2022年(輔導(dǎo)班適用)高二數(shù)學(xué)寒假講義09《圓錐曲線與直線的綜合題》（含詳解）

1、2022年(輔導(dǎo)班適用)高二數(shù)學(xué)寒假講義09圓錐曲線與直線的綜合題一、選擇題已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程為=1，隨著a的增大，該橢圓的形狀()A.越接近于圓B.越扁C.先接近于圓后越扁D.先越扁后接近于圓若直線axby3=0與圓x2y2=3沒(méi)有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)，則過(guò)點(diǎn)P的一條直線與橢圓=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.1或2已知雙曲線=1(a0，b0)與直線y=2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為()A.(1，) B.(1， C.(，) D.，)已知雙曲線C：=1(a0，b0)，過(guò)點(diǎn)P(3,6)的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(12,15)，則雙

2、曲線C的離心率為()A.2 B. C. D. 已知點(diǎn)A是拋物線C：x2=2py(p0)的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，若APQ的面積為4，則p的值為()A. B.1 C. D.2已知拋物線y=x23上存在關(guān)于直線xy=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A，B，則|AB|=()A.3 B.4 C.3 D.4設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，則|AB|=(

3、)A. B. C.5 D.已知不過(guò)原點(diǎn)O的直線交拋物線y2=2px于A，B兩點(diǎn)，若OA，AB的斜率分別為kOA=2，kAB=6，則OB的斜率為( )A.3 B.2 C.2 D.3已知直線y=kx1與雙曲線x2y2=4的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍為( )A. B. C. D.設(shè)F2是雙曲線C：=1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F2的直線交雙曲線的右支于點(diǎn)P，N，直線PO交雙曲線C于另一點(diǎn)M，若|MF2|=3|PF2|，且MF2N=60°，則雙曲線C的離心率為()A.3 B.2 C. D.已知直線y=1x與雙曲線ax2by2=1(a0，b0)的漸近線交于A、

4、B兩點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)和線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為()A. B. C. D.二、填空題已知拋物線C：y2=2px(p0)，直線l：y=(x1)，l與C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=，則p=_.設(shè)拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上，且滿足=，若|=，則的值為_(kāi).已知拋物線C：y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于A，B兩點(diǎn)，則的值等于_.已知雙曲線E：=1，直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(,-1)，則l的方程為_(kāi).三、解答題若雙曲線E：y2=1(a0)的離心率等于，直線y=kx1與雙曲線E的右支交

5、于A，B兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍；(2)若|AB|=6，求k的值.已知拋物線E：y2=2px(p0)的焦點(diǎn)F，E上一點(diǎn)(3，m)到焦點(diǎn)的距離為4.(1)求拋物線E的方程；(2)過(guò)F作直線l，交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，若直線AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，求直線l的方程.已知ABC的頂點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)，|AB|=|AC|，且BC的中點(diǎn)在y軸上.(1)求點(diǎn)C的軌跡T的方程；(2)已知過(guò)P(0，2)的直線l交軌跡于不同兩點(diǎn)M，N，求證：Q(1,2)與M，N兩點(diǎn)連線QM，QN的斜率之積為定值.已知橢圓C：=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)F1的直線l

6、與C交于A，B兩點(diǎn)，ABF2的周長(zhǎng)為4.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)ABF2的面積最大時(shí)，求l的方程.已知橢圓的離心率e=，且橢圓C過(guò)點(diǎn)P(，)（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)Q是橢圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)，斜率不為0的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)D，E，若kQD·kQE=9，問(wèn)直線DE是否恒過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由已知橢圓C：=1(a>b>0)的離心率為，且C過(guò)點(diǎn)（1，）.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P，Q均在第一象限)，且直線OP，l，OQ的斜率成等比數(shù)列，證明：直線l的斜率為定值.已知橢圓C：=

7、1(ab0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.(1)若以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與直線y=x2相切，求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上使直線PM，PN的斜率存在的任意一點(diǎn)，記直線PM，PN的斜率分別為kPM，kPN，當(dāng)kPM·kPN=時(shí)，求橢圓C的方程.答案解析答案為：D；解析：由題意知4aa21且a0，解得2a2，又e2=1=1，因此當(dāng)a(2，1)時(shí)，e越來(lái)越大，當(dāng)a(1，2)時(shí)，e越來(lái)越小.所以橢圓形狀變化為先扁后圓.答案為：C；解析：由題意得，圓心(0，0)到直線axby3=0的距離為，所以a2b23.又a，b不同時(shí)為零，所以0a2b23

8、.由0a2b23，可知|a|，|b|，由橢圓的方程知其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為，所以P(a，b)在橢圓內(nèi)部，所以過(guò)點(diǎn)P的一條直線與橢圓=1的公共點(diǎn)有2個(gè)，故選C.答案為：C；解析：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為y=x，則由題意得2，所以e=.答案為：B；解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB的中點(diǎn)為N(12，15)，得x1x2=24，y1y2=30，由兩式相減得：=，則=.由直線AB的斜率k=1，=1，則=，雙曲線的離心率e=.答案為：D；解析：設(shè)過(guò)點(diǎn)A與拋物線相切的直線方程為y=kx.由得x22pkxp2=0，由=4k2p24p2=0，可得k=±1，則Q(p,)，P(-p

9、,)，APQ的面積為×2p×p=4，p=2.故選D.答案為：C；解析：由題意可設(shè)lAB為y=xb，代入y=x23得x2xb3=0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2=1，x1x2=b3，y1y2=x1bx2b=12b.所以AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(,+b)，該點(diǎn)在xy=0上，即(+b)=0，得b=1，所以|AB|=·=3.答案為：D；解析：|PF1|=|PQ|，且F1PQ=60°，F(xiàn)1PQ為等邊三角形，周長(zhǎng)為4a，F(xiàn)1PQ的邊長(zhǎng)為，在PF1F2中，|PF1|=，|PF2|=，|F1F2|=2c，()2()2=(2c)2，即a2=3c2，e2=，e=.

