§1集合含義及其表示

1、§ 1集合的含義及其表示教學目標：通過實例了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系。能選擇自然語言，圖形語言，集合語言描述不同的具體問題教學重點：集合概念與表示方法教學難點：運用描述法和列舉法表示集合課 型：新授課教學過程型：引入課題同學們在報到時學校通知：8月29日下午4點，高一年級學生按班級在學校行政樓前集合。試問這個通知的對象是全體的高一學生還是個別學生？在這里，集合是我們常用的一個詞語， 我們感興趣的是問題中某些特定 （是高一而不是 高二）對象的總體，而不是個別的對象，為此，我們將學習一個新的概念一一集合（宣布課題），即是一些研究對象的總體。研究集合的數(shù)學理論在現(xiàn)代數(shù)學中

2、稱為集合論，它不僅是數(shù)學的一個基本分支，在數(shù)學中占據(jù)一個極其獨特的地位，如果把數(shù)學比作一座宏偉大廈，那么集合論就是這座宏偉大廈 的基石。集合理論創(chuàng)始者是由德國數(shù)學家康托爾，他創(chuàng)造的集合論是近代許多數(shù)學分支的基礎。（參看閱教材中讀材料 Pl6）。下面幾節(jié)課中，我們共同學習有關集合的一些基礎知識，為以后數(shù)學的學習打下基礎。一、新課教學“物以類聚，人以群分”數(shù)學中也有類似的分類。女口：自然數(shù)的集合0,1, 2, 3,女口： 2x-1>3，即x>2所有大于2的實數(shù)組成的集合稱為這個不等式的解集。女口：幾何中，圓是到定點的距離等于定長的點的集合。1、一般地，指定的某些對象的全體稱為集合，用大

3、寫字母 A, B, C,等標記。示例集合中的每個對象叫做這個集合的元素，用小寫字母a, b, c, d等標記。示例2、元素與集合的關系a是集合A的元素，就說a屬于集合A , 記作a A ,a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A,記作a A思考1:列舉一些集合例子和不能構成集合的例子，對學生的例子予以討論、點評，進而講解下面的問題。例1:判斷下列一組對象是否屬于一個集合呢？（1）小于10的質(zhì)數(shù)（2）著名數(shù)學家（3）中國的直轄市（4） maths中的字母 評注：判斷集合要注意有三點：范圍是否確定；元素是否明確；能不能指出它的屬性。3、集合的中元素的 三個特性：1.兀素的確定性：對于一個給疋的集合，

4、集合中的兀素是確疋的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。2.兀素的互異性：任何一個給疋的集合中，任何兩個兀素都是不同的對象，相冋的對象歸入一個集合時，僅算-一個元素。比如：book中的字母構成的集合3.元素的無序性：集合中的兀素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。4、數(shù)的集簡稱數(shù)集，下面是一些常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N有理數(shù)集Q正整數(shù)集N+ （或N*）實數(shù)集 R整數(shù)集Z注：實數(shù)的分類5、集合的表示方法：列舉法：把集合中的元素一一列舉出來寫在

5、大括號內(nèi)的方法例：1，2，3特點：元素個數(shù)少易列舉 描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法特點：元素多或不宜列舉例：大于3小于10的實數(shù) A= x R| 3< x < 10方程x2 2x 0的解集用描述法為 B= x|x2 2x 0函數(shù)y=2x圖像上的點（x,y）的集合可表示為 C= （x,y） | y=2x在平面直角坐標系中第二象限的構成的集合D= （x,y） | x < 0,且y > 0方程組x y 5的解集 x, y | x 4, y 1x y 3例題 用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?由大于3小于10的整數(shù)組成的集合 方程x290的解的集合 小于10的所

6、有有理數(shù)組成的集合 所有偶數(shù)組成的集合6、集合的分類原則：集合中所含元素的多少 有限集含有限個元素，如 A=-2 , 3 無限集含無限個元素，如自然數(shù)集N,有理數(shù)Q 空 集 不含任何元素，如方程x2+仁0實數(shù)解集。專用標記：課堂練習1用符合“”或“”填空：課本P5練習2、補充思考下列集合是否相同1) A 1,5 B (1,5) C 5,1 D (5,1)2) AB 0 C D 3)1212A x|1-Q,x Z,x 0b y|Z,y 乙 y 0xy小結1集合的概念2、集合元素的三個特征3、常見數(shù)集的專用符號.4、集合的表示方法5、空集三、作業(yè)布置基本作業(yè)：P6 A組4 , 5補充作業(yè)：求數(shù)集1

