概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)

1、實(shí)用文案第1章 隨機(jī)事件及其概率(1)排列組合公式Pm 從m個人中挑出n個人進(jìn)行排列的可能數(shù)。(m n)!一 nm!, Cm 從m個人中挑出n個人進(jìn)行組合的可能數(shù)。n!(m n)!(2)加法和乘法原理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來完成，A種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來元成，則這件事可由 m+n 種方法來元成。乘法原理(兩個步驟分別不能完成這件事)：m xn某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由m xn種方法來完成。(3) 一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列(后序)對立事件(至少有一個)順序問題(

2、4)隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個試驗(yàn)在相同條件卜可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個， 但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試 驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。(5)基本事件、樣本 空間和事件在一個試驗(yàn)下，不管事件宿多少個， 總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用 表示。一個事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A, B, C,表木事件，

3、它們是 的子集。為必然事件，？ 為不可能事件。不可能事件（？）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理,必然事件（）的概率為 1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。關(guān)系:如果事件A的組成部分也是事件 B的組成部分，（A發(fā)生必有事件 B發(fā)生）：如果同時有 A B, B A,則稱事件 A與事件B等價，或稱A等于B：A=B 。A、B中至少有一個發(fā)生的事件：A B,或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A與B的差，記為A-B ,也（6）事件可表本為A-AB或者AB ,它表小A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。的關(guān)系與A、B同時發(fā)生：A B,或者AB。A B=?，則表示 A與B不可能同

4、時發(fā)運(yùn)算生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹?A稱為事件A的逆事件，或稱 A的對立事件，記為 A。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運(yùn)算:結(jié)合率:A(BC)=(AB)C A U(B U C)=(A U B) U C分配率:(AB) U C=(A U C)n(B UC) (AU B) AC=(AC) U (BC)德摩根率:AiAii 1i 1ABAB,ABAB（7）概率設(shè) 為樣本空間，A為事件，對每一個事件 A都有一個實(shí)數(shù)P（A）,若滿 足下列三個條件：標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案的公理化定義1 ° 0WP(A)W1,2 P(Q) =13°對于兩兩互不才目容的事

5、件A, A2,有P AiP(Ai)i 1i 1常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。(8)古典概型1 1，2n ，12 P( 1) P( 2)P( n) 一。n設(shè)任一事件A,它是由1, 2m組成的，則有P(A)= ( 1)(2)( m) = P( 1) P( 2)P( m)m A所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)(9)幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對任一事件 A,P(A) 上”。其中L為幾何度量(長度、面積、體積) 。 L()(10 )加法公式P(A+B)=P(

6、A)+P(B)-P(AB)當(dāng) P(AB)=0 時，P(A+B)=P(A)+P(B)(11 )減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng) B A 時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng) A= 時,P( B )=1- P(B)(12 )條件概率定義設(shè)A、B是兩個事件，且 P(A)>0 ,則稱 ()為事件A發(fā)生條件下，P(A)事件B發(fā)生的條件概率，記為 P(B/A) P(AB)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P( Q/B)=1P( B /A)=1-P(B/A)標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案(13 )乘法公式乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，對事件 A

7、1 , A2,An,若P(A1A2An-1 )>0 ,則有P(A1A2 An)P(A1)P(A2 | A1)P(A3| A1A2)P(An | A1A2 .An 1) / O(14 )獨(dú)立性兩個事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB) P(A)P(B),則稱事件A、B是相互獨(dú)立的。若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A) °,則有P(B|A)迫 P(A)P(B) P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到 人與B、A與B、區(qū)與后也都相互獨(dú) 立。必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。多個事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)

8、=P(A)P(B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對于n個事件類似。(15 )全概公式設(shè)事件B1,B2,Bn滿足1 B1, B2,相容，P(Bi) 0(i 1,2, ,n),nABi2i 1,則有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A | Bn)。(16 )貝葉斯公式設(shè)事件B1, B2,，Bn及A滿足1 ° B1 , B2,，Bn 兩兩互/、相容,P(Bi)>0, i 1, 2,，n ,nABi2i 1P(A) 0則標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)

