數(shù)值分析作業(yè)

1、淺談數(shù)值分析在機(jī)械設(shè)計(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用摘 要：以一齒輪傳動(dòng)軸為例，經(jīng)過(guò)初步設(shè)計(jì)后用數(shù)值分析的方法進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，確定軸的應(yīng)力應(yīng)變的大小及分布，并計(jì)算出最大應(yīng)力；進(jìn)行計(jì)算模態(tài)分析，確定軸的前四階固有頻率和振型，計(jì)算其臨界轉(zhuǎn)速。通過(guò)分析可知，軸的強(qiáng)度和剛度符合設(shè)計(jì)要求，工作轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于臨界轉(zhuǎn)速，不會(huì)引起共振，設(shè)計(jì)是安全的。實(shí)際應(yīng)用表明，數(shù)值分析方法可以彌補(bǔ)理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)方法的不足，提高設(shè)計(jì)效率，在機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中有一定應(yīng)用價(jià)值。關(guān)鍵詞：機(jī)械結(jié)構(gòu)；數(shù)值分析；強(qiáng)度計(jì)算；模態(tài)分析1 引言數(shù)值分析是一門研究如何在計(jì)算機(jī)上求解數(shù)學(xué)問(wèn)題算法的學(xué)科,主要內(nèi)容有:誤差分析,插值法,數(shù)值微積分,數(shù)值代數(shù), 矩陣計(jì)算和微分方程

2、數(shù)值解法等, 是工科各專業(yè)大學(xué)本科及研究生中開(kāi)設(shè)的一門計(jì)算量大,算法多,實(shí)踐性比較強(qiáng)的專業(yè)課。機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)都要先進(jìn)行力學(xué)計(jì)算，看其強(qiáng)度和剛度是否足夠。如果沒(méi)有足夠的強(qiáng)度和剛度是不允許的。但有時(shí)用傳統(tǒng)的力學(xué)方法計(jì)算很困難。若軸的橫截面是不斷變化的，要精確地計(jì)算出軸當(dāng)中的應(yīng)力和變形，特別是鍵槽處的應(yīng)力是不可能的。如果用實(shí)驗(yàn)的方法電測(cè)法來(lái)測(cè)量軸當(dāng)中的應(yīng)力和應(yīng)變，從理論上來(lái)說(shuō)是可以的，但是實(shí)際操作比較困難。因?yàn)檩S上的約束比較復(fù)雜，而且用電測(cè)應(yīng)力分析的方法只能測(cè)出軸上一部分點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變，具有一定的局限性。另外，對(duì)軸這類容易產(chǎn)生振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)零件來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)時(shí)其臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算尤其重要。軸在引起共振時(shí)的轉(zhuǎn)速稱為

3、臨界轉(zhuǎn)速。當(dāng)軸的轉(zhuǎn)速停留在臨界轉(zhuǎn)速附近時(shí)，軸的變形將迅速增大，嚴(yán)重時(shí)會(huì)破壞軸及整個(gè)機(jī)器。因此，對(duì)于高速旋轉(zhuǎn)的軸，必須計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速，使工作轉(zhuǎn)速避開(kāi)其臨界轉(zhuǎn)速。一般是通過(guò)試驗(yàn)或計(jì)算的方法確定軸的固有頻率、主振型等模態(tài)參數(shù)，從而計(jì)算出軸的臨界轉(zhuǎn)速。模態(tài)是機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有振動(dòng)特性，每一個(gè)模態(tài)具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。這些模態(tài)參數(shù)可以由計(jì)算或試驗(yàn)分析取得。這個(gè)分析過(guò)程如果是由有限元計(jì)算的方法取得的，則稱為計(jì)算模態(tài)分析。2 數(shù)值分析方法的研究2.1數(shù)值分析方法意義數(shù)學(xué)是一種工具，用于解決日常生活、工業(yè)工程上的相關(guān)問(wèn)題。針對(duì)于數(shù)值分析中的數(shù)學(xué)方法，我們小組將主要內(nèi)容概括分解，將使用到的方法進(jìn)行對(duì)比

4、分析。2.2數(shù)值分析主要部分1. 各類插值方法我們講過(guò)拉格朗日插值、牛頓插值、分段插值、樣條插值。2. 函數(shù)逼近及擬合。3. 數(shù)值積分、歐拉法解常微分方程、龍格-庫(kù)塔法解常微分方程、方程組。（1）插值對(duì)于牛頓插值相對(duì)于拉氏插值增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，所有的插值基本多項(xiàng)式要重新取、重新算.2而牛頓插值，節(jié)點(diǎn)增加，次數(shù)增加，即高次插值函數(shù)計(jì)算量大，有劇烈震蕩，數(shù)值穩(wěn)定性較差（例如龍格現(xiàn)象）；分段插值在分段點(diǎn)上僅連續(xù)（即函數(shù)值相等），但是有尖點(diǎn)，不光滑（尖點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不連續(xù)）；樣條函數(shù)可以解決以上問(wèn)題：使插值函數(shù)既是低次階分段函數(shù)，又是光滑的函數(shù)。（2）理解逼近問(wèn)題與擬合問(wèn)題：1）逼近問(wèn)題：函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b

