土的彈塑性模型

1、土的彈塑性模型近年來，根據(jù)彈塑性理論建立的土的彈塑性模型發(fā)展很快，各國學(xué)者提出的彈塑性本構(gòu)模型很多。下面幾節(jié)分別介紹劍橋模型，修正劍橋模型，Lade-Duncan模型，以及清華模型的基本概念。 一劍橋模型英國劍橋大學(xué)Roscoc 和他的同事（1958 1963 ）在正常固結(jié)粘土和超固結(jié)粘土試樣的排水和不排水三軸試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，發(fā)展了Rendulic （1937）提出的飽和粘土有效應(yīng)力和孔隙比成唯一關(guān)系的概念，提出完全狀態(tài)邊界面的思想。他們假定土體是加工硬化材料，服從相關(guān)聯(lián)流動(dòng)規(guī)則，根據(jù)能量方程，建立劍橋模型。劍橋模型從理論上闡明了土體彈塑性的變形特性，標(biāo)志著土的本構(gòu)理論發(fā)展新階段的開始。1.臨界

2、狀態(tài)線和Roscoe面各向等壓固結(jié)過程中，孔隙比或比容與有效應(yīng)力的關(guān)系可用下式表示： （1）式中 當(dāng)時(shí)的比容。因此 （2）（a）平面（b）平面圖1 臨界狀態(tài)線 正常固結(jié)粘土排水和不排水三軸試驗(yàn)表明：它們有條共同的破壞軌跡，與排水條件無關(guān)。破壞軌跡在平面上是一條過原點(diǎn)的直線，在平面上也是直線，目與正常固結(jié)線平行，分別如圖（a）和（b 所示。破壞軌跡線可用下式表示： （3） （4）式中 表示臨界狀態(tài)；平面上臨界狀態(tài)線斜率；時(shí)土體的比容； 平面上臨界狀態(tài)線斜率。 一旦土體的應(yīng)力路徑到達(dá)這條線，土體就會(huì)發(fā)生塑性流動(dòng)。這時(shí)土體被認(rèn)為處于臨界狀態(tài)，破壞軌跡被稱為臨界狀態(tài)線。臨界狀態(tài)線在空間為一條空間曲線，

3、如下圖2所示。 圖2 空間中的臨界狀態(tài)線Rendulic（1936）分析了許多三軸試驗(yàn)的結(jié)果，首先提出飽和粘土有效應(yīng)力和孔隙比成唯一關(guān)系的概念。Henkel（1960）把飽和粘土的固結(jié)排水三軸試驗(yàn)得到的等含水量線同固結(jié)不排水三軸試驗(yàn)得到的應(yīng)力路徑（也是等含水量線）畫在起，發(fā)現(xiàn)其形狀是一致的，如圖4所示。等含水量線也就是等比容線。這樣的圖稱為Rendulic圖。 由Rendulic 有效應(yīng)力和孔隙比關(guān)系可知，飽和粘土的有效應(yīng)力與孔隙比之間存在唯一關(guān)系。也就是說，對(duì)于所有的正常固結(jié)排水和不排水三軸試驗(yàn)來說，應(yīng)力和比容之間有唯一的關(guān)系，與排水條件無關(guān)。因此由CID 試驗(yàn)應(yīng)力路徑族形成的曲面和由CIU

4、試驗(yàn)應(yīng)力路徑族形成的曲面應(yīng)是同一個(gè)曲面。換句話說，所有正常固結(jié)三軸試驗(yàn)的應(yīng)力路徑都在這個(gè)面上。這個(gè)曲面，稱為Roscoe面。圖4 CID試驗(yàn)和CIU試驗(yàn)等含水量線對(duì)任一孔隙比e定義一個(gè)等效應(yīng)力，是各向等壓正常固結(jié)達(dá)到給定孔隙比時(shí)的固結(jié)壓力。因此，對(duì)于任一比容值： （5） 在平面上，Roscoe曲面被歸一為一條曲線。圖5 Roscoe面2 Hvorslev 面在歸一化坐標(biāo)平面上，可以直接比較超固結(jié)土樣排水和不排水三軸試驗(yàn)的破壞點(diǎn)。圖6 引自Parry (1960）用Weald 粘土重塑制成的超固結(jié)土樣進(jìn)行排水和不排水三軸試驗(yàn)的結(jié)果。破壞點(diǎn)軌跡接近成一條直線。在圖6-12 中，把破壞點(diǎn)軌跡簡(jiǎn)化成一