9、用文案P(BJA)即1,2,。P(Bj)P(A/Bj) j i 此公式即為貝葉斯公式。P(BJ,(i 1 , 2,，n),通常叫先驗(yàn)概率。P(Bi/A),(i 1,2, n),通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了 “因果”的概率規(guī)律，并作出了 “由果朔因”的推斷。(17 )伯努禾IJ概型我們作了門次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只用兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；門次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即 A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn) A發(fā)生與否是互耳、影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為門重伯努利試驗(yàn)。用p表示每次試驗(yàn)a發(fā)生的概率，則a發(fā)生的概率為1 p q,用”張)表示n

10、重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)k(0 k n)次的概率，c 八 k k n k-Pn(k) Cn p q , k 0,1,2, ,no第二章隨機(jī)變量及其分布(1)離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的可能取值為 Xk(k=1,2,)且取各個值的概率，即事 件(X=X k)的概率為P(X=X k)=p k , k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：X| X1,x2,xk,P(X Xk) p1, p2, , pk,O顯然分布律應(yīng)滿足卜列條件：pk 1(1) pk 0 , k 1,2,(2) k1。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案(2)連續(xù)型隨機(jī)變 量的分布 密度設(shè)F(x

11、)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x),對任意實(shí)數(shù)x,有 xF(x)f(x)dx則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f (x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有卜面4個性質(zhì)：1 f(x)。f(x)dx 12 o(3)離散與連續(xù)型 隨機(jī)變量 的關(guān)系P(X x) P(x X x dx) f (x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X xk) pk在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案(4)分布設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)函數(shù)F(x) P(X x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。P(a X b) F(b) F(

12、a) 可以彳#到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率。分布函數(shù)F (x)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-OOx內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì):100 F(x) 1,x ;2F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即 xi x2時，有 F(xi) F(x2)；3F( ) JimF(x) 0,F() limF(x) 1；4° F(x 0) F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5° P(X x) F(x) F(x 0)。對于離散型隨機(jī)變量,對于連續(xù)型隨機(jī)變量,F(x)Pk ;xk xxF (x) f (x)dx 。八大 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q分布標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案二項(xiàng)分布在n重貝努里試驗(yàn)中，

13、設(shè)事件A發(fā)生的概率為 p 0事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X ,則X可能取值為0,1,2, ,n。P(X k) Pn(k) C：pkqnk,其 中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布。記為X B(n, p)。當(dāng) n 1 時，P(X k) pkq1k, k 0.1 ,這就是(0-1 )分布，所以(0-1 )分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kP(X k) e ,0, k 0,1,2,k!則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為 X ()或者 P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np=入，n-8)。超幾何分布PCM ?cn

14、 M k 0,1,2 ,lCn ,l min(M,n)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為 H(n,N,M)。幾何分布_ - -.k 1.P(X k) q p,k 1,2,3,其中 p >0, q=1-p 。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為 G(p)。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案均勻分布設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在a, b內(nèi)，其密度函數(shù)f (x)在a, b，一 1上為常數(shù)，即b a1.1a< x< bf(x)ba'0其他，則稱隨機(jī)變量 X在a, b上服從均勻分布，記為XU(a , b)。分布函數(shù)為0,x<a,x aV b aawxwbxF(x)f(x)dx 1,

15、x>b。當(dāng)aWxi<x2Wb時，X落在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)的概率為_x2x1P(x1X x2)1 ob a指數(shù)分布x e ,x 0f(x) I 0,x 0,其中0,則稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為1 e x，x 0,F(x) 0 、0，x<0。記住積分公式：xne xdx n!0標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為i(x Ff (x) Je,X,廬其中 、0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為、2的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為 X N(，) of(x)具有如下性質(zhì)：1 ° f(x)的圖形是關(guān)于x 對稱的；1一 一2 當(dāng)x 時，f

