中考總復習：方程與不等式綜合復習--知識講解(提高)

1、學習必備歡迎下載方程與不等式綜合復習【考綱要求】1會從定義上判斷方程（組）的類型，并能根據(jù)定義的雙重性解方程（組）和研究分式方程的增根情況；2.掌握解方程（組）的方法，明確解方程組的實質(zhì)是 “消元降次”、“化分式方程為整式方程”、“化無理式為有理式”3理解不等式的性質(zhì)，一元一次不等式（組）的解法，在數(shù)軸上表示解集，以及求特殊解集；4列方程（組）、列不等式（組）解決社會關注的熱點問題；5.解方程或不等式是中考的必考點，運用方程思想與不等式（組）解決實際問題是中考的難點和熱點.【知識網(wǎng)絡】一1整程 |去分卸換元一 |分式方程| 一元一次不等式強*-1一元一次不等式組及其解法【考點梳理】考點一、一元

2、一次方程1.方程含有未知數(shù)的等式叫做方程.2.方程的解能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解3.等式的性質(zhì)（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結果仍是等式（2） 等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結果仍是等式.4.一元一次方程只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax b =0（x為未知數(shù)，a = 0）叫做一元一次方程的標準形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)項.| 一兀一次方程| 一元二次方程L 方程一一1元二次方程紐消兀二元一次方程組解法L 代入消元法I加減消元法I方程d與不等式妙C (一列方程（組解應用題

3、L 不等式的定義T 不等式的解呃一一I解不尊式I數(shù)軸表示法等式一不等式的性質(zhì)學習必備歡迎下載5.一元一次方程解法的一般步驟整理方程 一一去分母一一 去括號一一 移項一一 合并同類項一一系數(shù)化為1(檢驗方程的解).6.列一元一次方程解應用題讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問題”仔細讀題，找出表示相等關系的關鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，減少，配套”，利用這些關鍵字列出文字等式，并且根據(jù)題意設出未知數(shù)，最后利用題目中的量與量的關系填入代數(shù)式，得 到方程(2)畫圖分析法：多用于“行程問題”利用圖形分析數(shù)學問題是數(shù)形結合思想在數(shù)學中的體現(xiàn)，仔細讀題，依照題意畫出有關圖形，

4、使圖形各部分具把未知數(shù)看作已知量)，填入有關的代數(shù)式是獲得方程的基礎 要點詮釋:列方程解應用題的常用公式:, 、2周長、面積、體積問題：C圓=2nR, S圓=nR,C長方形=2(a+b),S長方形=ab,222391S正方形=a,S環(huán)形=n長方體=abh,V正方體=a,V圓柱=nRh,V圓錐=一3考點二、一兀二次方程1.一元二次方程含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式2 2ax bx c =0(a =0),它的特征是：等式左邊是一個關于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零，其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次

5、項系數(shù)；c叫做常數(shù)項.3.一元二次方程的解法(1) 直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.直接開平方法適用于解形如(x - a)2=b的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，x a是b的平方根，當b - 0時，x- b,x二-a -，當bb）圖示解集口訣h一x a a（同大取大）_ _L-ba a bx v b（同小取?。?ba ax cbr i-jf（空集）找不到）ba注：不等式有等號的在數(shù)軸上用實心圓點表示要點詮釋:用符號“v”“”“w”“”“工”表示不等關系的式子，叫做不等式（1） 不等式的其他性質(zhì)：若ab,則bva;若ab,bc,則ac;若ab，

6、且ba,?則a=b; 若a2w0,則a=0；若ab0或旦.0,則a、b同號；若abv0或a：0,則a、b異號.bb（2） 任意兩個實數(shù)a、b的大小關系：a-bO= ab:a-b=O：= a=b:a-bvO二avb.不等號具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換：但avb可轉換為ba,cd可轉換為d2.(1)求證：B-A0,并指出A與B的大小關系；(2)指出A與C哪個大？說明理由.【思路點撥】計算B-A結果和0比大小，從而判斷A與B的大小；同理計算C-A，根據(jù)結果來比較A與C的大小.【答案與解析】2 2(1)證明：B-A=a -2a+3=(a-1) +2.2 2/a2,.(a-1)0,.(a-1) +

7、20. a -2a+30,即卩B-A0.由此可得BA.(2)解：C-A=a +4a-21=(a+7)(a-3)./a2,.a+70.當2vav3時，a-3v0,(a+7)(a-3)v0.當2vav3時，A比C大；當a=3時，a-3=0,(a+7)(a-3)=0.當a=3時，A與C一樣大；當a3時，a-30,(a+7)(a-3)0.當a3時，C比A大.【總結升華】比較大小通常用作差法，結果和0比大小，此時常常用到因式分解或配方法本題考查了整式的減法、十字相乘法分解因式，滲透了求差比較大小的思路及分類討論的思想.舉一反三：【變式1】已知：A=2a2-a2,B=2,C= a2-2a 4,其中a 1.

