2023年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

2023年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共6小題，共24分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列函數(shù)中，二次函數(shù)是(

)A.y=x+1 B.y=x(x+1)

C.y=(x+1)2?2.已知點(diǎn)A(1,2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA與x軸正半軸的夾角為α，那么cosα的值為(

)A.12 B.2 C.55 3.已知一個(gè)單位向量e，設(shè)m、n是非零向量，下列等式中，正確的是(

)A.1|m|m=e B.|4.如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1：3，它把物體從地面點(diǎn)A處送到離地面3米高的B處，則物體從A到B所經(jīng)過(guò)的路程為(

)

A.310米 B.210米 C.10米 D.5.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是(

)A.ADAC=ACAB

B.ADAC=6.如圖，在△ABC中，AG平分∠BAC，點(diǎn)D在邊AB上，線段CD與AG交于點(diǎn)E，且∠ACD=∠B，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是(

)A.△ACD∽△ABC

B.△ADE∽△ACG

C.△ACE∽△ABG

D.△ADE∽△CGE二、填空題（本大題共12小題，共48分）7.求值：cot30°=

．8.計(jì)算：13(a?2b)+9.如果函數(shù)f(x)=2x2?3x+1，那么f(2)=

10.如果兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2：3，那么它們的對(duì)應(yīng)高的比為______．11.已知點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)(MP>NP)，如果MN=10，那么線段MP=

．12.已知在△ABC中，AB=13，BC=17，tanB=512，那么AC=

?13.已知拋物線y=ax2在對(duì)稱軸左側(cè)的部分是下降的，那么a的取值范圍是

．14.將拋物線y=x2?2x+3向下平移m個(gè)單位后，它的頂點(diǎn)恰好落在x軸上，那么m=

15.廣場(chǎng)上噴水池中的噴頭微露水面，噴出的水線呈一條拋物線，水線上水珠的高度y(米)關(guān)于水珠與噴頭的水平距離x(米)的函數(shù)解析式是y=?32x2+6x(0≤x≤4).水珠可以達(dá)到的最大高度是

(16.如圖，一條細(xì)繩系著一個(gè)小球在平面內(nèi)擺動(dòng)，已知細(xì)繩從懸掛點(diǎn)O到球心的長(zhǎng)度為50厘米，小球在左右兩個(gè)最高位置時(shí)，細(xì)繩相應(yīng)所成的角為74°，那么小球在最高和最低位置時(shí)的高度差為

厘米.(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.)17.如圖，已知在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=CB，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上.如果CE⊥BF，那么CEBF的值為

．

18.如圖，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處，點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)A′、D′處，邊A′B′、A′C分別與邊AD交于點(diǎn)M、N，那么線段MN的長(zhǎng)為

．

三、解答題（本大題共7小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）19.(本小題分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1,m)、B(3,n)在拋物線y=ax2+bx+2上．

(1)如果m=n，那么拋物線的對(duì)稱軸為直線

；

(2)如果點(diǎn)A、B在直線20.(本小題分)

如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB和AC上，DE/?/BC，且DE經(jīng)過(guò)△ABC的重心G．

(1)設(shè)BC=a，DE=

(用向量a表示)；

(2)如果∠ACD=∠B，AB=9，求邊AC21.(本小題分)

如圖，某條道路上通行車輛限速為60千米/小時(shí)，在離道路50米的點(diǎn)P處建一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，道路的AB段為監(jiān)測(cè)區(qū).在△ABP中，已知∠A=45°，∠B=30°，車輛通過(guò)AB段的時(shí)間在多少秒以內(nèi)時(shí)，可認(rèn)定為超速？(精確到0.1秒)(參考數(shù)據(jù)：3=1.732)

22.(本小題分)

新定義：由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).如圖，已知在5×5的網(wǎng)格圖形中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上.請(qǐng)按要求完成下列問(wèn)題：

(1)S△ABC=

；sin∠ABC=

；

(2)請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺在線段AB上求作一點(diǎn)P23.(本小題分)

已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊AC、BD、BC上，AB2=AD?AC，∠BAE=∠CAF．

(1)求證：△ABE∽△ACF；

(2)聯(lián)結(jié)EF，如果24.(本小題分)