16、( ) _為最大值；V -2/2、2*'2若X N(乂如X的分布函數(shù)為F(x) k e 2 dt參數(shù)0、1時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X -N(0,1)1其尬函數(shù)記為(x) 72=e 2、2,x,分布函數(shù)為1 x 二(x) -j= e 2 dt。22(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。 C1(-x) = 1-(x)且(0)=一。書申21友如果 X N(,)，則N(0,1)。P(x1X x2)。(6)分位數(shù)下分位表：P(X)=；上分位表：P(X)=。(7)函數(shù)分布離散型已知X的分X布列為x1, x2, xn,P(X x)Y g(X)白Yp1, p2, pn,勺分布列

17、(yi g(x1互不相等)如下： g(x1), g(x2), g(xn),P(Y yj若后某些g；xip柏等,pU應(yīng)將對，應(yīng)白p , pi相加作為g(xi)的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y) = P(g(X) <y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1)聯(lián)合離散型如果二維隨機(jī)向量(X, Y)的所有可能取值為至多用列分布個啟序?qū)?x,y),則稱為離散型隨機(jī)量。設(shè) =(X, Y)的所有可能取值為(Xi,yj)(i,j 1,2,),且事件=3，yj)的概率為pij,稱P(X,Y) (x-j) Pj(i,

18、j 1,2,)為 =(X, Y)的分布律或稱為 X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示：y1y2yjX1pnP12P1jX2P21P22P2jXiPi1Pij這里Pij具有下面兩個性質(zhì):(1) pij>0 (i,j=1,2,)；(2) Pij 1.標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量(X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f (x, y)(x,y),使對任個其鄰邊分別平行丁坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域 D,即D-(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y) Df(x,y)dxdy,D則稱 為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱 f(x,y)為 -(X, Y)的分布密度或稱為X和

19、丫的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有卜面兩個性質(zhì)：(1) f(x,y) >0;(2) f(x,y)dxdy 1.(2)二維隨機(jī)變量的本質(zhì)(X x,Y y) (X x Y y)標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案(3)聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)(X, Y)為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y) P(X x,Y y)稱為二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量 X和Y的聯(lián)合分布 函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件( 1, 2)|X( 1) x,Y( 2) y)的概率為函數(shù)值的一個實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) 0 F(x, y) 1;(2) F (x,

20、y)分別對x和y是非減的,即當(dāng) x2>x1時,有 F (x2,y) >F(x1,y);當(dāng) y2>y 1 時，有 F(x,y2)>F(x,y1)；(3) F (x,y)分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x, y) F(x 0, y), F(x,y) F(x,y 0);(4) F( ,)F(, y) F(x, ) 0,F(,) 1.(5)對于 x x2, y1 、2>F(x2, y) F(x2, y1) F(x1，y?) F(x1，y1) 0.(4)離散型與連續(xù)型的關(guān)系P(X x, Y y) P(x X x dx, y Y y dy) f(x, y)dxdy(5)邊緣分布

21、離散型X的邊緣分布為Pi?P(XX)Pij(i,j1,2,);Y的邊緣分布為P?jP(Yyj)Pj(i,j1,2,)。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案連續(xù)型X的邊緣分布密度為fx(x)f(x,y)dy;Y的邊緣分布密度為fY(y)f (x, y)dx.(6)條件分布離散型在已知X=x i的條件下，Y取值的條件分布為PijP(Y yj|X 為)jPi?在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為PijP(X 為|丫 yj), P?j連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y)乎空 fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x)色尸fX(x)(7)獨(dú)立性一般型F(X,Y)=F X(x)

22、FY(y)離散型Pij Pi?P?j后零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=f x(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離交量正概率密度區(qū)間為矩形標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案二維止態(tài)分布221x 12 (x 1 )(y 2) y 212(12 )11 22f (x, y) .e,21 2 J12=0隨機(jī)變量的函數(shù)若X1,X2，Xm,Xm+1，Xn相互獨(dú)立,h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h (X1, X2,Xm)和 g (Xm+1，Xn)相互獨(dú)立。特例：若X與丫獨(dú)立，則：h (X)和g (Y)獨(dú)立。例如：若 X與丫獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。標(biāo)準(zhǔn)文檔標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案(8)二維均勻分布記為(X, Y)實(shí)用文案(9)二維

