第八章截面的幾何性質(zhì)

1、第八章第八章 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)8-1 8-1 重心與形心重心與形心8-2 8-2 靜矩靜矩8-3 8-3 慣性矩、極慣性矩、慣性積及慣性半徑慣性矩、極慣性矩、慣性積及慣性半徑8-4 8-4 形心主慣性軸和主慣性矩的概念形心主慣性軸和主慣性矩的概念 8-1 8-1 重心與形心重心與形心平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)物體重力的作用線始終通過一個確定的點，物體重力的作用線始終通過一個確定的點，這個點就是物體重力的作用點這個點就是物體重力的作用點, , 稱為稱為物體的物體的重心重心 。 重心的概念重心的概念 GxGxiicGyGyiicGzGziic 1.一般物體重心的坐標公

2、式一般物體重心的坐標公式 2. 2.均質(zhì)物體重心的坐標公式均質(zhì)物體重心的坐標公式VG iiVG表示單位體積的重力，表示單位體積的重力，為體積，則為體積，則ciiV xxV ciiV yyV ciiV zzV 均質(zhì)物體的均質(zhì)物體的重心重心就是其就是其幾何中心幾何中心，稱為，稱為形心。形心。對均質(zhì)物體來說對均質(zhì)物體來說重心重心和和形心是重合的。形心是重合的。 8-1 8-1 重心與形心重心與形心 CzydAzCzyCyO 3. 3.均質(zhì)均質(zhì)薄板薄板重心重心（形心）（形心）的坐標公式的坐標公式 8-1 8-1 重心與形心重心與形心AyAyiicAzAziicl簡單圖形的形心坐標簡單圖形的形心坐標l組

3、合平面圖形的形心坐標組合平面圖形的形心坐標 分割法分割法 負面積法負面積法 4. 4. 平面圖形的形心計算平面圖形的形心計算 8-1 8-1 重心與形心重心與形心利用對稱法利用對稱法 1122c12iiAyA yA yyAAA c0z 【例【例8-1】 試求圖示試求圖示T形截面的形心坐標。形截面的形心坐標?！窘狻俊窘狻繉⑵矫鎴D形分割為兩個矩形，每個矩形的面將平面圖形分割為兩個矩形，每個矩形的面 積及形心坐標為積及形心坐標為 502001A01z1501y502002A02z252y 200 50 150200 50 25200 50200 5087.5 mm A1A2C1C2C21RA01z1

4、0y 22rA22Rz 02y0cy1 122c12iiA zA zA zzAAA 【解】將平面圖形分割為兩個圓【解】將平面圖形分割為兩個圓, ,每個圓的面積及形每個圓的面積及形 心坐標為心坐標為 【例【例8-2】 試求圖示陰影部分平面圖形的形心坐標試求圖示陰影部分平面圖形的形心坐標.陰影部分平面圖形的形心坐標為陰影部分平面圖形的形心坐標為2222222022()RRrr RRrRr 解：將此圖形分別為解：將此圖形分別為I、II、III三部分，以三部分，以 圖形的鉛垂對稱軸為圖形的鉛垂對稱軸為y軸，過軸，過II、 III的的 形心且與形心且與y軸垂直的軸線取為軸垂直的軸線取為z軸軸 ，則，則【

5、例【例8-3】求圖示圖形的形心】求圖示圖形的形心.150yCzOz1y120010yC300IIIIII10iii(200 10) (5150)2 (10 300) 0200 102 (10 300)38.8mmCCA yyA 由于對稱知：由于對稱知： zC=0 8-1 8-1 重心與形心重心與形心zyc 1.靜矩定義靜矩定義zAyASydASzdA zCyCSyASzA 8-2 8-2 靜靜 矩矩平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)單位：單位：m3或或mm3靜矩為代數(shù)量，可為靜矩為代數(shù)量，可為正正負負零零zcycSA ySA z CzydAzCzyCyOA靜矩與形靜矩與形心的關系心的關系2.

