《等差數(shù)列》教學設(shè)計

1、等差數(shù)列教學設(shè)計教學內(nèi)容分析本節(jié)課是第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時。數(shù)列是高中數(shù)學重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前起后的作用，數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分，而等差數(shù)列是在學生學習了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法通項公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對數(shù)列的知識進一步深入和拓展。同時等差數(shù)列也為今后學習等比數(shù)列提供了“聯(lián)想” “類比” 的思想方法。學生學習情況分析經(jīng)過前邊幾個模塊的學習，大部分學生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎(chǔ)較弱，學習數(shù)學的興趣不是太濃，所以在授課時注重從具體實例出

2、發(fā)，注重引導，啟發(fā)，研究和探討以符號這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。設(shè)計思想1教法（1） 誘導思維法；這種方法有利于學生對知識進行主動建構(gòu)；有利于突出重點，突破難點，有利于調(diào)動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。（2） 分組討論法；有利于學生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動學生的積極性。（3） 講練結(jié)合法；可以及時鞏固所學知識，抓住重點，突破難點。2 學法 引導學生首先從現(xiàn)實問題（數(shù)數(shù)問題，女子舉重獎項設(shè)置問題，水庫水位問題，儲蓄問題）概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念，接著就等差數(shù)列概念的特點，推導出等差數(shù)列的通項公式；可以對各種能力的學生引導認識多元的推導思維

3、方法。用多種方法對等差數(shù)列的通項公式進行推導。在引導分析時，留出“空白”，讓學生去聯(lián)想，探索，同時鼓勵學生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題搞清。教學目標通過本節(jié)課的學習使學生能夠理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判定一個數(shù)列是否是等差數(shù)列，引導學生了解等差數(shù)列的通項公式的推導過程及思想，會求等差數(shù)列的公差及通項公式，能在解題中靈活應(yīng)用，并在此過程中培養(yǎng)學生觀察，分析，歸納，推理的能力，在領(lǐng)會函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來研究數(shù)列，培養(yǎng)學生的知識，方法遷移能力；通過階梯性學習，提高學生分析問題和解決問題的能力，在解決問題的過程中培養(yǎng)學生主動探索，勇于發(fā)現(xiàn)的求

4、知精神；使學生認識事物變化的形態(tài)，養(yǎng)成細心觀察，認真分析，善于總結(jié)的良好思維習慣，并通過一定的實列激發(fā)同學們的民族自豪感和愛國熱情。S教學重點和難點重點（1） 等差數(shù)列的概念。（2） 等差數(shù)列的通項公式的推導過程及應(yīng)用。 難點（1） 理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義。（2） 理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型教學過程情景設(shè)計和學習任務(wù)1上節(jié)課我們學習了數(shù)列。在日常生活中，人口增長，教育貸款，存款利息等等這些大家以后會接觸的比較多的實際計算問題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的知識來解決。今天我們就先學習一類特殊的數(shù)列。由學生觀測分析并得出答案在現(xiàn)實生活中我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每隔5數(shù)一次，可以得到

5、數(shù)列0 5 2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目，該項目共設(shè)置了7個級別。其中較輕的4個級別體重組成數(shù)列（單位;m）48, 53, 58, 63 水庫的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，要定期放水清理水庫的雜魚，如果一個水庫的水位定位18厘米，自然放水每天水位降低2.5厘米，最低降到5厘米，那么從開始放水開始算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位；米）18 5.5 13 10.5 8. 5.5我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單位，即不把利息加入本金計算下一期的利息，按照單利計算本利和的公式是；本利和=本金·（1

6、+利率·存期）時間年初本金（元）年末本利和（元）第一年10 00010072第二年10 00010144第三年10 00010216第四年10 00010288第五年10 00010360個年末的本息和（單位；元）組成了數(shù)列；10072 10144 10216 10288 10360。學生活動；通過上述事例，學生觀測，分析，發(fā)表各自的意見設(shè)計意圖；引向課題。情景設(shè)計和學習任務(wù)2思考；同學們觀察一下上面的這四個數(shù)列0 5 10 15 20 .48 53 58 6318 15.5 13 10.5 8 5.510072 10144 10216 10288 10360觀察分析并得出答案引導學

7、生觀察項鄰兩項的關(guān)系，得到；對于數(shù)列（1），從第二項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數(shù)列（2），從第二項起，每一項與前一項的差都等于5；對于數(shù)列（3），從第二項起，每一項與前一項的差都等于2.5；對于數(shù)列（4），從第二項起，每一項與前一項的差都等于72；由學生歸納和概括出，以上四個數(shù)列從第二起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)；既每個都具有相鄰兩項的差為同一個常數(shù)的特點。設(shè)計意圖通過分析，激發(fā)學生學習探究知識的興趣，引導揭示數(shù)列的共性特點。等差數(shù)列的概念對于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請同學們根據(jù)我們分析等差數(shù)列的特點，嘗試著給等差數(shù)列下個定義。等差數(shù)列；一般的，如果一個數(shù)列從第2

8、項起，每一項與前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公差，公差常用字母d來表示，那么對于上面四個數(shù)列，他們的公差分別三5 ，5 2.5， 72。思考1；下列數(shù)列有什么什么特點？（1） 2 ， 4 ，6 （2） 3 ， 5， 7思考2 如果在a和b中間插入一個數(shù)A，使a ,A, b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？設(shè)計意圖 思考（1）的目的引導學生進一步認識等差數(shù)列的概念，觀察發(fā)現(xiàn)中間一項是前后兩項的算術(shù)平均數(shù)這一特點，為引出等差中項的感念作好了鋪墊。 思考（2）目的是；由學生根據(jù)等差數(shù)列的定義，推出Aa=bA從而得A=通過兩個思考，讓學生參與到知識的形成過程