10、答案為：D；解析：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式為|AB|=px1x2.p=2，|AB|=2=.答案為：D；解析：由題意可知，直線OA的方程為y=2x，與拋物線方程y2=2px聯(lián)立得得即A，則直線AB的方程為yp=6，即y=6x2p，與拋物線方程y2=2px聯(lián)立得得或所以B，所以直線OB的斜率為kOB=3.故選D.答案為：D；解析：由題意知k0，聯(lián)立整理得(1k2)x22kx5=0，因?yàn)橹本€y=kx1與雙曲線x2y2=4的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則聯(lián)立所得方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根x1，x2，所以解得1k，即k，故選D.答案為：D；解析：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，由雙曲線的對(duì)稱性可知四邊形MF2PF1為平行四邊

11、形.所以|MF1|=|PF2|，MF1PN.設(shè)|PF2|=m，則|MF2|=3m，所以2a=|MF2|MF1|=2m，即|MF1|=a，|MF2|=3a.因?yàn)镸F2N=60°，所以F1MF2=60°，又|F1F2|=2c，在MF1F2中，由余弦定理可得4c2=a29a22·a·3a·cos 60°，即4c2=7a2，所以=，所以雙曲線的離心率e=.故選D.答案為：A；解析：由雙曲線ax2by2=1知其漸近線方程為ax2by2=0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有axby=0，axby=0，由得a(xx)=b(yy).即a(x

12、1x2)(x1x2)=b(y1y2)(y1y2)，由題意可知x1x2，且x1x20，所以·=，設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則kOM=，又知kAB=1，所以×(1)=，所以=，故選A.答案為：2.解析：由消去y，得3x2(2p6)x3=0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2=，x1x2=1，所以|AB|=2=2 =，所以p=2.答案為：.解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線x2=4y得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,1)，準(zhǔn)線方程為y=1，|=，y11=，解得y1=，x1=±，由拋物線的對(duì)稱性取x1=，A，直線AF的方程為y=

13、x1，由解得或B(2，2)，|=21=3，=，|=|，=3，解得=.答案為：3.解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直線l的傾斜角為60°，則直線l的方程為y0=(x- )，即y=xp，聯(lián)立拋物線方程，消去y并整理，得12x220px3p2=0，則x1=p，x2=p，則=3.答案為：2x8y7=0解析：依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有，兩式相減得=，即=×.又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(,-1)，因此x1x2=2×=1，y1y2=(1)×2=2，=，=，即直線AB的斜率為，直線l的方程為y1=(x- )，即2x8y7=0.解：(1

14、)由得故雙曲線E的方程為x2y2=1.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx2=0.直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，1k.(2)由得x1x2=，x1x2=，|AB|=·=2=6，整理得28k455k225=0，k2=或k2=.又1k，k=.解：(1)拋物線E：y2=2px(p0)的準(zhǔn)線方程為x=，由拋物線的定義可知3() =4，解得p=2，拋物線E的方程為y2=4x.(2)法一：由(1)得拋物線E的方程為y2=4x，焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則兩式相減，整理得 =(x1x2).線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，直線

15、l的斜率kAB=2，直線l的方程為y0=2(x1)，即2xy2=0.法二：由(1)得拋物線E的方程為y2=4x，焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)直線l的方程為x=my1，由消去x，得y24my4=0. 設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，=1，解得m=，直線l的方程為x=y1，即2xy2=0.解：(1)設(shè)C(x，y)(y0)，因?yàn)锽在x軸上且BC中點(diǎn)在y軸上，所以B(x,0)，由|AB|=|AC|，得(x1)2=(x1)2y2，化簡(jiǎn)得y2=4x，所以C點(diǎn)的軌跡的方程為y2=4x(y0).(2)直線l的斜率顯然存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx2，M(

16、x1，y1)，N(x2，y2)，由得ky24y8=0，所以y1y2=，y1y2=，kMQ=，同理kMQ=，kMQ·kNQ=·=4，所以Q(1,2)與M，N兩點(diǎn)連線的斜率之積為定值4.解：(1)由橢圓的定義知4a=4，a=，由e=知c=ea=1，b2=a2c2=1.所以橢圓C的方程為y2=1.(2)由(1)知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，|F1F2|=2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x=my1，聯(lián)立x=my1與y2=1，得(m22)y22my1=0，|y1y2|=，SABF2=2=2，當(dāng)m21=1，m=0時(shí)，SABF2最大為，l：x=1.解：（1）設(shè)橢圓的焦距

17、為，由，即，有，又橢圓過(guò)點(diǎn)，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題可設(shè)直線的方程為，由，消去，整理可得，設(shè)，則，由題意，可得，有，且（直線不過(guò)點(diǎn)），即，整理可得，解得，故直線過(guò)定點(diǎn) (1)解：由題意可得解得故橢圓C的方程為y2=1.(2)證明：由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kxm(m0)，由消去y，整理得(14k2)x28kmx4(m21)=0，直線l與橢圓交于兩點(diǎn)，=64k2m216(14k2)(m21)=16(4k2m21)>0.設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2=，x1x2=，y1y2=(kx1m)(kx2m)=k2x1x2km(x