6、簡單圖形的靜矩簡單圖形的靜矩 當坐標軸通過平面圖形的形當坐標軸通過平面圖形的形心時，其靜矩為零；反之，圖形心時，其靜矩為零；反之，圖形對某軸的靜矩為零，則該軸一定對某軸的靜矩為零，則該軸一定通過圖形的形心。通過圖形的形心。zyiciiciSAzSAz 3.組合平面圖形靜矩與形心組合平面圖形靜矩與形心 組合圖形對某軸的靜矩等組合圖形對某軸的靜矩等于各簡單圖形對同一軸靜于各簡單圖形對同一軸靜矩的代數(shù)和。矩的代數(shù)和。zyc 8-2 8-2 靜靜 矩矩ziCiCiiyiCiCiiSA yyAASA zzAA 331mm 105 .1327050A332mm 109030300A36332211mm 1

7、02.36 1510901651013.5 ccciizyAyAyAS yc1=165 mm ， yc2=15 mm【例【例8-4】 計算圖示計算圖示T形截面對形截面對Z軸的靜矩。軸的靜矩。 【解】將【解】將T形截面分為兩個矩形，其面積分別為形截面分為兩個矩形，其面積分別為截面對截面對Z軸的靜矩軸的靜矩8-3 8-3 極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑zydAzyr rOA1.極慣性矩極慣性矩2.慣性矩慣性矩22zAyAIy dAIz dA ApdAI2r為圖形對一點的為圖形對一點的極慣性矩極慣性矩；3.慣性積慣性積為圖形對為圖形對z、y一對正交軸的一對正交軸

8、的慣性積；慣性積；zyAIzydA 分別為圖形對分別為圖形對z、y軸的軸的慣性矩；慣性矩；說明說明：慣性矩與極慣性矩的關系：慣性矩與極慣性矩的關系：222pyzAAIdA( zy )dA IIr r 一、定義一、定義 慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣性積有正、負、零，慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣性積有正、負、零， 單位：單位：m4、cm4、mm4； 若圖形有一個對稱軸，則圖形對包含此對稱軸的一對正若圖形有一個對稱軸，則圖形對包含此對稱軸的一對正交軸的慣性積為交軸的慣性積為零零；8-3 8-3 極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑AiIAiIy2y2zzAIiAIiy

9、yzz 4慣性半徑慣性半徑或單位為單位為m或或mm。說明說明：型鋼的慣性矩可直接由型鋼表查得。型鋼的慣性矩可直接由型鋼表查得。123zbhI 123hbIy矩形矩形 644zDIIy圓形圓形64)(44zdDIIy環(huán)形環(huán)形5簡單圖形對形心軸的慣性矩簡單圖形對形心軸的慣性矩8-3 8-3 極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑b/2b/2yh/2h/2CzzycDzycDd2zzc2cyyIIa AIIb A 1慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式8-3 8-3 極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑OzyCdAzCyCabyzzC

10、yCA b和和a是圖形的形心是圖形的形心C在在Ozy坐標系中的坐標，所以它們是坐標系中的坐標，所以它們是 有正負的。有正負的。 zC、yC軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對形心軸軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對形心軸 的慣性矩最??；的慣性矩最??；注意：注意：二、平行移軸公式及組合截面慣性矩的計算二、平行移軸公式及組合截面慣性矩的計算8-3 8-3 極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑極慣性矩、慣性矩、慣性積及慣性半徑2zzc2cyyIIa AIIb A 1慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式二、平行移軸公式及組合截面慣性矩的計算二、平行移軸公式及組合截面慣性矩的計算 組合圖形對某軸的慣