7、，x， x2-x中的元素x應滿足的條件； 思考作業(yè)：P6B組板書設計(略)另注：請各位考慮是否提出 實數(shù)和全部實數(shù)及R之間的區(qū)別§ 2集合間的基本關系一. 教學目標：1 知識與技能(1) 了解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。(2) 理解子集.真子集的概念。(3) 能使用Venn圖表達集合間的關系，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用 2.過程與方法讓學生通過觀察身邊的實例，發(fā)現(xiàn)集合間的基本關系，體驗其現(xiàn)實意義3情感.態(tài)度與價值觀(1) 樹立數(shù)形結合的思想.(2) 體會類比對發(fā)現(xiàn)新結論的作用二. 教學重點難點重點：集合間的包含與相等關系，子集與其子集的概念 難點：難點是屬于

8、關系與包含關系的區(qū)別.三. 學法與教學用具1. 學法：讓學生通過觀察類比思考.交流.討論，發(fā)現(xiàn)集合間的基本關系2. 教學用具：投影儀.四. 教學過程（一）創(chuàng)設情景，揭示課題問題I :實數(shù)有相等大小關系，如5<7, 2W 2等等，類比實數(shù)之間的關系，你會想到 集合之間有什么關系呢？讓學生自由發(fā)言，教師不要急于做出判斷。而是繼續(xù)引導學生；欲知誰正確，讓我們一起來觀察研探（宣布課題）（二）研探新知1. 子集問題2 :觀察下面幾個例子，你能發(fā)現(xiàn)兩個集合之間有什么關系嗎？ A 1,2,3, B 123,4,5；（2）C=西安中學高一（1）班女生，D =西安中學高一（1）班學生；（3） Ex|x是菱

9、形，F(xiàn) x|x是正方形組織學生充分討論交流，使學生發(fā)現(xiàn)：集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，集合 C中的任何一個元素都是集合D中的元素，集合 E中的任何一個元素都是集合F中的元素。綜合歸納給出定義：一般地，對于兩個集合 A與B,如果集合A中任何一個元素都是集合 B中的元素，我們 就說這兩個集合有包含關系，稱集合A是集合B的子集（subset）.記作：A B（或B A）讀作：A 包含于（is con tai ned in） B,或 B 包含（con ta ins ）A舉例：如Q R， Mx|x是矩形 Px|x是平行四邊形則M P思考：包含關系a A與屬于關系a A定義有什么區(qū)別 ？試結合實

10、例作出解釋.1,21,2,1,2,1,2溫馨提示：（1 ）空集是任何集合的子集，即對任何集合A都有 A。（2） 任何集合是它本身的子集，即對任何集合A都有A A。（3） 若A B，不能理解為子集 A是B中的“部分元素”所組成的集合。因為若A ， 則A中不含任何元素；若 A=B,則A中含有B中的所有元素。非子集關系的反例：（1） A=1,3,5 B=2,4,6（2）C=x|x> 9 D=x|x w 3 可用數(shù)軸直觀表示（3）E= x|x> 9 F= x|x w 12當集合A中存在（即至少有一個）著不是集合B的元素，那么集合 A不包含于B,或B不包含A,分別記作：A B （或B A）2

11、. 集合的相等引入時舉例：A x| x 7 x 50 B 5,7由元素分析發(fā)現(xiàn)兩個集合的元素完全相同，只是表達形式不同，給出集合相等的定義：一般地，如果集合A的任何一個元素都是集合B中的元素，同時集合B中的任何一個元素都是集合A中的元素，那么我們就說集合A與集合B相等，記作A=B.問題3:與實數(shù)中的結論“ a b,b a a b”相類比，在集合中，你能得出什么 結論？教師引導學生通過類比，思考得出結論：A B,B A AB.3.真子集問題 4： A=小于 7 的正整數(shù) B=1，2，3，4，5，6， C=1，3，5顯然，C A, B A，又發(fā)現(xiàn)B=A，C A，如何確切表明 C與A的特殊關系？文字

12、語言對于兩個集合A與B,如果A B且A B，就說集合A是集合B的真子集(proper subset )符號語言若A B,但存在元素x,x B且X A則A互B (或昌 A)讀作：A真包含于B (或B真包含A)教師指出：為了直觀地表示集合間的關系，我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合, 這種圖稱為Venn圖。如圖I和圖2分別是表示集合相等和真子集的關系。問題5:請同學們舉出幾個具有包含關系.相等關系的集合實例，并用 Venn圖表示.學生主動發(fā)言，教師給予評價做練習4，并強調(diào)確定是真子集關系的寫真子集，而不是子集。思考：(1)對于集合A，B, C,如果A B, B C,那么集合A與C有什么關系？如果