5、條直線AB 。OA 相當(dāng)于受拉應(yīng)力破壞，斜率為3 。直線AB 限制在直線OA 的右邊，臨界狀態(tài)線（點(diǎn)B）的左邊。當(dāng)然，如果土體能承受拉應(yīng)力，相應(yīng)的張拉破壞線在OA 線的左邊。圖6超固結(jié)土樣排水和不排水三軸試驗(yàn)破壞狀態(tài)通常把圖6-12 中破壞點(diǎn)軌跡稱為Hvorslev 面。在歸一化坐標(biāo)平面上，Hvorslev 面的方程為： （6.3.6）式中 縱坐標(biāo)上截矩；直線斜率。圖7 Hvorslev面圖8 不同超固結(jié)比土樣的CIU 試驗(yàn)簡(jiǎn)化應(yīng)力路徑 Parry ( l958）指出，超固結(jié)土樣的應(yīng)力路徑，在達(dá)到破壞點(diǎn)后應(yīng)變?cè)龃髸r(shí)趨向臨界狀態(tài)。超固結(jié)比值（）不同的上樣，不排水三軸試驗(yàn)的歸一化應(yīng)力路徑可簡(jiǎn)化為如

6、圖8所示。各種超固結(jié)比值土樣的應(yīng)力路徑都趨向臨界狀態(tài)線，與初始的狀態(tài)無關(guān)達(dá)到臨界狀態(tài)需要有大的應(yīng)變，這樣程度的應(yīng)變?cè)谌S儀中是不能產(chǎn)生的。對(duì)超固結(jié)土樣破壞后趨向臨界狀態(tài)，至今尚未有令人信服的證據(jù)。6.3.3完全的狀態(tài)邊界面在空間中，正常固結(jié)和超固結(jié)土樣的應(yīng)力路徑不能超過Roscoe面和Hvorslev面，處在這兩個(gè)面包圍的空間中。正常固結(jié)土應(yīng)力路徑都在Roscoe面上，超固結(jié)狀態(tài)用位于該面下面的傲表示，在該面以上是不可能有點(diǎn)來表示應(yīng)力狀態(tài)的。Roscoe面成為個(gè)邊界，在該而的面土或以下是可能的狀態(tài)，在該面以上是不可能的狀態(tài)，Roscoe面稱為狀態(tài)邊界面。超固結(jié)土樣的應(yīng)力路徑在土樣破壞時(shí)到達(dá)Hv

7、orslev面，在土樣破壞后應(yīng)變?cè)龃髸r(shí)趨向臨界狀態(tài)。Hvorslev面也是一個(gè)邊界，在該面的面上或以下是可能的狀態(tài)，在該面以上是不可能的狀態(tài)，Hvorslev面也稱為狀態(tài)邊界面。因?yàn)橥ǔ＜僭O(shè)土不能承受有效拉應(yīng)力，狀態(tài)邊界面限于不能小于零的情況。當(dāng)?shù)扔诹銜r(shí)，所以， 。因此，狀態(tài)邊界面受到對(duì)軸傾斜坡度為3 比1 的平面所限制。這樣由Roscoe 面、Hvorslev 面和對(duì)軸傾斜坡度為3 比1 的平面就構(gòu)成了一個(gè)完全的狀態(tài)邊界面。在三個(gè)面包圍的空間中的狀態(tài)是可能的狀態(tài)，在三個(gè)面以外空間中的狀態(tài)是不可能的狀態(tài)。在空間中的完全的狀態(tài)邊界面如圖6-14 所示。在歸一化坐標(biāo)平面上的完全的狀態(tài)邊界面如圖6-

8、15 所示。圖6-14 空間中的完全的狀態(tài)邊界面圖6-15 平面上完全的狀態(tài)邊界面 Hvorslev 狀態(tài)邊界面的方程前面已經(jīng)得到，如式6.3.6 所示。以下兩節(jié)討論Roscoe 狀態(tài)邊界面的方程6 . 3 . 4 能量方程 土體在外力作用下，發(fā)生體積應(yīng)變?cè)隽亢图羟袘?yīng)變?cè)隽?。體積應(yīng)變和剪切應(yīng)變分別由彈性變形和塑性變形兩部分組成，其表達(dá)式為： （6.3.8） 相應(yīng)外力做功記為： （6.3.9）其中一部分為可恢復(fù)的彈性能，一部分為不可恢復(fù)的耗散功（或塑性功），即 （6.3.10） 彈性能和耗散功分別記為： （6.3.11） （6.3.12）在劍橋模型中，假定彈性體積應(yīng)變可以由各向等壓固結(jié)試驗(yàn)中的回