23、正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量(X, Y)的分布密度函數(shù)為2 八，、，、21x i2 (x i)(y2) y 212(12)i1 22f(x，y),2e,21 2 q11其中1, 2, 1 Q 20,1 | 1是5個參數(shù)，則稱(X, Y)服從二維止態(tài)分布，22、記為(X, Y) -N ( 1, 2, 1 , 2 ,).由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，一2- - 一2即 XN ( 1, 1 ),Y N( 2, 2). 2. . .2但是若XN ( 1, 1 ),Y - N( 2, 2), (X, Y)未必是二維止態(tài)分布。(10 )函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計(jì)算：Fz(z

24、) P(Z z) P(X Y z)對于連續(xù)型，fZ(z) = f (x, z x)dx.- 一一22兩個獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(12, 12)。n個相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。222Ci i,2Ci2 i2Z=max,min(X1,X2，Xn)若Xi,X2 Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx1 (x), Fx2 (x)Fxn (x),則 Z=max,min(X 1,X2，Xn)的分布函數(shù)為：Fmax(x)FxJX)?Fx2(X)F%(x)Fmin(x) 1 1 Fxi(X)?1 Fx2 (X)1 F/X)標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案2分布設(shè)n個隨機(jī)變量Xi, X2 , ,Xn相互

25、獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)止態(tài)分布，可以證明它們的平方和n 2 WXii 1的分布密度為 nu1 - 1-u2 e 2 u 0, n,f(u)22 n2 0,u 0. 一 2我們稱隨機(jī)變量 W 服從自由度為 n的 分布，記為 W2.(n),其中nn ix2 e xdx.20所謂自由度是指獨(dú)立止態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個重要參數(shù)。2分布滿足可加性：設(shè)丫2(ni),則k r、，2,、ZYi (ni n2nk).i 1標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案t分布設(shè)X, Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且2X N(0,1),Y (n), 可以證明函數(shù)TXjY/n的概率密度為n 1n 1r2t2 丁f(t) 1 -(t).

26、/ nn” 一2我們稱隨機(jī)變量 T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。t1 (n) t (n)F分布、一22.設(shè)X(Q),Y(n2),且 X與丫獨(dú)立，可以證明X /n1F 1的概率密度函數(shù)為Y/n2n1 n2%- 一2Q 2 q2八f(v)y 1y,y 0f(y)n1n2n2n?220,y 0我們稱隨機(jī)變量 F服從A個自由度為n 1,第二個自由度為n2的F分布，記為Ff(n1, n2).L ，、1F1 (小口) .、F n,")第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案一維期望設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率隨機(jī)期望就是平均值布律為P( X Xk

27、) = pk ,密度為f（x）,變量k=1,2, ,n,E(X) xf(x)dx的數(shù)E(X)nXkPkk 1（要求絕對收斂）字特（要求絕對收斂）征函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)E(Y)ng(Xk)Pkk 1E(Y) g(x)f(x)dx力差2D(X) x E(X)2f (x)dxD(X)=EX-E(X) 2,D(X)_2Xk E(X) Pkk標(biāo)準(zhǔn)差(X) JD(X),標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案矩對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X 的k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k 階原點(diǎn)矩，記為Vk,即一八，L、kvk=E(X )=X, Pi ,k=1,2,.對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X 與E (X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期 望為X的k

28、階中心矩，記為k , 即k E(X E(X)k . k=(XiE(X) Pi ,k=1,2,.對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k階原點(diǎn)矩，記為Vk,即 1.k 一 _ 一 一vk=E(X k)=x f (x)dx,k=1,2,.對于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E(X)差的k次哥的數(shù)學(xué)期望為 X的k階中心矩，記為k ,即k k E(X E(X) k=(X E(X) f(x)dx,k=1,2,.切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望 E (X)=科，方差D (X) = o2,則對于任意正數(shù)£ ,后卜列切比雪夫不等式2P(|x)2切比雪夫不等式給出了在未知 X的分布的情況下

