八年級(jí)同步第12講：一元二次方程章節(jié)復(fù)習(xí)

1、第12講一元二次方程復(fù)習(xí)知識(shí)框架一元二次方程是初中數(shù)學(xué)計(jì)算的一個(gè)重要工具，一元二次方程思想也是初中數(shù)學(xué)中重要的解題思想，它與初三所學(xué)的二次函數(shù)有著密切的關(guān)系，同時(shí)在有求未知數(shù)的題目中，經(jīng)常運(yùn)用方程思想求解，這就要求同學(xué)們一定要把現(xiàn)在的一元二次方程基礎(chǔ)夯實(shí)，為以后的綜合學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).1. 一元二次方程的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.2. 一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 bx c 0 a 0 ,其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)， b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).3. 一元二次方程的解法2解法1：直接開(kāi)平萬(wàn)法： 適合類(lèi)型：x a b,

2、當(dāng)b 0時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解.解法2：因式分解法：(1)將方程右邊化為0;(2)將方程左邊的二次三項(xiàng)式分解為兩個(gè)一元一次方程；(3)令每一個(gè)因式分別為 0,得到兩個(gè)一元一次方程；(4)分別解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.解法3:配方法：(1)先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以二次項(xiàng)的系數(shù)；(2)移項(xiàng)：把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；2(3)配萬(wàn)：萬(wàn)程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平萬(wàn)，把萬(wàn)程化為x m n的形式;(4)當(dāng)n 0時(shí)，用直接開(kāi)平方法解變形后的方程.解法4:公式法:(1)把方程化為一般形式，進(jìn)而確定a, b, c的值.(注意符號(hào))(2)求出b2 4ac的值.(先判別方程是否有根)(3

3、)在b2 4ac 0的前提下，把a(bǔ) , b , c的值代入求根公式，求出方程的根.224.兀二次方程ax bx c 0 a 0的根的判別式是b 4ac .當(dāng) 0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根x2b .b2 4ac2a 包；當(dāng)0時(shí), 2abb2 4acx22a;當(dāng) 0時(shí)，方程有方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.5.韋達(dá)定理: 法得：如果 x二次方程ax2bx c 0 (a0)的兩個(gè)根，由求根公式這是x1b b2 4ac2ax2次方程根與系數(shù)的關(guān)系b b 4ac;則 x1 x22a6. 二次三項(xiàng)式的因式分解：（1）形如ax2 bx c （a, b, c都不為0）的多項(xiàng)式稱(chēng)為二次三項(xiàng)式；（2）當(dāng)b(C

4、) 200 1 2a% 4ac 0 ,先用公式法求出方程ax2 bx c 0 a 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根Xi ,x2,再寫(xiě)出分解式ax2bx c a xxixx2；當(dāng)b2 4ac 0 ,方程ax2 bx c 0 a 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，ax2 bx c在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式.7. 一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用問(wèn)題的步驟和解法與前面講過(guò)的列方程解應(yīng)用題的方法步驟相同，但在解題中心須注意所求出的方程的解一定要使實(shí)際問(wèn)題有意義，凡不滿足實(shí)際問(wèn)題的解（雖然是原方程的解）一定要舍去.列一元一次方程解應(yīng)用題的步驟：審題；設(shè)未知數(shù)；找等量關(guān)系； 列方程；解方程；寫(xiě)答句.12.1課堂檢測(cè)51.、選擇題若方程ax

5、2 bx c(a 0)中，a,b,c 滿足 a b c 0 和 a b c0 ,則方程的根是2.3.( )(A) 1,0；(B)1,0(C) 1, 1；（D）無(wú)法確定.已知關(guān)于x的方程(k 2)x0有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根，則k的值是（(A) 2;某商品原價(jià)200元,、2(A) 200 1 a%(B)10 ；(C) 2 或 10 ;(D) 2V5.連續(xù)兩次降價(jià)a%后售價(jià)為148元，下列所列方程正確的是 （148 ；2(B) 200 1 a% 148；2(D) 200 1 a2% 148.4.某班同學(xué)畢業(yè)時(shí)都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念,全班共送1035 張5.6.照片,(A)(C)如

