淺析小波變換

1、小波變換的思想小波變換的思想 Wavelet Transform 基本思想：將信號(hào)分解成一系列不同頻率的連續(xù)正弦波的疊加。缺陷：丟掉了時(shí)間信息，無法根據(jù)變換結(jié)果判斷一個(gè)特定的信號(hào)是在什么時(shí)候發(fā)生的。傅立葉變換傅立葉變換 引言引言-小波變換的由來小波變換的由來4實(shí)際采集的地震信號(hào)實(shí)際采集的地震信號(hào)它們的頻域特性都隨時(shí)間而變化。分析它需要提取某一時(shí)間段的頻域信息或某一頻率段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息。如何完成只分析數(shù)據(jù)中的一小部分?引言引言-短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet Transfor

2、m， CWTCWT）用下式表示）用下式表示： (,)( ) (, )scale positionf tscale positionCt dt表示小波變換是表示小波變換是信號(hào)信號(hào)f f( (x x) )與與被縮放和平移被縮放和平移的的小波函數(shù)小波函數(shù)()()之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和的結(jié)果。之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和的結(jié)果。CWTCWT的的變換結(jié)果變換結(jié)果是許多是許多小波系數(shù)小波系數(shù)C C，這些系數(shù)是縮放因，這些系數(shù)是縮放因子（子（scalescale）和平移（）和平移（positionposition）的函數(shù)。）的函數(shù)。 基本小波函數(shù)()的縮放和平移操作 (1) (1) 縮放縮放。就是

3、壓縮或伸展基本小波， 縮放系數(shù)越小， 則小波越窄小波的縮放操作 OOOf (t)f (t)f (t)tttf (t)(t)；scale1f (t)(2t)；scale0.5f (t)(4t)；scale0.25(2) (2) 平移平移。小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上, ,函數(shù)函數(shù)f f( (t t) )延延遲遲k k的表達(dá)式為的表達(dá)式為f f( (t-kt-k) )，小波的平移操作(a) 小波函數(shù)(t)； (b) 位移后的小波函數(shù)(t-k) 2 2、小波尺度和信號(hào)頻率的關(guān)系、小波尺度和信號(hào)頻率的關(guān)系小尺度小尺度 信號(hào)的高頻信號(hào)的高頻大尺度大尺度 信號(hào)的低頻信號(hào)的低頻v 在

4、在每個(gè)可能的縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系數(shù)每個(gè)可能的縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系數(shù)，其計(jì)算量相當(dāng)大，將產(chǎn)生其計(jì)算量相當(dāng)大，將產(chǎn)生驚人的數(shù)據(jù)量驚人的數(shù)據(jù)量，而且有，而且有許多許多數(shù)據(jù)是無用數(shù)據(jù)是無用的。的。v 如果如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為縮放因子和平移參數(shù)都選擇為2 2j j（j j00且為整且為整數(shù)）的倍數(shù)數(shù)）的倍數(shù)， 即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來即只選擇部分縮放因子和平移參數(shù)來進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)行計(jì)算， 就會(huì)使分析的就會(huì)使分析的數(shù)據(jù)量大大減少數(shù)據(jù)量大大減少。v 使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為雙雙尺度小波變換（尺度小波變換（Dyad

5、ic Wavelet TransformDyadic Wavelet Transform），它是，它是離散小波變換離散小波變換（Discrete Wavelet TransformDiscrete Wavelet Transform， DWTDWT）的一種形式。的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。 DWT的由來的由來v 執(zhí)行離散小波變換的執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器有效方法是使用濾波器， 該該方法是方法是MallatMallat于于19881988年提出的，稱為年提出的，稱為MallatMallat算法算法( (馬馬拉拉) )。這種