11、性組合圖形對某軸的慣性矩，等于組成組合圖形的矩，等于組成組合圖形的各簡單圖形對同一軸的慣各簡單圖形對同一軸的慣性矩之和。性矩之和。530530zy2c2c()()zziz iiiyyiy iiiIIIa AIIIa A 2組合圖形的慣性矩組合圖形的慣性矩cc3017085200301853017020030139 mmiiiA yyA 【解】【解】（1）求截面相對底邊的形心坐標）求截面相對底邊的形心坐標（2）求截面對形心軸的慣性矩）求截面對形心軸的慣性矩2cz c332264()30 17020030 30 170 5420030 461212 40.3 10 mmziiiIIa A 【例【例

12、8-5】 計算圖示計算圖示T形截面對形心形截面對形心z軸的慣性矩軸的慣性矩Izc 200yczcC3017030IIIzz2z1c2yc1y【解解】組合截面形心組合截面形心C 在兩對稱軸的交點。由型鋼表查得在兩對稱軸的交點。由型鋼表查得 每根槽鋼的形心每根槽鋼的形心C1或或C2到腹板邊緣的距離為到腹板邊緣的距離為19.5 mm , 每根槽鋼截面積為每根槽鋼截面積為: 32123 283 10 mmAA. 【例【例8-6】 試計算圖示由兩根試計算圖示由兩根20槽鋼組成的截面槽鋼組成的截面 對形心軸對形心軸z、y 的慣性矩。的慣性矩。641z2z19 137 10 mmII. 1264121 43

13、6 10 mmyyII. 每根槽鋼對本身形心軸的慣性矩為每根槽鋼對本身形心軸的慣性矩為: 66641z2z19137 1019137 10383 10 mmzIII. 1212111623642250 21 4361019 53 283102 15.8710 mmyyyyyIIII( IaA ).(.). 【例【例8-6】32123 283 10 mmAA. 641z2z19 137 10 mmII. 1264121 436 10 mmyyII. 【解】【解】形心形心主慣性矩主慣性矩：截面對形心主軸的慣性矩：截面對形心主軸的慣性矩主慣性軸主慣性軸(主軸主軸)：慣性積等于零的一對正交軸；慣性積等

14、于零的一對正交軸； 形心主軸形心主軸：通過截面形心的主軸。：通過截面形心的主軸。 截面的對稱軸就是形心主軸。截面的對稱軸就是形心主軸。 8-4 8-4 形心主軸和形心主慣性矩的概念形心主軸和形心主慣性矩的概念 凡通過截面形心，且包含有一根對稱軸的一對相互凡通過截面形心，且包含有一根對稱軸的一對相互垂直的坐標軸一定是形心主軸。垂直的坐標軸一定是形心主軸。 b/2b/2yh/2h/2Cz530530zy例例8 7 求圖示求圖示T型截面對形心軸的慣性矩。型截面對形心軸的慣性矩。530530303055CC2C1y221y1zC1zC2求求T形截面對形心軸的慣性矩形截面對形心軸的慣性矩先求形心的位置：

15、先求形心的位置：取參考坐標系如圖，則：取參考坐標系如圖，則： iiiCCAyAy0zmm75.23AAyAyA212211 即截面的形心軸。即截面的形心軸。、CCzy再求截面對形心軸的慣性矩：再求截面對形心軸的慣性矩：433ymm115601230512530IC 12122211222241122()()() ()34530mmCCCCCzzzzCzCIIa AIa AIyyAIyyA 由由平平行行移移軸軸定定理理得得：yCzyCzC例例8-7 解解：平行：平行z軸取一窄長條，其面積為軸取一窄長條，其面積為dA=bdy，則，則3222212h/zAh/bhIy d Ay (bd y ) 123hbIy又因為又因為x、y軸皆為對稱軸，故軸皆為對稱軸，故Izy=0。同理可得同理可得例例8 8 求圖示矩形對通過其形心且與邊求圖示矩形對通過其形心且與邊 平行的平行的z、y軸的慣性矩軸的慣性矩Iz、Iy和慣性積和慣性積Izy。dyb/2b/2yyh/2h/2CdAz 由于圓形對任意直徑軸都是對稱的，故由于圓形對任意直徑軸都是對稱的，故Ix=Iy注意到注意到I=Iz+Iy