6、果如果全班有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為（x x 11035;x x 11035;2二次方程 x 3x 2( )(A) 3,2;若關(guān)于x的(B)(D)(B)2次方程x2kx的兩個(gè)根為X、x2 ,24k(C)2x x 1那么x11, 1；1035 2;1035 .0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是(D)3,2 .X , x2，且滿足(A)1或 3 ；4(B)1 ；(C)多；4(D)2如果xP x2是萬(wàn)程x3x 111 ,0的兩個(gè)根，那么的值等于（Kx2)(A)3;(B)3；(C)；3(D)k的值為（x1 gx2 .則)不存在.7.Xx218. 對(duì)于任意實(shí)數(shù) m,關(guān)于x的方程(m2 1)x2 2mx (m2

7、4) 0一定()(A)有兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根；(B)有兩個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)根；(C)有一個(gè)正實(shí)數(shù)根、一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根；(D)沒(méi)有實(shí)數(shù)根.9. 關(guān)于 x 的方程x2 px q 0 的兩根同為負(fù)數(shù)，則( )(A)p0 且 q0;(B) p0Hq0;( C) p 0 ；( D) p 0 且 q 0 二、填空10. 已知關(guān)于 x 的一元二次方程a 1 x2 x a2 1=0 的一個(gè)根是0 ， 那么 a 的值為 11. 當(dāng) t 時(shí)，關(guān)于 x 的方程x2 3x t 0 可用公式法求解12. 若一元二次方程k(x2 2x 1) 2x2 x 0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 .13. 若 (a b)(a b 2) 8 ，則 a b

8、 =14. 已知2x2 3x 1 的值是 10 ，則代數(shù)式4x2 6x 1 的值是 15. 如果 x2 2 m 1 x m2 5是一個(gè)完全平方式，則 m 216. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解： x 4x 7 17. 某食品連續(xù)兩次漲價(jià) 10% 后價(jià)格是a 元 ,那么原價(jià)是 18. 長(zhǎng)方形鐵片四角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為5cm 的正方形, 而后折起來(lái)做一個(gè)沒(méi)蓋的盒子， 鐵片的長(zhǎng)是寬的2倍,作成的盒子容積為1.5立方分米 , 則鐵片的長(zhǎng)等于，寬等于22219. 已知一元二次方程x 3x 5 0 的兩根分別為x1、 x2 ，那么x1x2 的值為 23220. 已知 x2 x 1 0 ，則 x3 2x2 2009

9、的值為 三、解答21. 解方程： x 1 x 2 x 3 x 4120 22. 求證：不論k為何值，關(guān)于x的方程x2 (2k 1)x k 3 0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.23.關(guān)于x的一元二次方程(m 1)x2 2x 3 0(1)當(dāng)m取何值時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)m取何值時(shí)，此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)當(dāng)m取何值時(shí)，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.一一 、一 2 . .24.已知關(guān)于x的一兀二次萬(wàn)程x 2x a 1 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，試判斷關(guān)于 程x2 ax a 1根的情況，并說(shuō)明理由.x的一元二次方.一.222232.2 25.已知 m, n 為實(shí)數(shù)，且（m n ）（m n 1） 20 ,

10、mn 一，求（m n）及（m n）的值. 226.說(shuō)明：不論x取何值，代數(shù)式x2 5x x2 5x 7的值最?。孔钚∈嵌嗌?？7的值總大于0,再求出當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式1127.據(jù)報(bào)道，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%,大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長(zhǎng)率相同，要使2008年的利用率提高到60%,求每年的增長(zhǎng)率.（取,2 1.41）28.品牌的香煙每條的市場(chǎng)價(jià)格為70元，不加收附加稅時(shí)，每年產(chǎn)銷(xiāo)100萬(wàn)條,若國(guó)家征收附加稅,每銷(xiāo)售100元征稅x元（叫做稅率x%）,則每年的產(chǎn)銷(xiāo)量將減少 10x萬(wàn)條.要使每年