13、真包含呢？(2) 集合A是集合B的真子集與集合 A是集合B的子集之間有什么區(qū)別 ？(3) 空集是任何集合的子集嗎 ？空集是任何集合的真子集嗎 ？(4) 0，0與三者之間有什么關系？(三) 鞏固深化，發(fā)展思維1. 學生在教師的引導啟發(fā)下完成下列兩道例題：例1某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在質(zhì)量和長度上都合格時，該產(chǎn)品才合格。若用A表示合格產(chǎn)品，B表示質(zhì)量合格的產(chǎn)品的集合,C表示長度合格的產(chǎn)品的集合則下列包含關系哪些成 立？A B, B A, A C,C A試用Venn圖表示這三個集合的關系。例2 (與書上有變動)分別求下列集合的子集，并指出哪些是它們的真子集，,1,2, 1,2,3集合子集子集個數(shù)真子集個數(shù)1

14、01,1211,2,1,2,1,2431,2,3,1,2,3,1,2,1,2,387推廣歸納：有限集 內(nèi)忌心， Q iQ 的子集個數(shù)2n，真子集個數(shù)2n 1，非空子集個數(shù)2n 1，非空真子集個數(shù)2n 2。2.練習第5題（四）歸納整理，整體認識請學生回顧本節(jié)課所學過的知識內(nèi)容有哪些，所涉及到的主要數(shù)學思想方法有那些1.A B A BA與B間的關系A BA B也可結合配備的多媒體光盤用FLAS顯示Venn圖形式的集合間不同關系以加深印象。2性質(zhì)結論：（1）任何集合是它本身的子集，即對任何集合（2）空集是任何集合的子集，即對任何集合空集是任何 非空集合的真子集。A都有A A。A都有 A。欲證A B，

15、只須證AB,且B A都成立即可。（4 對于集合A、B、C,若AB, B C,則 A C.若庠B,BWC,則岸 C.（五）布置作業(yè)基礎題：第9頁習題1-2 A組2，4，5題 B組第1題思考題：1. （06年上海理）已知集合A= 1, 3, 2m 1，集合B= 3, m2.若B A,則實數(shù)m = .2. 已知集合A x|a x 5, B x|x > 2，且滿足AB，求實數(shù)a的取值范圍。§ 3集合的基本運算教學目的：（1）理解兩個集合的并集與交集的的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；（2）理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；（3）能用Venn圖表達集合的關系及

16、運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。課 型：新授課教學重點：集合的交集與并集、補集的概念； 教學難點：集合的交集與并集、補集“是什么”，“為什么”，“怎樣做”； 第一課時：教學過程：四、 引入課題我們兩個實數(shù)之間可以進行運算，比如加法運算，那么兩個集合之間存在運算嗎？實例1 : A=高一（9）班女生B= 高一（9）班團員C=高一（9）班女團員,我們發(fā)現(xiàn)集合C中的元素是集合 A和集合B的公共元素。實例2:學校的某次運動會要求各班選出數(shù)名籃球隊員和足球隊員假設A= 高一（9）班的籃球隊員 B= 高- C=高一（9）班的運動員，我們發(fā)現(xiàn)集合 的。我們發(fā)現(xiàn)集合之間是存在一定運算的。五、新課教學（9

17、）班的足球隊員砧日 亠人a 工 rt人r> 砧-4-U r=| 4-A-t r-P*C的兀素疋由集合 A和集合B的兀素共同構成1 交集（如實例1）一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集（in tersect ion）。記作：An B讀作：“ A交B”即: A n B=x| A,且 x B交集的Venn圖表示說明：兩個集合求交集，結果還是一個集合，是由集合A與B的公共元素組成的集合。則上例中C=An B。練習：1.A= 3, 5, 7 , B= 1, 2, 3, 4 則 An B;2. A xx 1 ,B xx 0 ,則A B.說明：連續(xù)的（用不等式表示的

18、）實數(shù)集合可以用數(shù)軸上的一段封閉曲線來表示。當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集2. 并集（如實例2）一般地，由所有屬于集合 A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（Union ）記作：AU B讀作：“ A并B”即： A U B=x|x A, 或 x BVenn圖表示:說明：兩個集合求 復元素只看成一個練習：1.A= 3,Bi由集5, 73, 4 A吉果還是一個A與B的所有元素組成的集合B；A U B（重0 x 3,則 A B.說明：連續(xù)的（用不等式表示的）實數(shù)集合可以用數(shù)軸上的一段封閉曲線來表示。拓展：求下列各圖中集合 A與B的并集與交集交