5、具有一階光滑度，求多項(xiàng)式p(x)是f(x)-p(x)在某衡量標(biāo)準(zhǔn)下最小的問(wèn)題。 2）擬合問(wèn)題：從理論上講y=f(x)是客觀存在的，但在實(shí)際中，僅僅從一些離散的數(shù)據(jù) (i=1,2)是不可能求出f(x)的準(zhǔn)確表達(dá)式，只能求出其近似表達(dá)式（x）。（3） Romberg（龍貝格）求積法和Gauss求積法的基本思想：(主要研究方法)1）復(fù)化求積公式精度較高，但需要事先確定步長(zhǎng)，欠靈活性，在計(jì)算過(guò)程中將步長(zhǎng)逐次減半得到一個(gè)新的序列，用此新序列逼近I的算法為Romberg求積法。2）對(duì)插值型求積公式，若能選取適當(dāng)?shù)膞k.Ak使其具有2n+1階代數(shù)精度，則稱此類求積公式為Gauss型。(4)Runge-Kut

6、ta方法的基本思想：借助于Taylor級(jí)數(shù)法的思想，將yn+1=yn+hy()中的y()（平均斜率）表示為f在若干點(diǎn)處值的線性組合，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)南禂?shù)使公式達(dá)到一定的階。3 軸的參數(shù)圖 1 齒輪傳動(dòng)軸三維實(shí)體圖以圖 1 所示的齒輪傳動(dòng)軸為例，先利用CAD軟件進(jìn)行三維實(shí)體建模，建立分析模型后，設(shè)定好載荷和約束條件，對(duì)軸結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行分析和計(jì)算，得到軸的應(yīng)力及分布；進(jìn)行計(jì)算模態(tài)分析，確定軸的固有頻率、主振型等參數(shù)，計(jì)算出軸的臨界轉(zhuǎn)速。結(jié)果表明，數(shù)值分析的方法可以彌補(bǔ)理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)方法的不足，減少計(jì)算工作量，提高機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)效率。3.1 軸的設(shè)計(jì)參數(shù)及結(jié)構(gòu)尺寸軸輸出功率5kW，轉(zhuǎn)速，設(shè)計(jì)安全系數(shù)，經(jīng)過(guò)

7、初步設(shè)計(jì)后確定軸的結(jié)構(gòu)尺寸如表1所示。表1 軸的結(jié)構(gòu)尺寸 軸的段位 1 2 3 4 5 6 7 鍵的尺寸（b*h*l） 直徑（d/mm） 40 48 50 56 66 60 50 12*8*56 長(zhǎng)度（l/mm） 60 48 50 85 10 10 27 16*10*80 3.2 材料參數(shù)材料為45鋼調(diào)質(zhì)處理，屈服強(qiáng)度為355 MPa，許用應(yīng)，彈性模量E為210GPa，泊松比0.3，密度。4 強(qiáng)度分析4.1 外力計(jì)算并近似地計(jì)算出應(yīng)力的值設(shè)作用在軸右邊鍵（大鍵）上的力為切向力,徑向力,則大齒輪處的水平彎矩為大齒輪處的鉛垂彎矩為合成彎矩為 大齒輪處的扭矩為大齒輪處的抗彎截面系數(shù)為那么,大齒輪處截

8、面上的最大應(yīng)力值（不考慮應(yīng)力集中的影響）為但是，軸當(dāng)中的應(yīng)力最大值會(huì)大大超過(guò)這一值，因?yàn)樵谳S肩和鍵槽處存在很大程度的應(yīng)力集中現(xiàn)象。4.2 鍵槽面上分布力的計(jì)算數(shù)值分析時(shí)需要計(jì)算出作用在鍵槽面上的分布力的值。作用在軸右邊鍵槽上的水平（切向）分布力為同理，作用在軸右邊鍵槽上的鉛垂（徑向）分布力為軸傳遞的力偶矩為作用在軸左邊鍵槽上的水平（切向）力為則作用在軸左邊鍵槽上的水平（切向）分布力為4.3 建立分析模型，確定邊界條件用四面體單元對(duì)軸三維實(shí)體進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共劃分765 個(gè)節(jié)點(diǎn)3062 個(gè)單元。有限元模型如圖2 所示。根據(jù)設(shè)計(jì)要求，對(duì)輸出軸的軸承處施加零位移約束。作用在軸右邊鍵槽上的水平（切向）分