11、對(duì)此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)所收取附加稅金為168萬(wàn)元，并使香煙的產(chǎn)銷(xiāo)量得到宏觀控制，年產(chǎn)銷(xiāo)量不超過(guò)50萬(wàn)條，問(wèn)稅率應(yīng)確定為多少？29.某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為 30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出 600個(gè).調(diào)查表明：這種 臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷(xiāo)售量就將減少10個(gè).為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷(xiāo)售利 潤(rùn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)？30.機(jī)械加工需要用油進(jìn)行潤(rùn)滑以減少摩擦，某企業(yè)加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量為90千克，用油的重復(fù)利用率為 60%,按此計(jì)算，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量為36千克.為了建設(shè)節(jié)約型社會(huì)，減少油耗，該企業(yè)的甲、乙兩個(gè)車(chē)間都組織了人員為減少實(shí)際耗油量進(jìn)行攻關(guān).

12、(1)甲車(chē)間通過(guò)技術(shù)革新后，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑油用油量下降到70千克，用油的重復(fù)利用率仍然為 60%.問(wèn)甲車(chē)間技術(shù)革新后，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量 是多少千克？(2)乙車(chē)間通過(guò)技術(shù)革新后，不僅降低了潤(rùn)滑用油量，同時(shí)也提高了用油的重復(fù)利用率，并且發(fā)現(xiàn)在技術(shù)革新的基礎(chǔ)上，潤(rùn)滑用油量每減少1千克，用油量的重復(fù)利用率將增加1.6%.這樣乙車(chē)間加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備的實(shí)際耗油量下降到12千克.問(wèn)乙車(chē)間技術(shù)革新后，加工一臺(tái)大型機(jī)械設(shè)備潤(rùn)滑用油量是多少千克？用油的重復(fù)利用率是多少？12.2課后作業(yè)1 .用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?2.、2 一(3) x(x 1) 9x ；(1) 2(x 1)2 3

13、(x 1)(2 x) 2(x 2)2 0；(2) (x2 3x 4)(x2 3x 5) 6 ；(4) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 20 .2. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（ 1） x2 3x 1 ；222) 3x 4xy 2y ；423) x x 6 ；224) 2x y 4xy 3 223 .已知關(guān)于x的方程x （2k 3）x k 1 0 ,求當(dāng)k為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根.4 . 試證明關(guān)于x的方程（a2 8a 20）x2 2ax 1 0 ,無(wú)論a取何值，該方程都是一元二次方程？ 一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，長(zhǎng)靠墻14m,其它三邊用籬笆圍成，現(xiàn)有 35m長(zhǎng)的籬笆，小王打算用它圍成一個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)，其中長(zhǎng)比寬多5m,小趙也打算圍成一個(gè)雞場(chǎng)，其中長(zhǎng)比寬多2m,你認(rèn)為誰(shuí)的設(shè)計(jì)合理，雞場(chǎng)面積是多少？6. 某科技公司研制成功一種新產(chǎn)口， 決定要銀行貸款 200 萬(wàn)元資金， 用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品 簽定的合同上約定兩年到期時(shí)一次性還本付息，利息為本金的 8% 該產(chǎn)口投放市場(chǎng)后，由于產(chǎn)銷(xiāo)對(duì)路，使公司在兩年到期時(shí)除還清貸款的本金和利息外，還盈余72萬(wàn)元若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長(zhǎng)的面分?jǐn)?shù)相同，試求這個(gè)百分?jǐn)?shù)7. 某商場(chǎng)在 “五一節(jié) ” 的假日里實(shí)行讓利銷(xiāo)售， 全部商品一律按九銷(xiāo)售， 這樣每天所獲得的利潤(rùn)恰是銷(xiāo)售收入的20% ，如果第一天的銷(xiāo)售收入4 萬(wàn)元，