19、集的性質(zhì)A A=A , A=, A B=B A, A B A, A B B,若A B,則A B=A，反之也成立。并集的性質(zhì)A A=A, A=A, A B=B A, A B A, A B B若A B,則A B=B，反之也成立。聯(lián)系交集的性質(zhì)有結論：A B A A B.三例題講解：例1 某學校所有男生組成的集合A, 年級的所有學生組成的集合B, 年級的所有男生組成的集合 C, 一年級的所有女生組成的集合D,求AA B, CU Do解A n B= xx是該校一年級的男生C；C D XX是該校一年級學生=B.例2.設A xx是不大于10的正奇數(shù),Bxx是12的正約數(shù)求 An B, AU B.解 A x

20、x是不大于10的正奇數(shù)135,7,9Bxx 是 12 的正約數(shù)1,2,3,4,6,12.AB1,3;AB1,2,3,4,5,6,7,9,12 .完成思考交流，通過文氏圖說明?？偨Y集合的交集和并集運算滿足結合律。2例 3. 已知集合 M=y|y=x +1, x R, N=y|y=x+1 , x R，求 MA N。 解 M=y|y=x +1, x R=y|y > 1 , N=y|y=x+1 , x R=y|y R MA N=M=y|y > 1四課堂練習：P12練習1 , 2, 3, 4題P14習題1題五小結：An B=x| A,且 x BAU B=x|x A,或 x B交集的性質(zhì)A A

21、=A , A=, A B=B A, A B A, A B B,若A B,則A B=A，反之也成立。并集的性質(zhì)A A=A, A =A， A B=B A， A B A, A B B 若A B,則A B=B，反之也成立。聯(lián)系交集的性質(zhì)有結論:A B A A B.六.作業(yè)1. 基礎作業(yè)：P14習題A組2, 3, 4題2. 選做：已知集合 A=x|x 當 B=1 , 2時，1-3x+2=0 , B=x|x 2-mx+2=0，且 An B=B 求實數(shù) m范圍。解化簡條件得A=1 ,2, An B=B B A根據(jù)集合中元素個數(shù)集合B分類討論，B=,B=1或2 , B=1 , 22當 B=時， =m-8<

22、;0當B=1或2時,0 或 4 2m 2綜上所述，m=3或2、23. 思考B組1題§ 3集合的基本運算第二課時一. 復習回顧：上節(jié)學習了集合的兩種基本運算求交集和求并集。實際中在研究某些集合的時候，這些集合往往是某些給定集合的子集，這個給定的集合叫做全集。二. 新課講解1. 全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱 這個集合為全集(Universe )，通常記作U。2 .補集：對于全集 U的一個子集A,由全集U中所有不屬于集合 A的元素組成的集合 稱為集合A相對于全集U的補集(complementary set ),簡稱為集合A在U中的補集，或余記作：

23、CA即：CU Axx補集的Venn圖表示說明：補集的概念必須要有全集的限制三例題講解例3試用集合A, B的交集、并集、補集分別表示圖中I,n, 合。解 I部分：A B；n部分：A (CuB)；川部分：B (Cu A);W部分：Cu A B 或 Cu BCu A .，"四個部分所表示的集例4設全集為R, A xx 5 , B xx 3.求：(1) A B；(2) A B；(3) CR代 CrB;(4) (CrA) (CrB)；(5) (CrA) (CrB);(6) CrA b ;(7) CR A B .并指出其中相等的集合。解 (1)在數(shù)軸上，畫出集合 A和B.A B xx 5xx 3

24、x3 x 5;(2) A B xx 5 xx 3 R;(3) 在數(shù)軸上表示出 CrA,CrB:CrA x x 5 ,CrB xx 3;(4) (CrA) (CrB) xx 5 xx 3(5) (CrA) (CrB) xx 5xx 3xx 3,(6) CR A B = xx 3,或x 5 ;(7) Cr A B注意對連續(xù)實數(shù)集利用數(shù)軸直觀去處理，通過例題了解德摩根律。 總結：補集的性質(zhì)：cu=U,Cu U=, Ad cuA=, AUcuA=U,cu( C u A) = A德摩根律：(CuA)(C uB)= Cu (AB),(CuA)(C uB)= C u(A B),四課堂練習。P14 練習 1,