29、，對概率P(|XI )的一種估計(jì)，它在理論上啟重要忌義。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案(2)(1) E(C)=C期望的性質(zhì)(3)方差的性質(zhì)(2) E(CX)=CE(X)nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y) , E(GXj)GE(Xj)i 1i 1(4) E(XY)=E(X) E(Y),充分條件：X 和 Y獨(dú)立；充要條件：X和丫不相關(guān)。(1) D(C)=0 ; E(C)=C(2) D(aX)=a 2D(X) ; E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= a 2D(X) ; E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X 2)-E2(X)(5) D(X 分尸D(X)+D(Y)，充分條件：X和

30、Y獨(dú)立；充要條件：X和丫不相關(guān)。D(X ±Y)=D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。(4)常見 分布 的期 望和 力差期望力差0-1 分布 B(1, p)Pp(1 p)二項(xiàng)分布B(n, p)npnp(1 p)泊松分布P()幾何分布G(p)1 p_p2 p超幾何分布H(n,M,N)nMNnM 1 M N nNN N 1均勻分布U (a,b)a b2(b a)212標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案指數(shù)分布e()112正態(tài)分布2N(,)22分布n2nt分布0nn-(n>2) 2期望E(X)nXi Pi?i 1E(

31、X)xfX (x)dx一維n隨機(jī)E(Y)yjP?j j iE(Y)yfY (y)dy變量函數(shù)的期望EG(X,Y) =EG(X,Y) =的數(shù)i jG(Xi, yj)PjG(x,y) f(x, y)dxdy特 了征力差D(X)xE(X)2fx(x)dxD(X)X E(X)2pi?D(Y)2Xj E(Y)2p?jD(Y)y2E(Y)2fY(y)dy協(xié)力差對于隨機(jī)變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩11為X與丫的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為xy或 cov(X,Y),即XYii E(XE(X)(YE(Y).與記號XY相對應(yīng)，X與Y的方差D (X)D D(Y)也可分別記為XX與YY 0標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案相關(guān)系數(shù)對于隨

32、機(jī)變量 X與Y,如果D (X) >0, D(Y)>0 ,則稱XYTW1W)為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記作XY (有時可簡記為)。| |W1,當(dāng)| |=1時，稱X與丫完全相關(guān)：P(X aY b) 1正相關(guān)，當(dāng)1時(a 0),完全相關(guān)上斗 ;負(fù)相關(guān)，當(dāng)1時(a 0),而當(dāng)0時，稱X與丫不相關(guān)。以卜五個命題是等價的： XY0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).協(xié)力差矩陣XXXYYXYY混合矩對于隨機(jī)變量X與Y,如果有E(XkYl)存在，則稱之為 X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為 ki ; k+l階混

33、合中心矩記為：Uki E(X E(X)k(Y E(Y)1.(6)協(xié)方差的 性質(zhì)(i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X 1+X2, Y)=cov(X 1 ,Y)+cov(X 2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則XY 0；反之不真。若(X, Y)N (則X與丫相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。相關(guān)第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律X切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量Xi, X2,相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D (Xi

34、) <C(i=1,2,)，則對于任意的正數(shù)£,有._ 1n.1n _ 一、li【II X E(Xi )1.nn i 1特殊情形：若X1,X2,n i 1具有相同的數(shù)學(xué)期望 E (Xi)=科，1.則上式成為1 n lim P - Xi nn i 1伯努利大數(shù)定律設(shè)科是n次獨(dú)立試驗(yàn)中】每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則Xlim P n伯努利大數(shù)定律說明，的頻率與概率有較大判別的艮lim P n這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了割件 A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在f于任意的正數(shù)£ ,有-P1.n當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生能性很小，即p0.n'頻率的穩(wěn)定性。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案辛欽大數(shù)定律

35、設(shè)Xi,E (Xn)lim P nX2 ,，Xn,=(1 ,則對于1 n -X in i 1是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且任意的正數(shù)£有1.(2)中心極限定理2X N(,) n列維林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量Xi, X2,相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相 同的 數(shù)學(xué)期望和 方 差：E(Xk),D(Xk)20(k1,2,)，則隨機(jī)變量n Xk n 丫_kJn 而的分布函數(shù)Fn(X)對任意白實(shí)數(shù)X,有nXk nt2一1X Flim Fn (x) lim P_x t e 2 dt.nnJn<2此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗-拉普 拉斯定 理設(shè)隨機(jī)變量Xn為具有參數(shù)n, p