9、中，獲得數(shù)學學習的成就感，從而引出等差中項的概念；由三個數(shù)a A b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，這是，我們把A叫做a和b的等差中項.不難發(fā)現(xiàn)，在一個等差數(shù)列中，從第二項起，每一項都是它的前一項和后一項的等差中項。如 1 3 5 7 9 11 13 其中5是3和7的等差中項，也是1和9的等差中項。由此得到a+a= a+a 從而得到；在一個等差數(shù)列a, a, a a中，如果m+n=p+q，那么，a+a=a+a. 通過以上設(shè)計，引領(lǐng)學習更深入的探究，提高學生學習的水平，也培養(yǎng)學生在認識問題時，由特殊到一般，由具體到抽象的思維習慣。情景設(shè)計和學習任務(wù)3思考；對于以上的等差數(shù)列，我們能不能用

10、通項公式將它們表示出來呢？看上面的實例，它們的通項公式為（1） a=0+5(n1) （2） a=48+5(n1) （3） a=182.5(n1) （4） a=10072+72(n1) 發(fā)現(xiàn)；它們的首項為0， 48，18，10072，公差為5，5，2.5，72。所以可以猜測，等差數(shù)列的通項公式為a=a+ (n1)d上面的通項公式是否對任意等差數(shù)列都成立呢？設(shè)計意圖；通過對實例的分析，找出等差數(shù)列通項公式的特征，進而引導學生探索公式的證明。 證明；對于等差數(shù)列 a a a a,依據(jù)等差數(shù)列的定義知 a a = d a a = da a = da a = d 相加得 a=a+ (n1)d等差數(shù)列通項

11、公式的說明（1）；四個量，其中a，d為基本量，根據(jù)等式，知三求一。（2）a隨n的變化而變化，是一次函數(shù)的關(guān)系，它的圖象是由點構(gòu)成的。例1 （1）求等差數(shù)列8，5，2 的第20項。（2）401是不是等差數(shù)列5，9，13 的項？如果是，是第幾項？分析；（1）要求出第20項，可以利用通項公式求出來，首項知道了，還需要知道該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差。（2）這個問題可以看成是上面那個問題的逆問題，要判斷這個數(shù)是不是數(shù)列中的項，就是要看它是否滿足該數(shù)列的通項公式，并且需要注意的是，項是否有成立。由學生完成例題的解答過程（1） 由a=8, d=58=3,n=20,得a=8+(201)

12、5;(3)=49;（2） 由a=5, d=9(5)=4,得這個數(shù)列的通項公式，a=a+ (n1)d=4n1，由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得401=4n1成立。解得n=100。例題評述；從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項公式其實就是一個關(guān)于的方程；另外，要懂得利用通項公式來判斷所給數(shù)是不是數(shù)列中的項，當判斷是第幾項的項數(shù)時還應(yīng)看求出的項數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項。情景設(shè)計和學習任務(wù)4隨堂練習；課本練習第一題設(shè)計意圖；講練結(jié)合，有利于提高學生的知識應(yīng)用水平。例2；某市出租車的計價標準為1.2元/千米，既最初的4千米（不含4千米）計費10元。如果某人乘座該市

13、的出租車前往14千米處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付多少費用？解；根據(jù)題意，當該市出租車的行程大于或等于4千米時，每增加1千米，乘客需要支付1.2元，所以，我們可以建立一個等差數(shù)列來計算車費。令 a=11.2，表示4千米處的車費，公差d=1.2，那么當車行至14千米時，n=11，此時需要支付車費為23.2（元）。答；需要支付車費為23.2（元）意圖；將所學知識應(yīng)用到實際生活中去，加深對概念的理解。課堂練習；練習；第二題設(shè)計意圖；講練結(jié)合，有利于提高學生知識的應(yīng)用水平。例3；已知數(shù)列a的通項公式為a=pn+q,其中p，q為常數(shù)，且p0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？設(shè)計意圖；培養(yǎng)學

14、生分析問題的能力，給出判斷數(shù)列是不是等差數(shù)列的方法。實施時，可以分小組討論，給出解決的方法，也是培養(yǎng)學生合作學習的習慣。解；利用定義給出判定a=pn+qa=p(n1)+qaa=( pn+q)p(n1)+q =p這是一個與n無關(guān)的數(shù)所以，數(shù)列an是等差數(shù)列反思例題；這個數(shù)列的首項a=p+q,公差d=p.由此我們可以知道對于通項公式是形如a=pn+q的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項系數(shù)p就是這個等差數(shù)列的公差，首項是p+q.同時，如果一個數(shù)列的通項公式是關(guān)于正整數(shù)的一次型函數(shù)，那么這個數(shù)列必定是等差數(shù)列。情景設(shè)計和學習任務(wù)5思考；通過上面的反思，你認為等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)有這怎樣的關(guān)系呢？具

15、體為1在直角坐標系中，畫出通項公式為a=5n+2的數(shù)列圖象，這個圖象有什么特點？2在同一坐標系中，畫出函數(shù)y=5x+2的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？設(shè)計意圖；通過學生動手作圖，并加以對比，讓學生體會數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系。分析；1為正整數(shù)，當取1，2，3，4時，對應(yīng)的a可以利用通項公式求出，經(jīng)過描點知道該圖象是均勻分布的一群孤立的點；2畫出函數(shù)y=5x+2的圖象是一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象（點）在直線上，數(shù)列的圖象是該一次函數(shù)當在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時相應(yīng)點的集合.知識點小結(jié)1 等差數(shù)列的定義；一般的，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公差。數(shù)學表達式；aa= d2 等差數(shù)列的通項公式；a=a+ (n1)d。作業(yè)設(shè)計；