25、 2, 3, 4, 5 題五歸納小結求集合的并、交、補是集合間的基本運算，運算結果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的 關鍵是“且”與“或”，在處理有關交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、 挖掘題設條件，結合 Venn圖或數(shù)軸進而用集合語言表達，增強數(shù)形結合的思想方法。 六.作業(yè)布置1、基礎作業(yè)：P15習題A組，第5, 6, 7題。2、選做：若全集U =2,0,3 a2，子集P= 2,a2 a 2，且 OP= 1 ,求實數(shù)aa2 a 2 0解 由子集定義和補集定義可知3a2 1 ，解得a = 2.3. 思考：習題B組2題第一章集合復習課教案(2課時)(一) 教學目標：(1) 了解集合的含

26、義，理解集合的表示方法(2) 理解集合的運算，會求集合的交，并，補集(3) 能使用韋恩圖表達集合的關系及運算(二) 教學三點解析：(1) 教學重點：知識的網(wǎng)絡結構；(2) 教學難點：集合思想的應用及運算；(三) 教學過程設計一. 知識歸納集合知識網(wǎng)絡.含 義 指定對象的全體形成一個集合 .特征一確定性、互異性、無序性T表示法列舉法1,2,3,、描述法x|P,，韋恩圖法 分類有限集、無限集 空集數(shù)集自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集 Q、實數(shù)集R、正整數(shù)集N*關系屬于、不屬于、包含于、非包含于，真包含于壬、集合相等交集 A n B = x|x A 且 x B ;|并集| A U B =x|x A 或

27、 x B;補集Gj A = x|x A且x U , U為全集性質(zhì)運算:注意： 區(qū)別與 、旺與 、a與a、©與 © 、(1,2)與1,2;A B時，A有兩種情況：A=©與Az©1. 需要注意的問題(1) 要正確理解集合、空集、子集、全集、補集、交集、并集的概念及性質(zhì)(2) 特別注意對空集的概念和性質(zhì)的理解(3) 集合的表示方法各有特點，應結合具體問題適當選用(4) 利用數(shù)形結合的思想，將集合用 Venn圖表示出來，幫助理解或解決問題，在求數(shù)集的交集、并集、補集時，可以借助于數(shù)軸(5) 集合中蘊涵著分類的思想，體會它在生活中和數(shù)學中的廣泛的應用(6) 理解集

28、合是一種語言,這種語言能簡潔、準確地表達數(shù)學的一些內(nèi)容2. 常見題型1 、用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?00以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)所組成的集合；所有正方形；直角坐標平面上在直線和兩側的點所組成的集合；方程組x 2y 3得解集y x 62、由元素1，2，3組成的集合可記為：A . xx 1,2,3 B . xx 1,2,3 C. xx N* ,x 4 d . x是6的質(zhì)因數(shù)3、實數(shù)集合，中元素丫滿足的條件4、 已知集合 A= a 2 ,a , a2 2a+ 1, B= 1,2且 An B= 1，求 a 的值。laibabc5、設a,b,c為非零實數(shù)，則x 口門一占的所有值組成的集合為（）a|bc

29、|abC6、 已知集合 A= 1,3,2m 1，集合 B= 3, m2 若 B A,則實數(shù) m = 7、定義集合 A*B=x|x A且 x B，若 A=2,4,6,8,B=2,4,5，則 A*B 的子集個數(shù)為（）、1n 1p 18、已知集合 M=x|x=m+ ,m Z,N=x|x=,n Z,P=x|x=,p Z,貝U M,N,P62326滿足關系（ ）9、 若1,2 WA 1,2,3,4,5,則滿足這一關系的集合A的個數(shù)為10、已知集合 M=y|y=x +1, x R, N=y|y=x+1 , x R，求 MA N。11、 若集合A1 , A2滿足AA2 = A,則稱（A , A2）為集合A的

30、一個分拆，并規(guī)定：當且僅當A = A2時，（A , A2 ）與（A2 , A）為集合A的同一種分拆，則集合A= a1,a2, a3的不同分拆種數(shù)是（）。12、設全集f ,-，求 A B,A B,判斷與I匸-之間的關系.13、 已知集合 A=x|2 < xw 9, B=x| n-1<x<4n+1且 Bm,若 AU B=A,求 m的取值范圍14、已知集合 A=x R|ax2 3x+2=0,a R,若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是42 2 15 .設 A=x|x +ax+b=O,B=x|x+cx+15=0,又 A B=3 , 5, AA B=3，求實數(shù) a,b,c的值16、 設全集 U= 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , P= 1 , 2 , 3 , 4 , 5, Q= 3 , 4 , 5 , 6 , 7,則 PCUQ=17、已知 U= 1,234,5,6,7,8 , A Cu B 1,8, Cu A B 2,6Cu ACu B 4,7 ,則集合 A=18、 某校有21個學生參加了數(shù)學小組，17個學生參加了物理小組，10個學生參加了化學 小組，他們之中同時參加數(shù)學