36、(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對于任意實(shí)數(shù)X,有、，/t2X nnp1x -2lim P ： x/e 2 dt.nVnp(1 p)<2(3)二項(xiàng)定理6當(dāng)N時，p(n,k不變)，則Nkn kCM CN Mckk/彳、nkz Kl、nCn P (1P)(N).CN超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案（4）泊松定理6當(dāng)n時，np0 ,則k 入 k k、n kCn p (1 p)ek!(n).其中k=0 , 1 , 2,，n,。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標(biāo)的全 體稱為總體（或

37、母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨 機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個體總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品Xi, X2 , ,Xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下， 總是把樣本看成是 n個相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī) 變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，Xi,X2, ,Xn表示n個隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次 抽取之后，Xi,X2, , Xn表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們 稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計(jì)量設(shè)Xi, X2 , ,Xn為總體的一個樣本，稱（Xi,X2, Xn）為樣本函數(shù)，其

38、中為一個連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（Xi,X2, ,Xn）/L個統(tǒng)計(jì)量。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值X樣本力差1 n- xi.n i 11 nS2(xX)2.D(XIn 1 i樣本標(biāo)準(zhǔn)差S J，片(xix)2.樣本k階原點(diǎn)矩1 n kMk -Xi ,k 1,2,.n i 1樣本k階中心矩1 n kMk (Xix) ,k 2,3,n i 1.2E(X) , D(X)一, n222n 1E(S2)2, E(S*2)n2 ,. - 21n- 2其中S* (Xi X)，為二階中心矩。n i 1(2)止態(tài)正態(tài)分布設(shè)X1,X2, ,xn為來自止態(tài)總體2 一，N(,)的一個樣本，

39、則樣總體下的本函數(shù)四大分布def xu廠N(0,1)./ Vn標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案t分布、一 2設(shè)x1,x2,xn為來自止態(tài)總體 N (,)的一個樣本，則樣本函數(shù)def xt-t(n 1), s/Jn其中t(n-1)表示自由度為 n-1的t分布。2分布一.2 一一，設(shè)xi,x2, ,xn為來自止態(tài)總體 N(,)的一個樣本，則樣 本函數(shù)def (n 1)S22, 仆w=2 (n 1),其中2(n 1)表示自由度為n-1的2分布。F分布 - 一一一2 一設(shè)x1，x2, ,xn為來自止態(tài)總體N( , 1 )的一個樣本，而-.2 一 .y1，y2, ,yn為來自止態(tài)總體 N( , 2)的一個樣本，則樣本

40、函數(shù)def S12 / 2F=：212 F(r 1,n2 1),S2 / 2其中nn1_nn2_2122 912S1(Xx) ,S21(yi y);n11 i 1n21 i 1F(n1 1, n2 1)表示 A自由度為n1 1,第二自由度為n2 1的F分布。(3)止態(tài)總體下分布的性質(zhì)一. 一 2 X與S獨(dú)立。第七章參數(shù)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案點(diǎn)矩倩計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1, 2, , m,則其分布函數(shù)可以表成 F(x； 1, 2, m).它的 k 階原點(diǎn)矩 Vk E(Xk)(k 1,2,m)中也包含了未知參數(shù) 1,2, , m,即Vk Vk(1, 2, , m)。又設(shè)Xi, X2 , ,X

41、n為總體X的n個樣本值，其樣本的 k階原點(diǎn)矩為1 n kXi (k 1,2,m).n i 1這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩” 的原則建立方程，即有V 1 ( 1 , 2 , , m)Xi ,n i 1 、，,、n 丫2V 2( 1 , 2 , m) - Xi ,n i 11 " vmV m( 1 , 2 , , m)Xi .n i 1由上面的m個方程中，解出的m個未知參數(shù)(1,2, , m)即為參數(shù) (1,2, m)的矩估計(jì)量。若 為 的矩估計(jì)，g(X)為連續(xù)函數(shù)，則g(?)為g()的矩估計(jì)。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案極大似然倩計(jì)當(dāng)總體 X為連續(xù)型隨機(jī)變量時，設(shè)其

