平面最多可將空間分成多少個(gè)部分?jǐn)?shù)學(xué)教師趙新國問題提出：空間n個(gè)平面最多可將空間分成多少個(gè)部分？問題分析：顯然，當(dāng)這n個(gè)平面滿足以下條件時(shí)，所分割的部分?jǐn)?shù)是最多的。1、 這n個(gè)平面兩兩相交；2、沒有三個(gè)以上的平面交于一點(diǎn)；3、這n個(gè)平面的交線任兩條都不平行。對于一般情況一下子不易考慮，我們不妨試著從簡單的，特殊的情況入手來尋找規(guī)律。設(shè)平面分空間的部分?jǐn)?shù)為 an ,易知當(dāng) n 1 時(shí)，an 2 ；當(dāng)n 2時(shí)，an 4當(dāng)n 3時(shí)，an 8當(dāng)n 4時(shí)，情況有些復(fù)雜，我們以一個(gè)四面體為模型來觀察，可知 an 15 ；從以上幾種情況，很難找出一個(gè)一般性的規(guī)律，而且當(dāng) n的值繼續(xù)增大時(shí)，情

2、況更復(fù)雜，看來這樣不行。那么，我們把問題在進(jìn)一步簡單化，將空間問題退化到平面問題：n條直線最多可將平面分割成多少個(gè)部分？(這 n條直線中,任兩條不平行，任三條不交于同一點(diǎn))，設(shè)n條直線最多可將平面分割成 bn個(gè)部分，那么 當(dāng)n 1, 2, 3時(shí)，易知平面最多被分為 2, 4, 7個(gè)部分。當(dāng)n k時(shí)，設(shè)k條直線將平面分成了 bk個(gè)部分，接著當(dāng)添加上第 k 1條直線時(shí)，這條直線與前 k條直線相交有k個(gè)交點(diǎn)，這k個(gè)交點(diǎn)將第k條直線分割成n段，而每一段將它所在的區(qū)域一分為二，從而增加了k 1個(gè)區(qū)域，故得遞推關(guān)系式bk 1bk(k 1),即 bk 1bk顯然當(dāng)k 1時(shí)，b12,當(dāng)k 1,2,b2b12b

3、3b23b4b34k 1,n 1時(shí)，我們得到n 1個(gè)式子:bnbn 1n1212將這n 1個(gè)式子相加，得bn -(n2 n 2),即n條直線最多可將平面分割成 -(n2 n 2)個(gè)部分。22我們來歸納一下解決這個(gè)問題的思路：從簡單情形入手，確定bk與bk 1的遞推關(guān)系，最后得出結(jié)論。k k I現(xiàn)在，我們回到原問題，用剛才的思路來解決空間的問題，設(shè)k個(gè)平面將空間分割成 ak個(gè)部分，再添加上第 k 1-35-教育科研JiaoYuKeYan個(gè)平面，這個(gè)平面與前 k個(gè)平面相交有k條交線，這k條交線，任意三條不共點(diǎn)，任意兩條不平行，因此這第 k 平面就被這k條直線分割成bk個(gè)部分。而這bk個(gè)部分平面中的

4、每一個(gè)，都把它所通過的那一部分空間分割成兩個(gè)較小的空間。所以，添加上這第k平面后就把原有的空間數(shù)增加了 bk個(gè)部分。由此的遞推關(guān)系式 ak i ak bk，即 aki ak bk當(dāng)k 1,2,n 1 ,時(shí)，我們得到如下 n 1個(gè)關(guān)系式a2 ai bia3 a? b2a n an 1 bn 1將這n 1個(gè)式子相加，得an a1 (“ b2bn 1)r1 , 2因?yàn)閎n (n2 n 2), a1 22所以1 212an 2(11 2)(22 2)222(n2 n 2)=2+1(12 222(n 1)2(1 2 (n 1)2( n 1).11.1 ,八= n 1 (n 1)n(2n 1) (n 1)n2 621=n 1 (n 1)n(n 1)6n3 5n 66問題的解：由上述分析和推導(dǎo)可知，n個(gè)平面最多可將平面分割成 1 (n3 5n 6)個(gè)部分。6鞏固練習(xí)：1