6、方法實(shí)際上是一種信號(hào)分解的方法，。這種方法實(shí)際上是一種信號(hào)分解的方法， 在數(shù)在數(shù)字信號(hào)處理中常稱為字信號(hào)處理中常稱為雙通道子帶編碼雙通道子帶編碼。一個(gè)濾波器為低通濾波器，通過該濾波器可得到信號(hào)的近似值A(chǔ)（Approximations）另一個(gè)為高通濾波器， 通過該濾波器可得到信號(hào)的細(xì)節(jié)值D（Detail）。實(shí)際應(yīng)用中，實(shí)際應(yīng)用中，信號(hào)的低頻分量往往是最重要的信號(hào)的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只，而高頻分量只起一個(gè)修飾的作用。如同一個(gè)人的聲音一樣，起一個(gè)修飾的作用。如同一個(gè)人的聲音一樣， 把高頻分量去掉把高頻分量去掉后，聽起來聲音會(huì)發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但后，聽起來聲音會(huì)發(fā)生改

7、變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但如果把低頻分量刪除后，就會(huì)什么內(nèi)容也聽不出來了。如果把低頻分量刪除后，就會(huì)什么內(nèi)容也聽不出來了。 圖圖 多級(jí)信號(hào)分解示意圖多級(jí)信號(hào)分解示意圖（a a） 信號(hào)分解；信號(hào)分解； (b) (b) 小波分樹；小波分樹； （c c）小波分解樹）小波分解樹 在使用濾波器對(duì)真實(shí)的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行變換時(shí)，在使用濾波器對(duì)真實(shí)的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行變換時(shí)，得到的數(shù)據(jù)將是得到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍原始數(shù)據(jù)的兩倍。 根據(jù)根據(jù)耐奎斯特耐奎斯特(Nyquist)(Nyquist)采樣定理就采樣定理就提出了降采樣的方提出了降采樣的方法，即在每個(gè)通道中每兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)取一個(gè)，得到的法，即在每個(gè)通道中每兩個(gè)

8、樣本數(shù)據(jù)取一個(gè)，得到的離散小波變換的系數(shù)離散小波變換的系數(shù)(coefficient)(coefficient)分別用分別用cDcD和和cAcA表示表示 將信號(hào)的小波分解的分量進(jìn)行處理后，一般還要根將信號(hào)的小波分解的分量進(jìn)行處理后，一般還要根據(jù)需要把據(jù)需要把信號(hào)恢復(fù)出來信號(hào)恢復(fù)出來，也就是利用信號(hào)的小波分解，也就是利用信號(hào)的小波分解的系數(shù)還原出原始信號(hào)，這一過程稱為的系數(shù)還原出原始信號(hào)，這一過程稱為小波重構(gòu)小波重構(gòu)（Wavelet ReconstructionWavelet Reconstruction）或叫做或叫做小波合成小波合成（Wavelet SynthesisWavelet Synthe

9、sis）。）。 這 一 合 成 過 程 的 數(shù) 學(xué) 運(yùn) 算 叫 做這 一 合 成 過 程 的 數(shù) 學(xué) 運(yùn) 算 叫 做 逆 離 散 小 波 變 換逆 離 散 小 波 變 換（Inverse Discrete Wavelet TransformInverse Discrete Wavelet Transform， IDWTIDWT）。）。 小波重構(gòu)算法示意圖 SHLHL (1) (1) 重構(gòu)近似信號(hào)與細(xì)節(jié)信號(hào)重構(gòu)近似信號(hào)與細(xì)節(jié)信號(hào)由小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原由小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原始信號(hào)。始信號(hào)。同樣，可由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號(hào)同樣，可由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)

10、分別重構(gòu)出信號(hào)的的近似值近似值或或細(xì)節(jié)值細(xì)節(jié)值，這時(shí)只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置，這時(shí)只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置為零即可。為零即可。 重構(gòu)近似和細(xì)節(jié)信號(hào)示意（a） 重構(gòu)近似信號(hào)； (b) 重構(gòu)細(xì)節(jié)信號(hào) A1HL1000個(gè) 樣 點(diǎn)0約 500個(gè) 0cA1約 500個(gè) 近 似 分 量(a)D1HL1000個(gè) 樣 點(diǎn)(b)約 500個(gè) 0約 500個(gè) 近 似 分 量0cD1 (2)多層重構(gòu)重構(gòu)出信號(hào)的近似值A(chǔ)1與細(xì)節(jié)值D1之后，則原信號(hào)可用A1D1S重構(gòu)出來。對(duì)應(yīng)于信號(hào)的多層小波分解，小波的多層重構(gòu)圖: 重構(gòu)過程為：A3D3A2；A2D2A1；A1+D1S。A3D3A2D2SA1D1n信號(hào)重構(gòu)中，信號(hào)重構(gòu)