9、布力為17.9 MPa，徑向分布力2.03 MPa，作用在軸左邊鍵槽上的水平（切向）分布力為44.75MPa。圖2 齒輪傳動(dòng)軸有限元模型4.4 計(jì)算結(jié)果及分析圖3 軸的應(yīng)力云圖軸應(yīng)力云圖如圖3 所示，可以看出在軸肩和鍵槽處存在應(yīng)力集中，最大應(yīng)力56.9 MPa，遠(yuǎn)大于理論計(jì)算的20.1 MPa。軸承安裝的軸頸過(guò)渡圓角處存在著較高的應(yīng)力水平，是最容易破壞及最危險(xiǎn)的部位。圖4 軸的變形云圖圖 4 為軸的變形云圖?？梢钥闯鲚S最大變形量?jī)H為4.7e-2 mm，其剛度也是滿足設(shè)計(jì)要求?？傮w來(lái)說(shuō),軸在強(qiáng)度和剛度方面都存在很大的機(jī)械設(shè)計(jì)制造 機(jī)電技術(shù)2008 年第4 期47余量，材料的承載能力并沒(méi)有得到充分

10、的利用，這為軸的優(yōu)化提供了很大的空間。5 模態(tài)分析5.1 模態(tài)分析的理論基礎(chǔ)多自由度的運(yùn)動(dòng)微分方程為 （1）式中：M、K、C 分別為總體質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣；為節(jié)點(diǎn)加速度向量；為節(jié)點(diǎn)速度向量；x(t)為節(jié)點(diǎn)位移向量；F(t)為整體載荷向量。固有頻率也稱自然頻率，只與系統(tǒng)本身的特性(質(zhì)量、剛度和阻尼)有關(guān)，模態(tài)分析即是求解振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和振型。當(dāng)彈性體的動(dòng)力基本方程中的外力向量F(t)=0 時(shí)，便可得系統(tǒng)的微分方程： (2)求解主軸的固有頻率和振型，即是求解式(2)的廣義特征值和特征向量。5.2 模態(tài)分析模型分析模型與強(qiáng)度分析模型相同，但由于固有頻率只與系統(tǒng)本身的特性(質(zhì)量、剛度和阻尼)有關(guān)

11、，所以不施加載荷。5.3 計(jì)算結(jié)果及分析模態(tài)分析結(jié)束后提取了前四階模態(tài)頻率和振型，如圖5 和表2 所示。一階模態(tài)固有頻率104.79Hz，振型如圖5（a）所示，二階模態(tài)固有頻率106.78Hz，振型如圖5（b）所示，三階模態(tài)固有頻率316.69Hz，振型如圖5（c）所示，四階模態(tài)固有頻率368.33Hz，振型如圖5（d）所示，可以看出，一、二階固有頻率幾乎相等，可看作是式2 的一對(duì)重根。結(jié)果表明，通過(guò)計(jì)算模態(tài)分析可以得到軸的各階模態(tài)的固有頻率和振型，并具有很好的空間仿真效果。為了保證設(shè)計(jì)的安全性，軸的工作轉(zhuǎn)速不能等于或超過(guò)其臨界轉(zhuǎn)速，從表2 可知，一階臨界轉(zhuǎn)速n=60f =60104.79=6

12、287.4r/min，而其工作轉(zhuǎn)速280r/min，大大低于一階臨界轉(zhuǎn)速，所以設(shè)計(jì)是安全的，能有效避開(kāi)共振區(qū)，保證了軸的加工精度和安全，但有很大的優(yōu)化空間。表2 軸的各階模態(tài)固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速階次 固有頻率（HZ） 臨界轉(zhuǎn)速（r/min）1 1.047876e+02 6287.42 1.067754e+02 6406.83 3.166935e+02 19001.44 3.683262e+02(a)第一階模態(tài)變形云圖(b) 第二階模態(tài)變形云圖(c)第三階模態(tài)變形云圖（d）第四階模態(tài)變形云圖圖 5 前四階模態(tài)變形云圖6 小結(jié)1. 利用數(shù)值分析的方法進(jìn)行了強(qiáng)度計(jì)算，準(zhǔn)確地了解了軸零件的應(yīng)力應(yīng)變的大小

13、和位置，特別是最大應(yīng)力及應(yīng)力集中的位置，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供參考。2. 利用數(shù)值分析的方法計(jì)算了軸零件的臨界轉(zhuǎn)速，結(jié)果表明，軸的工作轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于臨界轉(zhuǎn)速，不會(huì)引起共振，設(shè)計(jì)是安全的。3. 計(jì)算表明，軸的最大應(yīng)力和臨界轉(zhuǎn)速都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于臨界值，說(shuō)明設(shè)計(jì)雖然是安全的，但不盡合理，還有很大的優(yōu)化空間，以免造成結(jié)構(gòu)笨重，浪費(fèi)材料。4. 本文是以一軸零件為例，說(shuō)明數(shù)值分析的方法在機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，結(jié)果表明，這種方法可以彌補(bǔ)理論分析和實(shí)驗(yàn)方法的不足，提高設(shè)計(jì)效率，它同樣適用于其他零件的設(shè)計(jì)。因此，在機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中運(yùn)用數(shù)值分析的方法是可行的且具有一定優(yōu)勢(shì)。7 參考文獻(xiàn)1 孫愛(ài)芹,王吉岱,李磊林等.基于 ANSYS 的高壓巡檢機(jī)器人電機(jī)主軸動(dòng)態(tài)分析J.煤礦機(jī)械,2008,29(7).2 鐘佩思,孫雪顏,蘇超等.基于 ANSYS 的