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=?34x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(?4,0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，PG與直線AC交于點(diǎn)H.如果PH=AH，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在第(2)小題的條件下，聯(lián)結(jié)AP，試問(wèn)點(diǎn)B關(guān)于直線CD對(duì)稱的點(diǎn)25.(本小題分)

已知在正方形ABCD中，對(duì)角線BD=4，點(diǎn)E、F分別在邊AD、CD上，DE=DF．

(1)如圖，如果∠EBF=60°，求線段DE的長(zhǎng)；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BF，垂足為點(diǎn)G，與BD交于點(diǎn)H．

①求證：EHBE=DHBD；

②設(shè)BD的中點(diǎn)為點(diǎn)O，如果OH=1，求BGGF的值．答案和解析1.【答案】B

解：A、y=x+1是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；

B、y=x(x+1)是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

C、y=(x+1)2?x2可化為y=2x+1，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；

D、y=1x2不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意．

2.【答案】C

解：連接OA，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，則∠ABO=90°，

∵點(diǎn)A(1,2)

∴OB=1，AB=2，

∴OA=OB2+AB2=12+22=5，

∵射線OA與x軸正半軸的夾角為α，

∴cosα=OBOA3.【答案】B

解：A、得出的是向量n的方向不是單位向量，故不符合題意；

B、符合向量的長(zhǎng)度及方向，故符合題意；

C、由于單位向量只限制長(zhǎng)度，不確定方向，故不符合題意；

D、左邊得出的是向量m的方向，右邊得出的是向量n的方向，兩者方向不一定相同，故不符合題意．

故選：B．

長(zhǎng)度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長(zhǎng)度及方向，而長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，注意單位向量只規(guī)定大小沒規(guī)定方向，則可分析求解．

本題考查了向量的性質(zhì)．注意：平面向量既有大小，又有方向．

4.【答案】A

解：∵BC：AC=1：3，

∴3：AC=1：3，

∴AC=9，

∴AB=AC2+BC2=9+81=310，

∴物體從A到B所經(jīng)過(guò)的路程為310，

故選：A．

由題意可得物體從A到5.【答案】C

解：∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∵∠A=∠A，

∴△ADC∽△ACB，

∴ADAC=ACAB=CDBC，

故A、B選項(xiàng)正確，不符合題意；

故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∵∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，

∴∠A=∠DCB，

∴△ADC∽△CDB，

∴ADCD=CDBD，

故D選項(xiàng)正確，不符合題意．

故選：C．6.【答案】D

解：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，

∴△ACD∽△ABC，

故A正確；

∵△ACD∽△ABC，

∴∠ADC=∠ACB，

又∵∠BAG=∠CAE，

∴△ADE∽△ACG，

故B正確；

∵AG平分∠BAC，

∴∠BAG=∠CAE，

又∵∠ACD=∠B，

∴△ACE∽△ABG，

故C正確；

由已知條件無(wú)法證明△ADE∽△CGE，

故D錯(cuò)誤；

故選：D．

根據(jù)相似三角形的判定逐一判定即可．

本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】3

解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值知：cot30°=3，

故答案為：3．

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接寫出即可．

本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題時(shí)牢記特殊角的三角函數(shù)值是關(guān)鍵．8.【答案】13解：13(a?2b)+b=139.【答案】3

解：把x=2代入f(x)=2x2?3x+1得：

f(2)=2×22?3×2+1=3．

故答案為：3．

10.【答案】2：3

解：∵兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2：3，

∴這兩個(gè)相似三角形的相似比為2：3，

∴它們的對(duì)應(yīng)高的比為：2：3，

故答案為：2：3．

根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比可求得其相似比，再根據(jù)對(duì)應(yīng)高線的比等于相似比可得到答案．

本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長(zhǎng)比、對(duì)應(yīng)高線比等于相似比是解題的關(guān)鍵．