11、中，濾波器的選擇濾波器的選擇非常重要，關(guān)系非常重要，關(guān)系到能否重構(gòu)出滿意的原始信號(hào)。低通分解濾到能否重構(gòu)出滿意的原始信號(hào)。低通分解濾波器（波器（L）和高通分解濾波器（）和高通分解濾波器（H）及重構(gòu)）及重構(gòu)濾波器組（濾波器組（L和和H）構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，）構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)， 這個(gè)這個(gè)系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為正交鏡像濾波器（正交鏡像濾波器（Quadrature Mirror Filters， QMF）系統(tǒng)）系統(tǒng)。多層小波分解和重構(gòu)示意圖 一、一、HaarHaar小波小波101/2( )11/210ttt 其它/224( )sin/4iie 二、二、 DaubechiesDaubechies小波小波D4尺度函數(shù)與小

12、波尺度函數(shù)與小波 012345-0.4-0.200.20.40.60.811.21.4-2-10123-1.5-1-0.500.511.52D6尺度函數(shù)與小波尺度函數(shù)與小波 三三. Morlet. Morlet小波小波20/2( )itttee20() /2( )2 e MorletMorlet小波不存在尺度函數(shù)小波不存在尺度函數(shù); ; 快速衰減但非緊支撐快速衰減但非緊支撐. . Morlet小波是Gabor 小波的特例。 2221/421ti tg tetg t e Gabor 小波Morlet小波1,5四四. . 高斯小波高斯小波 2/212ttte 2/2i e ( ) t( ) 這是高

13、斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。這是高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。主要應(yīng)用于階梯型邊界的提取。 特性：特性： 指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化；指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化； 關(guān)于關(guān)于0 0軸反對(duì)稱。軸反對(duì)稱。五五. Marr. Marr小波小波( ) 這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。主要應(yīng)用于屋脊型邊界和主要應(yīng)用于屋脊型邊界和DiracDirac邊緣的提取。邊緣的提取。 22/2

14、2( )(1)3ttte242/22 2( )3e （也叫墨西哥草帽小波） 特性：特性： 指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化；指數(shù)級(jí)衰減，非緊支撐；具有非常好的時(shí)間頻率局部化； 關(guān)于關(guān)于0 0軸對(duì)稱。軸對(duì)稱。 t六六. Meyer. Meyer小波小波它的小波函數(shù)與尺度函數(shù)都是在頻域中進(jìn)行定義的。具體定義如下： 122324sin1 22333481 2433280 ,332cosivve 42335847020 0,1v tttttt 121222 33242cos1 223340 3v t( ) 七七. Shannon. Shannon小波小波 sin1/2sin21/21/

15、2tttt /21, 20, ie 其它在時(shí)域，在時(shí)域，ShannonShannon小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不小波是無限次可微的，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域，ShannonShannon小波是小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。 t八八. Battle-Lemarie. Battle-Lemarie樣條小波樣條小波 224222412sin164sin241sin3 8sin8sin34441( )() ()222 ige Battle-LemarieBattle-Lemarie線性樣條小波及其頻域函數(shù)的圖形線性樣條小波及其頻域函數(shù)的圖形 t總總 結(jié)結(jié)( )( ) t總總 結(jié)結(jié)Wavelet: 小波Ondelettes: 小波Compact support: 緊支撐Wavelet transform (WT): 小波變換Continuous Wavelet transform (CWT): 連續(xù)小波變換Discrete Wavelet transform (DWT): 離散小波變換Filter bank: 濾波器族Dyadic wavelet: 二進(jìn)小波Scaling function: 尺度函數(shù)Bas