ch5(大字)二次型

1、 第五章 二次型本章利用矩陣工具來研究一般的二次齊次多項(xiàng)式，即二次型的問題。主要討論實(shí)二次型化為只含平方項(xiàng)的二次型的方法和一種重要的二次型正定二次型以及與之相應(yīng)的正定矩陣。 第一節(jié) 二次型及其矩陣表示一、二次型的概念定義5.1含n個(gè)變量的二次齊次函數(shù)稱為二次型 取，則 于是（5-1）式可寫成 （5-2）當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí)，f稱為復(fù)二次型；當(dāng) 為實(shí)數(shù)時(shí)，f稱為實(shí)二次型。下面，我們僅討論實(shí)二次型。由（5-2），利用矩陣，二次型可表示為，記A=，x=，則二次型可記作 （5-3）其中A為對(duì)稱矩陣，稱A為二次型的矩陣。稱r（A）為二次型的秩。這樣實(shí)二次型與實(shí)對(duì)稱矩陣之間就建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。例5.1 已知二次

2、型 f（x，y）=,寫出該二次型的矩陣A，并求出二次型的秩。解 設(shè)f=，則 ，x=，顯然，r（A）=2。例5.2 已知二次型寫出二次型的矩陣A，并求出二次型的秩。解 設(shè)f=，則 A=不難求出r（A）=4.定義：設(shè) x=， y=， P=， （5-5）其中P是可逆矩陣，稱x=P y為變量到變量的非退化的線性變換。如果對(duì)二次型（5-3）施行由（5-5）式確定的非退化線性變換x=P y，則 （5-6）顯然也是對(duì)稱矩陣，二次型f 關(guān)于新變量也是二次型。這可歸結(jié)為下面的定理：定理5.1 二次型=經(jīng)非退化線性變換x=P y后，仍為二次型 , 二次型的矩陣為 ，其中x ， y，P如（5-5）式所示。記關(guān)于變量

3、的二次型的矩陣為B，則兩個(gè)二次型的矩陣有下述關(guān)系： （5-7）我們稱具有這樣關(guān)系的兩個(gè)n階矩陣為合同矩陣。 二、矩陣的合同關(guān)系定義5.2 設(shè)A，B為兩個(gè)n階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使得 B=則稱矩陣A和B合同。合同反映了矩陣之間的一種關(guān)系，顯然它具有如下的性質(zhì) ：（1）自反性；（2）對(duì)稱性；（3）傳遞性。第二節(jié) 化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定義5.3 如果一個(gè)二次型只含變量的平方項(xiàng)，則稱這個(gè)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）由于實(shí)二次型的矩陣A為實(shí)對(duì)稱矩陣，由第四章定理4.7知必存在正交矩陣Q，使得，其中為對(duì)角矩陣。從而，我們只要取Q為線性變換的矩陣，令x=Q y，就可以將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。矩陣Q非奇異，因而x

4、=Q y為非退化的線性變換，由于Q是正交變換，也稱變換為正交變換。從而我們有：定理5。2 對(duì)任何實(shí)二次型，必存在非退化的線性變換x=P y，使得關(guān)于新變量的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。下面我們介紹三種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法。一、正交變換法我們已經(jīng)知道，對(duì)任一個(gè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，一定存在正交矩陣Q，使得 ，其中為A的特征值。正交變換法就是找這樣的一個(gè)正交矩陣Q，并作相應(yīng)的線性變換x=Q y，則就可以將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。下面我們通過具體的例子來說明其具體的步驟。例5.3 求一正交變換x=Q y，把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形解 （1）寫出二次型的矩陣 A= .（2）求出矩陣A所有的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，并將每一個(gè)特征值

5、對(duì)應(yīng)的特征向量正交單位化。A的特征多項(xiàng)式為| |=.A的特征值為 .對(duì)，齊次線性方程組（AE）X=0 的基礎(chǔ)解系為。先正交化，再單位化得。對(duì)于，齊次線性方程組（A+3E）X=0 的基礎(chǔ)解系為，單位化得 。（3）寫出變量的正交變換，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 令Q=，則有正交變換x=Q y使二次型化為。由于矩陣Q為正交矩陣，所以所作的線性變換為正交變換。由定理4.7可知，用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)為二次型矩陣A的特征值，即 ，是矩陣A的n個(gè)特征值.二、配方法用正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形，具有保持集合形狀不變的優(yōu)點(diǎn)。如果不限于用正交變換，那么還可以有多種方法。配方法就是其一。配方法就是初等數(shù)學(xué)

6、中的完全平方的方法。我們?nèi)酝ㄟ^例子來說明這種方法。 例5.4用配方法把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的可逆線性變換。解 由于二次型中含有變量的平方項(xiàng)，故針對(duì)某個(gè)平方項(xiàng)如，先集中含的項(xiàng)，并配方可得：。令 即 。該線性變換的變換矩陣為 C=這是一個(gè)非奇異矩陣，所以該變換是可逆線性變換，在此變換下，二次型化為下列標(biāo)準(zhǔn)形 例5.5 用配方法將例5.3中的二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所用的非退化的線性變換。解 由于二次型中沒有變量的平方項(xiàng)，故針對(duì)某個(gè)交叉乘積項(xiàng)，如，作如下的非退化的線性變換以產(chǎn)生變量的平方項(xiàng)： （5-8）則原二次型變?yōu)?=。由于新的變量的二次型中含有平方項(xiàng)，如或，并注意到，二次型中除了外無其