11.【答案】55解：∵點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，MP>PN，MN=10，

∴PM=5?12MN=5?12×10=55?5，

故答案為：512.【答案】52解：過(guò)A作AD⊥BC于D，則∠ADB=∠ADC=90°，

∵tanB=512，AB=13，BC=17，

∴設(shè)AD=5x，則BD=12x，

在Rt△ABD中，

AD2+BD2=AB2，即(5x)2+(12x)2=132，

解得x=1(負(fù)值舍去)，

∴AD=5x=5，BD=12x=12，

∴CD=BC?BD=17?12=5，

由勾股定理得：AC=AD2+CD2=13.【答案】a>0

解：∵拋物線y=ax2在對(duì)稱軸左側(cè)的部分是下降的，

∴拋物線開口向上，

∴a>0，

故答案為：a>0．

由題意可得拋物線開口向上，進(jìn)而求解．

14.【答案】2

解：y=x2?2x+3=(x?1)2+2，

∴將拋物線y=x2?2x+3沿y軸向下平移2個(gè)單位，使平移后的拋物線的頂點(diǎn)恰好落在x軸上，

∴m=2，15.【答案】6

解：∵y=?32x2+6x，

=?32(x2?4x)，

=?32[(x?2)2?4]，

=?32(x?2)2+6，16.【答案】10

解：如圖：過(guò)A作AB⊥OC于B．

Rt△OAB中，OA=50厘米，∠AOB=74°÷2=37°，

∴OB=OA?cos37°=50×cos37°．

∴BC=OC?OB=50?50×cos37°=50(1?cos37°)≈50×0.2=10(厘米)．

故答案為：10．

當(dāng)小球在最高位置時(shí)，過(guò)小球作小球位置最低時(shí)細(xì)繩的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，可根據(jù)偏轉(zhuǎn)角的度數(shù)和細(xì)繩的長(zhǎng)度，求出小球最低位置時(shí)的鉛直高度，進(jìn)而可求出小球在最高位置與最低位置時(shí)的高度差．

此題考查了三角函數(shù)的基本概念，主要是余弦概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．17.【答案】32解：連接AC，過(guò)C作CG⊥AB于G，如圖：

∵AB=BC，∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AG=12AC=12AB，

∴CG=AC2?AG2=3AG，

∴CGAB=3AG2AG=32，

∵∠DAB=90°，CE⊥BF，

∴∠AFB+∠AEC=180°，

∵∠AEC+∠CEG=180°，

∴∠AFB=∠CEG，

∵∠FAB=90°=∠CGE，

∴△ABF∽△GCE，

∴CEBF=CGAB=32，

故答案為：3218.【答案】154解：如圖，過(guò)點(diǎn)A′作A′E⊥AD于點(diǎn)E，

∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，

∴AC=AB2+BC2=10，

∵將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B恰好落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處，

∴BC=B′C=8，AB=A′B′=6，∠B=∠AB′M=∠A′B′C=90°，

∵AB′=AC?B′C=10?8=2，

∵∠AB′M=∠D，∠B′AM=∠CAD，

∴△AB′M∽△ADC，

∴AB′AD=B′MCD=AMAC，即28=B′M6=AM10，

∴B′M=32，AM=52，

∴A′M=A′B′?B′M=6?32=92，

∵A′E⊥AD，

∴∠A′EM=∠AB′M，

∵∠AM′E=∠AMB′，

∴△A′ME∽△AMB′，

∴A′MAM=A′EAB′=MEMB′，即9252=A′E2=ME32，

∴A′E=185，ME=2710，

∴AE=AM+ME=265，

∴DE=AD?AE=8?265=145，

設(shè)EN=x，則DN=145?x，

∵∠A′EN=∠D=90°，∠A′NE=∠CND，

∴△A′NE∽△CND，

∴A′ECD=EN19.【答案】x=2

解：(1)∵A(1,m)、B(3,n)，m=n，

∴點(diǎn)A和點(diǎn)B為拋物線上的對(duì)稱點(diǎn)，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2；

故答案為：x=2；

(2)把A(1,m)、B(3,n)分別代入y=x?1得m=0，n=2，

∴A(1,0)、B(3,2)，

把A(1,0)、B(3,2)分別代入y=ax2+bx+2得a+b+2=09a+3b+2=2，

解得a=1b=?3，

∴拋物線解析式為y=x2?3x+2，

∵y=x2?3x+2=(x?32)2?14，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?32,?14).

