多元函數(shù)積分的計算方法技巧

1、第 10 章 多元函數(shù)積分的計算方法與技巧一、二重積分的計算法1、利用直角坐標計算二重積分假定積分區(qū)域 D 可用不等式 a x b 1(x) y 2(x) 表 示,其中 1(x), 2(x)在a,b上連續(xù) .這個先對 y, 后對 x的二次積分也常記作b 2(x)f(x,y)d dx f ( x, y)dyD a 1(x)如果積分區(qū)域 D 可以用下述不等式c y d , 1(y) x2(y)2(y) f(x,y)dx (2)1(y)表示, 且函數(shù) 1(y), 2(y)在c,d上連續(xù) , f(x,y)在 D上連 續(xù), 則d 2(y)f(x,y)d f(x,y)dx dy D c 1(y)顯然,(2

2、) 式是先對 x, 后對 y的二次積分 . 積分限的確定幾何法.畫出積分區(qū)域 D的圖形 (假設(shè)的圖形如下 )在a, b上任取一點 x, 過 x作平行于 y軸的直線 , 該直線穿 過區(qū)域 D, 與區(qū)域 D 的邊界有兩個交點 (x, 1(x)與(x, 2(x), 這里的 1(x)、 2(x)就是將 x ,看作常數(shù)而對 y積分時的下限和 上限；又因 x是在區(qū)間 a , b上任意取的 , 所以再將 x看作變 量而對 x 積分時 , 積分的下限為 a 、上限為 b .例1計算 Dxyd , 其中 D是由拋物線 y2 x及直線 y x 2 所圍成的區(qū)域 .y22 1x2y y 2dy1 2x2y y2 d

3、y 1yy5 dy 4582D: 1 y 2, y x2 y 2 xyd dy xydx D 1 y21 2 2 y(y 2)2212. 利用極坐標計算二重積分1、rdrd 就是極坐標中的面積元素f (r cos ,r sin )rdrdx rcos y rsin dxdy rdrd2、極坐標系中的二重積分 , 可以化歸為二次積分來計算 .1( ) r 2( ) 其中函數(shù) 1( ), 2( )在 , 上連續(xù) .2( )則f (r cos ,r sin )rdrd d f(rcos,rsin )rdrD1( )注: 本題不能利用直角坐標下二重積分計算法來求其精確 值.3、使用極坐標變換計算二重積

4、分的原則 (1) 、積分區(qū)域的邊界曲線易于用極坐標方程表示 ( 含圓弧 , 直線段 ) ；(2) 、 被 積 函 數(shù) 表 示 式 用 極 坐 標 變 量 表 示 較 簡 單 ( 含 (x2 y2) , 為實數(shù) ).a a a2 x2 例 6 計算 I dx0xdyx2 y2 4a2 (x2 y2)(a 0)解此積分區(qū)域為D : 0 x a , x y a a2 x2 該區(qū)域在極坐標下的表示形式為D: 4 0 , 0 r 2asinI rdrdD r 4a2 r20 2asin ddr22 r2arcsin2asin r2a 00( )d12232二、三重積分的計算1、積分區(qū)域 可表示成a x

5、b , y1(x) y y2(x) , z1(x,y) z z2(x,y)b y2(x) z2(x,y)則f (x, y, z)dv dx dy f(x,y,z)dza y1(x) z1(x,y)這就是三重積分的計算公式 , 它將三重積分化成先對積分變量 z, 次對 y, 最后對 x的三次積分 例 1 計算 xyzdxdydz, 其中 為球面 x2 y2 z2 1及三坐 標面所圍成的位于第一卦限的立體 .解 在 xoy 面 上 的 投 影 區(qū) 域 為 22Dxy: x2 y2 1,x 0, y 0 確定另一積分變量的變化范圍0 z 1 x2 y2選擇一種次序 , 化三重積分為三次積分xyzd

6、xdydz11 x2 1 x 2 y2dx dy xyzdz00011 x2 1x2 y2 )dydxxy(10 0 211x211 31 3dx ( xyx3 yxy3)dy02220 14xy1 x2dx1 3 2 1 4 x3 y2xy44 8 01104210421sin t cos041 2 11 2 1 3 2x(1 x2)x3(1 x2 )1x(1822x2)2 dxsin tcos2 tsin3tcos2t sin tcos4 t cos tdt421 dtsin3 t cos3 tdt042 2 1 4 22 1 5 sin t cos5 tdt 086 4 2 8 6 4 22、利用柱面坐標計算三重積分x r cos 點 M 的直角坐標與柱面坐標之間有關(guān)系式 y rsin zz體積為 dv rdrd dz 這便是柱面坐標系下的體積元素 , 并注意到 (1) 式有 f (x, y,z)dvf (r cos ,r sin , z)rdrd dz3、利用球坐標計算三重積分 直角坐標與球面坐標間的關(guān)系為 x r sin cos y