8、(1)求證：A-B0;(2)試比較AB、C的大小關系，并說明理由.【答案】2 2(1)A-B=2a a 2-2 = 2a a = a(2a -1)/a 1, a 0,2a -10A-B02 2 2(2) C-B=a 2a42=a 2a 2=(a1)10CB/A-C=2a2_a 2 _a22a _4 =a2a _2 =(a 2)(a _1)/a 1, a 20 , a -1 0ACB【變式2】如圖，要使輸出值y大于100,則輸入的最小正整數(shù)x是_ .學習必備歡迎下載【答案】解：設n為正整數(shù)，由題意得冃勿一心100，解得“872n x 4 +13 100.8則n可取的最小正整數(shù)為11.若x為奇數(shù)，

9、即x=21時，y=105; 若x為偶數(shù)，即x=22時，y=101. 滿足條件的最小正整數(shù)x是21.類型二、方程（組）與不等式（組）的綜合應用4.宏志高中高一年級近幾年來招生人數(shù)逐年增加，去年達到550名，其中有面向全省招收的 “宏志班也有一般普通班的學生.由于場地、師資等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班學生可多招“宏志班”學生可多招10%問今年最少可招收“宏志班”學生多少名？【思路點撥】根據(jù)招生人數(shù)列等式，根據(jù)今年招生最多比去年增加100人列不等式.【答案與解析】丄 xy =550,設去年招收“宏志班”學生x名，普通班學生y名，由條件得J0%x + 20%yE100.將y=55

10、0-x代入不等式，可解得x100,于是（1+10%）x110. 故今年最少可招收“宏志班”學生110名.【總結升華】本題屬于列方程與不等式組綜合題.舉一反三：【變式】為了加強學生的交通安全意識，某中學和交警大隊聯(lián)合舉行了“我當一日小交警”活動，星期天選派部分 學生到交通路口值勤，協(xié)助交通警察維持交通秩序，若每一個路口安排4人，那么還剩下78人;路口安排8人，那么最后一個路口不足8人，但不少于4人求這個中學共選派值勤學生多少人少個交通路口安排值勤？【答案】設這個學校選派值勤學生x人，共到y(tǒng)個交通路口值勤.根據(jù)題意得x-4y=78,4 Ex -8（y-1）：8.由可得x=4y+78，代入，得478

11、+4y-8（y-1）V8,解得19.5vy20.5.根據(jù)題意y取20,這時x為158,即學校派出的是158名學生，分到了20個交通路口安排值勤.學生，20%若每個?共有多學習必備歡迎下載5.已知關于x的一元二次方程(m2)x2-(m _1)x m =0.(其中m為實數(shù))(1)若此方程的一個非零實數(shù)根為k，1當k=m時，求m的值；12若記m(k)2k 5為y,求y與m的關系式；k(2)當1vm 0,m -2v0.4-3m( 2)0,-3m( 2) 110, 0.1當丄 vmv2時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根.41解法二：直接分析vmV2時，函數(shù)y =(m 2)x2(m-1)x m的圖象，4該函數(shù)

12、的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交，該拋物線必與x軸有兩個不同交點.1二次方程，y與m的關系式;學習必備歡迎下載當丄 vmv2時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根.4學習必備歡迎下載解法三： 厶=_(m _1)f _4m(m _2) - -3m26m 1 - _3(m _1)2- 4.結合厶-_3(m -1)24關于m的圖象可知，(如圖) 當1V * 1時，37V .：W4；416當1Vm 2時，1V. ： V4.1當丄 m0.41當m0,k0此方程總有實根。解：解得方程兩根為X1=-1,X2=3-k 方程有一根大于5且小于乙53k7,4k2,/k為整數(shù)，k=3.【總結升華】學習必備歡迎下載

13、解：由知k=-3, y2= x2-5x -6 yi目2, y2- yi : 0,即x26x 6 _b：0T在-1：. x : 7時，有y1. y2b _1類型四、用不等式(組)解決決策性問題6.(2015春?重慶校級期中)某服裝店到廠家選購A、B兩種服裝，若購進A種型號服裝12件，B種型號服 裝8件，需要1880元；若購進A種型號服裝9件，B種型號服裝10件，需要1810元.(1)求A、B兩種服裝的進價分別為多少元？(2)若銷售一件A型服裝可獲利18元，銷售一件B型服裝可獲利30元，根據(jù)市場需求，服裝店老板決定：購進A、B兩種服裝共34件，并使這批服裝全部銷售完畢后總獲利不少于906元問服裝店

14、購進B種服裝至少多少件？(3)在(2)問的條件下，服裝店應怎樣購進A、B兩種服裝，才能使得兩種服裝的總成本最低？最低為多少元？【思路點撥】(1)根據(jù)題意可知，本題中的相等關系是A種型號服裝12件，B種型號服裝8件，需要1880元”和A種型號服 裝9件，B種型號服裝10件，需要1810元”列方程組求解即可；(2)若設購進B種服裝m件，則購進A種服裝的數(shù)量是34-m,列出不等式解答即可；(3)設服裝店購進B種服裝m件列出函數(shù)解析式，結合最值解答即可.【答案與解析】解(1)設A服裝進價為x元，B服裝進價為y元由題意得:解得：x=90,y=100,答：A服裝進價為90元，B服裝進價為100元；(2)設

15、服裝店購進B種服裝m件由題意得：18X(34-m)+30m為06答：服裝店購進B種服裝至少25件；(3) 設服裝店購進B種服裝m件兩種服裝的總成本為w元.由題意得:w100m+90(34-m)=10m,因為w隨著m的增大而增大，所以當m取最小值即25時，w最小為3310,答：服裝店購進A種9件B種25件服裝，才能使得兩種服裝的總成本最低，最低為3310元.【總結升華】本題考查了二元一次方程組和不等式的應用，利用二元一次方程組求解的應用題一般情況下題中要給出2個等量關系，準確的找到等量關系并用方程組表示出來是解題的關鍵象這種利用不等式解決方案設計問題時，往往是 在解不等式的解后，再利用實際問題中的正整數(shù)解，且這些正整數(shù)解的個數(shù)就是可行的方案個數(shù).舉一反三:【變式】某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件已 知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克，乙種原料3千克；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克， 乙種原料10千克.(1)據(jù)現(xiàn)有條件安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案，請你設計出來.(2)若甲種原料每千克80元，乙種原料每千克120元，怎樣設計成本最低. 30./ x