(1)當(dāng)m=n時(shí)，則點(diǎn)20.【答案】23解：(1)連接AG并延長(zhǎng)交BC于M，如圖：

∵G是△ABC的重心，

∴AG=2MG，

∴AGAM=23，

∵DE/?/BC，

∴△ADG∽△ABM，△ADE∽△ABC，

∴AGAM=ADAB=DEBC=23，

∴DE=23BC，

∵BC?=a，DE/?/BC，

∴DE?=23a；

故答案為：23a；

(2)∵AB=9，由(1)知ADAB=23，

∴AD=6，

∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，

∴△ACD∽△ABC，

∴ACAB=ADAC，即AC2=AB?AD，

∴AC2=9×6，

21.【答案】解：過(guò)P作PH⊥AB于H，如圖：

由已知可得，PH=50米，

在Rt△APH中，

∵∠PAH=45°，

∴∠APH=∠PAH=45°，

∴AH=PH=50米，

在Rt△BPH中，

tan30°=PHBH，

∴BH=5033=503≈86.6米，

∴AB=AH+BH≈136.6米，

∵60千米/小時(shí)=503米/秒，

而136.6÷503【解析】過(guò)P作PH⊥AB于H，由已知可得，PH=50米，在Rt△APH中，AH=PH=50米，在Rt△BPH中，BH=5033=503≈86.6米，可得AB=AH+BH≈136.6米，而136.6÷22.【答案】4

45解：(1)由圖可得：

S△ABC=3×3?12×1×3?12×3×1?12×2×2=4，

過(guò)A作AD⊥BC于D，如圖：

∵12×10?AD=4，

∴AD=4105，

∴sin∠ABC=ADAB=410510=45，

故答案為：4，45；

(2)如圖：

點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．

(1)由正方形面積減去三個(gè)直角三角形面積可求S△ABC，過(guò)A作AD⊥BC于D，用面積法可求AD的長(zhǎng)，在23.【答案】證明：(1)如圖：

∵AB2=AD?AC，

∴ABAD=ACAB，

∵∠BAC=∠DAB，

∴△ABC∽△ADB，

∴∠ACB=∠ABD，

∵∠BAE=∠CAF，

∴△ABE∽△ACF；

(2)如圖：

由(1)知△ABC∽△ADB，△ABE∽△ACF，

∴ABAC=BDBC，ABAC=BECF，

∴BDBC=BECF，

【解析】(1)由AB2=AD?AC可得△ABC∽△ADB，有∠ACB=∠ABD，又∠BAE=∠CAF，故△ABE∽△ACF；

(2)由△ABC∽△ADB，△ABE∽△ACF，可得ABAC=BDBC，ABAC=BECF，即得BDBC=BE24.【答案】解：(1)把A(?4,0)，C(0,3)代入y=?34x2+bx+c得：

?12?4b+c=0c=3，

解得b=?94c=3，

∴y=?34x2?94x+3；

(2)如圖：

由A(?4,0)，C(0,3)可得直線AC解析式為y=34x+3，AC=OA2+OC2=5，

設(shè)P(m,?34m2?94m+3)，則H(m,34m+3)，

∴PH=(?34m2?94m+3)?(34m+3)=?34m2?3m，HG=34m+3，

∵∠HAG=∠CAO，∠AGH=90°=∠AOC，

∴△AHG∽△ACO，

∴AHAC=GHOC，即AH5=34m+33，

∴AH=54m+5，

∵PH=AH，

∴?34m2?3m=54m+5，

解得m=?53或m=?4(與A重合，舍去)，

∴P(?53,143)；

(3)點(diǎn)B關(guān)于直線CD對(duì)稱的點(diǎn)E恰好落在直線AP上，理由如下：

作B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E，過(guò)E作EW⊥x軸于W，設(shè)BE交CD于K，如圖：

由y=?34x2?94x+3得拋物線對(duì)稱軸為直線x=?32，B(1,0)，

∴D(?32,0)，BD=【解析】(1)用待定系數(shù)法可得y=?34x2?94x+3；

(2)由A(?4,0)，C(0,3)可得直線AC解析式為y=34x+3，AC=OA2+OC2=5，設(shè)P(m,?34m2?94m+3)，可得PH=?34m2?3m，由△AHG∽△ACO，可得AH=54m+5，故?34m2?3m=54m+5，即可解得P(?53,143)；

(3)作B關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E，過(guò)E作EW⊥x軸于W25.【