7、它項(xiàng)中不含變量，所以，將所有含的項(xiàng)集中并配成完全平方得：配平方后，剰余的項(xiàng)中不再含有和，但含有和的平方項(xiàng)，故可繼續(xù)使用上面的配完全平方法，將含的項(xiàng)配成完全平方：令 （5-9）則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 。由（5-9）中解出，代入（5-8），得到所作的線性變換為 （5-10） （5-8），（5-9），（5-10）中的線性變換可以用矩陣的形式表示如下：令x=， y=，z= ，C=, D=,則x=C y， y =D z ，故x=（CD）z，若記P=CD ，則 P=.不難看出，矩陣P非奇異，因而，所作的線性變換是非退化的。一般地，任意一個(gè)二次型都可以用例5.4及5.5的方法找到某一個(gè)可逆線性變換，把二次型化為

8、標(biāo)準(zhǔn)形。上面我們介紹了兩種化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，所用的非退化的線性變換不同，得到的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的形式也不同。后一種非退化線性變換的矩陣P未必是正交矩陣，所得到的標(biāo)準(zhǔn)形的平方項(xiàng)的系數(shù)也不一定是二次型矩陣的特征值。 第三節(jié) 慣性定理與正定二次型 一、實(shí)二次型的正慣性指數(shù)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是不唯一的。例：為標(biāo)準(zhǔn)形。令 ，則得另一標(biāo)準(zhǔn)形。下面我們引入規(guī)范形的概念。定義5.4 形如 的二次型標(biāo)準(zhǔn)形稱為規(guī)范形。定理：（慣性定理）對(duì)任何實(shí)二次型，必存在非退化的線性變換化二次型為規(guī)范形，一個(gè)二次型的規(guī)范形是唯一的。這個(gè)定理這里不予證明。由慣性定理可知，實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p與化二次型為標(biāo)

9、準(zhǔn)形時(shí)所用的非退化線性變換無關(guān)，它是由二次型唯一確定的。同樣，系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)r-p也是二次型唯一確定的。定義： 實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中,系數(shù)為正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)p稱為二次型的正慣性指數(shù)；系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)r-p稱為的負(fù)慣性指數(shù)。其中r為的秩。P-（r-p）=2p-r稱為的符號(hào)差。由慣性定理可得下面的結(jié)論：定理： 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A一定合同于下列對(duì)角矩陣，其中r = r（A）。二、正定二次型下面我們討論一種重要的實(shí)二次型正定二次型。定義： 設(shè)為n個(gè)變量的實(shí)二次型，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)，都有 ,則稱二次型為正定二次型。稱正定二次型的矩陣為正定矩陣。例如，實(shí)二次型為正定二次型

10、，而與就不是正定二次型了。因，。如何判斷一個(gè)二次型是否是正定二次型呢？我們有下面的定理： 定理： n個(gè)變量的實(shí)二次型為正定的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)全為正，亦即二次型的正慣性指數(shù)為n。 證明 設(shè)可逆變換使 =， 先證充分性。設(shè)。任給，則，故=>0。再證必要性。用反證法。假設(shè)有，則當(dāng)（單位坐標(biāo)向量）時(shí)，。顯然，這與為正定相矛盾。這就證明了。 由此定理可見，要判斷n個(gè)變量的實(shí)二次型=是否為正定二次型只要看它的標(biāo)準(zhǔn)形（或規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形）是否為正定二次型即可。 將上述結(jié)果應(yīng)用于正定矩陣的判別，則有下述的定理：定理：設(shè)矩陣A為實(shí)對(duì)稱矩陣，則下列的四個(gè)命題等價(jià)：（1） A為正定矩陣（2）A合

11、同于單位矩陣（3）A合同于對(duì)角元素全為正的對(duì)角矩陣（4）存在非奇異實(shí)矩陣M，使得A=MM定理：正定矩陣的行列式大于零。實(shí)際上，還常用下面的方法判定二次型的正定性。定義5。7 設(shè)為n階矩陣，稱子式 為矩陣A的k階順序主子式，。定理： n個(gè)變量的實(shí)二次型=為正定二次型的充分必要條件是A的順序主子式全大于零。這個(gè)定理稱為霍爾維茨定理，這里不予證明。例5.8 設(shè),判斷是否為正定二次型。解法一、二次型的矩陣為。計(jì)算各階順序主子式知，順序主子式都大于零，從而是正定二次型。 解法二、 由配方法得 .的正慣性指數(shù)等于3，因此，它是正定二次型。例5.9 判定二次型的正定性。解 二次型矩陣為A的順序主子式為,它們

12、全大于零。因此，二次型為正定二次型。定義5.8設(shè)為n個(gè)變量的實(shí)二次型，如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)，都有 ,則稱為 負(fù)定二次型。如果對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)，都有 ,稱為半正定（負(fù)）二次型；如果既不是半正定的，又不是半負(fù)定的二次型，則稱它為不定二次型負(fù)定二次型，半正定二次型及半負(fù)定二次型的矩陣分別稱為負(fù)定矩陣，半正定矩陣及半負(fù)定矩陣。我們可以像正定二次型（正定矩陣）那樣討論負(fù)定二次型（負(fù)定矩陣），半正定（負(fù)定）二次型（半正定（負(fù)定）矩陣）的判別方法及性質(zhì)，這里不再展開。 課外習(xí)題五1 寫出下列二次型的矩陣，并求出二次型的秩。（1）；（2）；（3）。2 求一個(gè)正交變換，把下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形。（1）；（2）3 用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所作的非退化線性變換。（1）；（2）。4 已知二次型通過正交變換x=Q y可化為標(biāo)準(zhǔn)形 ，求參數(shù)a及正交矩陣Q。5 設(shè)矩陣A與矩陣B合同，矩陣C與矩陣D合同，證明 與合同。6 判斷下列二次型是否為正定二次型。（1）；（2）；（3）。7 判斷下列矩陣是否為正定矩陣：（1） ； （2）。8 證明：二次型時(shí)的最大值為矩陣A的最大特