同濟(jì)六版上冊(cè)高數(shù)總結(jié)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載同濟(jì)六版上冊(cè)高數(shù)微分公式與積分公式(tgx) = sec x(ctgx)二-esc2x(secx) = seex tgx (cscx) = -esex etgx (ax): =ax Ina1(log a x)xl na(arcsin x) =1 2- x2(areeos x)=-(aretgx)二(areetgx)1211 x2Jtgxdx = In cosx +CJctgxdx = In sin x +Csecxdx 二 In seex tgx| - C cscxdx 二 In cscx -ctgx| “C2= see xdx = tgx C cos x二 esc2 xdx

2、 二-etgx C sin x seex tgxdx =secx Cdxa2x21xaretg C aadxx2 -a22aesex ctgxdx 二-esex C:axdx - C In ashxdx 二 ehx Cdx2 2 a -x丄In2a a xchxdx 二 shx Cdx，r22a -x=arcsin x C=ln(x . x2 一a2) C22I n 二 sinn xdx 二 eosn00, , 2 (XdxrUln/nJx2 +a2dx = Jx2 +a2 + In(x + f x2 + a2) + C 2 2( 2 1 Jx2 -a2dx = s；x2 - a2 In x

3、f2 - a2 +C 2 2i 2i-廠2x . 22 亠 a . x . a 一 x dx = a - x ares in C22a三角函數(shù)的有理式積分:2u =tg,22u1 -usin x 2, cosx =1 +u兩個(gè)重要極限:公式 2lim (1 x)1/x =esin x .公式1 lim1xTx有關(guān)三角函數(shù)的常用公式和差角公式:和差化積公式:tg(、；二 l：,) 口 -“1 hga tgPry ctg a ctg B 刁 1 ctg(J；H廠ctg L 二 ctg 二sin(、：二 I) =sin ： cos I-二cos： sin -cos(用二 l：,)二cos： cosL

4、 二sin ： sin :tg ：二 tg :Ra +P a - Psi n t si n - - 2 si ncos2 2.r o +P . a -Psin： -sin - - 2cos sin 2 2R a + P a -P cost cos ： =2 cos cos2 2a +P . a -Pcos.；-cos = 2sinsin2 2半角公式:三倍角公式：sin(3 a )=3sir-4&i門八3( a )sin( a /21-cos a )/2cos(3 a )=4COSA3( -3COS aCOS( a /2)=0+COS a )/2降幕公式:萬能公式:sinA2( a )=(co

5、s(2 a )/2=versin(2a )/2 sin a =2tan( a /2)/1+ta門八2(a /2)cosA2( a )=(1+cos(2 a )/2二COVers(2acos a 二1ta門八2( a /2)/1+ta門八2(a/2)tanA2( a )=-1os(2 a )/(1+cos(2a ) tan a =2tan( a /2n八2( a /2)推導(dǎo)公式tan a +cot a =2/sin2ata n a cota =cot2 a 1+cos2 a =2COSA2 a1-cos2 a =2sinA2 a1+sin a=(sin a /2+cos a /2)A2正弦定理：

6、 b C2Rsin A sin B sin Cjiarctgx arcctgx 二余弦定理：c2 =a2，b2-2abcosC反三角函數(shù)性質(zhì) :arcsin x + arccos x =二2(特別要注意這兩個(gè)恒等式，證明的話，只需做出左邊的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0即可)高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲(Leibniz )公式：n(n)k (n “)(k)(uv)Cnuvk=0(n)(nJ) . n(n -1) 2).n(n -1)(n-k 1)(心)=u v nu vu vu v _- uv2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f (b) f(a) = f)(b-a)柯西中值定理：丄辺血 4F(b)-F(a

7、) F 徉)當(dāng)F(x) =x時(shí)，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率：弧微分公式：ds=1 + y2dx,其中y=tga平均曲率：K二：從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線斜率的傾角變 化量；.is： MM弧長(zhǎng)。M點(diǎn)的曲率：K =lim = Asd :dsy|J(1 +y2)3直線：K =0;定積分的近似計(jì)算:bf(x)ab.f(x)a:(y。y1 L ynj) n:口(y。yn)% l 齊門n 2定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：W =F s 水壓力：F = pA引力：F二為引力系數(shù)r均方根：函數(shù)的平均值:bf (x)dxa微分方程的相關(guān)概念:一階微分方程：y=f(x, y) 或 P(x, y)dx+Q(x, y)d

8、y = 0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy = f(x)dx的形式，解法：g(y)dy= f (x)dx 得：G(y)二 F(x) C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫成 也=f (x, y)二(x, y)，即寫成的函數(shù)，解法：dxx設(shè)u =，貝U=u x, 口史= (u), 魚du 分離變量，積分后將 代替u,x dxdx dxX 護(hù)(u)-ux即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、 一階線性微分方程：- P(x)y =Q(x)dx.當(dāng)Q(x)=0時(shí),為齊次方程，y =CeP(x) dx- P(x) dx當(dāng)Q(x)=0時(shí)，為非齊次萬程，y=(.Q(x)e，

9、 dx C)e2、 貝努力方程： P(x)y=Q(x)yn,(n=0,1)dx全微分方程：如果P(x, y)dx Q(x, y)d0中左端是某函數(shù)的全微 分方程，即：u?udu(x, y) =P(x, y)dx Q(x, y)dy =0,其中：-P(x, y),Q(x, y)excy u(x, y)=C應(yīng)該是該全微分方程的 通解。二階微分方程：d2y dx2P(x)dy Q(x)y =f(x), dxf (x) = 0時(shí)為齊次f (x) 0時(shí)為非齊次二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) y py qy =0,其中p,q為常數(shù)；求解步驟：1寫出特征方程：(r2 prq=0,其中r2, r的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中y”,y,y的系數(shù);2、求出(厶)式的兩個(gè)根gr3、根據(jù)r,r2的不同情況，按下表寫 出(*)式的通解：ri， r2的形式(*)式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根(p24q：0)hx 丄exy = ce +c2e兩個(gè)相等實(shí)根(p24q=0)y = (c +c2X)er1x一對(duì)共軛復(fù)根(p24