42、分布密度為f(X； 1 , 2 , m),其中1,2, m為未知參數(shù)。又設(shè)X1 ,X2 , ,xn為總體的一個樣本，稱n L( 1 , 2, , m)f(Xi； 1, 2, m)i 1為樣本的似然函數(shù)，簡記為Ln.當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布律為PX X p(x； 1,2, m),則稱n L(x1,x2, ,xn； 1 , 2 , , m)p(xi ； 1,2, m)i 1為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù) L(x，x2, , xn； 1, 2, m)在 1, 2, , m 處取到最大值，則稱 1, 2, , m分別為1, 2, , m的最大似然估計(jì)值， 相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。ln

43、Ln n0,i 1,2, ,m ii i若 為 的極大似然估計(jì)，g(x)為單調(diào)函數(shù)，則g(?)為g()的極大似然情計(jì)。(2)估計(jì)量的評選標(biāo)無偏性設(shè)(x1，x2, ,xn)為未知參數(shù)的估計(jì)重。右 E ()=，則稱 為的無偏估計(jì)量。E ( X ) =E (X), E (S2) =D (X)標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案準(zhǔn)功效性設(shè) 11(Xi,X,2, ,Xn)和 22(Xi, X,2 , ,Xn)>TH®參數(shù)的兩個無偏估計(jì)量。若 D( i) D( 2),則稱1比2有效。一<性設(shè)n是 的一串估計(jì)量，如果對于任意的正數(shù)，都有l(wèi)im P(| n |) 0,則稱n為的一致估計(jì)量(或相合估計(jì)量)。若

44、為的無偏估計(jì)，且D( ?)0(n，則為的一致估計(jì)。只要總體的E(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相 應(yīng)總體的一致估計(jì)量。(3)區(qū)置信區(qū)設(shè)總體X含有一個待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本 Xi,X,2 , ,Xn間情計(jì)間和置信度出發(fā)，找出兩個統(tǒng)計(jì)量 1i(Xi,X,2,Xn)與22(xi,x, 2 , ,xn) ( i2),使得區(qū)間i, 2以1(0i)的概率包含這個待估參數(shù)，即P i2 1,那么稱區(qū)間1, 2為 的置信區(qū)間，1為該區(qū)間的置信度(或置信水平)。單正態(tài)2設(shè)Xi, X,2 , ,Xn為總體X - N( , 2)的一個樣本，在置信度為 1總體的下，我們來確定 和2的置信區(qū)

45、間1, 2。具體步驟如下：期望和(i)選擇樣本函數(shù)；方差的(ii)由置信度1,查表找分位數(shù)；區(qū)間估(iii)導(dǎo)出置信區(qū)間1，2 。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案計(jì)已知方差，估計(jì)均值(i)選擇樣本函數(shù)xuN(0,1).0 / J n(ii)查表找分位數(shù)PJ1°5(iii)導(dǎo)出置信區(qū)間0 -0x 不Tn未知方差，估計(jì)均值(i)選擇樣本函數(shù)x，八t =t (n 1).S/Vn(ii)查表找分位數(shù)P- 1Ps/冊1.(iii)導(dǎo)出置信區(qū)間-S -Sx標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案方差的區(qū)間估計(jì)(i)選擇樣本函數(shù)(n 1)S22,八w 2(n 1).(ii)查表找分位數(shù)_ 2P-(n/)S.11 122.(iii)導(dǎo)出的置信區(qū)間產(chǎn),j1211第八章假設(shè)檢驗(yàn)基本思想假設(shè)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)思想是，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中可以認(rèn)為基本上是不會發(fā)生的，即小概率原理。為了檢驗(yàn)一個假設(shè) H0是否成立。我們先假定 H0是成立的。如果根據(jù)這個假定導(dǎo)致了一個不合理的事件發(fā)生，那就表明原來的假定H0是不止確的，我們拒絕接受 Ho;如果由此沒有導(dǎo)出不合理的現(xiàn)象，則不能拒絕接受Ho,我們稱Ho是相容的。與H o相對的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，用 H 1表示。這里所說的小概率事件就是事件