9、彈曲線求得，即 （6.3.13） 它還假定剪切變形中的彈性部分等于零，亦就是說，假定一切剪應(yīng)變都是不可恢復(fù)的，于是式6.3.8可改寫為： （6.3.14） 結(jié)合式6.3.11和式6.3.13，并考慮到 ，得 （6.3.15）圖6-16 表示土樣在單剪時(shí)的變形情況。土樣高為 ，水平截面積為。剪切變形后，水平位移為，豎向位移為，如圖6-16 中所示。在剪切變形過程中，正應(yīng)力和剪應(yīng)力所做的功等于。假設(shè)由于摩擦所產(chǎn)生的能量消耗與摩擦系數(shù)，法向力和水平向位移成正比。同時(shí)假設(shè)正應(yīng)力和剪應(yīng)力所做的功等于摩擦產(chǎn)生的能量消散，于是下式成立 （6.3.16）式6.3.16也可改寫為 （6.3.17）圖6-16 單

10、剪時(shí)上樣的變形式式6.3.17表示值不但與摩擦系數(shù)有關(guān)，也與土體的剪脹性有關(guān)。為了適用更一般的情況采用等效的符號(hào)改寫式6.3.17，得 （6.3.18）式中負(fù)號(hào)是由于代表膨脹引起。這也是劍橋模型的假設(shè)之。將式6.3.18 代人式6.3.12 ，并考慮，得 （6.3.19）結(jié)合式6.3.9，式6.3.10，式6.3.15 和式6.3.19，得到能量方程 （6.3.20）6.3.5 劍橋模型屈服面方程劍橋模型屈服面在空間即為Roscoe 狀態(tài)邊界面。在劍橋模型中，假設(shè)土體是加工硬化材料，并服從相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)規(guī)則。因此，可以假定其塑性勢(shì)面和屈服面是重合的。在圖6-17 中，應(yīng)力平面和應(yīng)變平面重合，曲線

11、AB 為屈服軌跡，為屈服時(shí)塑性應(yīng)變?cè)隽?，為塑性體積應(yīng)變?cè)隽糠至?，為塑性剪切?yīng)變?cè)隽糠至俊?圖6-17 屈服時(shí)塑性應(yīng)變?cè)隽扛鶕?jù)正交定律，在屈服軌跡上任何一點(diǎn)Q 處，應(yīng)滿足下列條件： （6.3.21）式6.3.21 的幾何意義是塑性應(yīng)變?cè)隽颗c過Q 點(diǎn)的屈服面法線方向重合。由能量方程式6.3.20得 （6.3.22）結(jié)合式6.3.7 、式6.3.13、式6.3.21和式6.3.22 ，得 （6.3.23）將式6.3.23 積分，可得 （6.3.24）式中 積分常數(shù)。如果屈服面軌跡經(jīng)過正常固結(jié)線上一點(diǎn)，則 （6.3.25）或已知屈服面軌跡經(jīng)過臨界狀態(tài)線上點(diǎn)，則 （6.3.26）將式6.3.25或式6.

12、3.26代人式6.3.24，可得屈服軌跡在平面上投影的公式： （6.3.27）或 （6.3.28）圖6-17 屈服時(shí)塑性應(yīng)變?cè)隽壳壽E沿著正常固結(jié)線或沿著臨界狀態(tài)線移動(dòng)所形成的曲而就是屈服面，也就是Roscoe狀態(tài)邊界面。在歸一化應(yīng)力平面上，劍橋模刑的屈服面如圖6-18 所示。圖6-18 劍橋模型的屈服面我們已經(jīng)知道，Roscoe面處在正常固結(jié)線和臨界狀態(tài)線之間。已知屈服面軌跡方程，可結(jié)合正常固結(jié)線或臨界狀態(tài)線得到Roscoe。狀態(tài)邊界面方程。劍橋模型假定在同一屈服軌跡上塑性體積應(yīng)變常數(shù)，也就是 （6.3.29）即 （6.3.30）體積應(yīng)變?cè)隽康扔趶椥泽w積應(yīng)變?cè)隽亢退苄泽w積應(yīng)變?cè)隽恐涂杀硎?/p>

13、為： （6.3.31）結(jié)合式6.3.13和式6.3.30，得 （6.3.32）積分式6.3.32，得 （6.3.33）這說明屈服軌跡在平面上的投影，必須落在一根各向等壓固結(jié)回彈曲線上。 設(shè)屈服面與臨界狀態(tài)線上一個(gè)共同點(diǎn)，它一定落在一根各向等壓固結(jié)回彈曲線上，由式6.3.33，得 （6.3.34）B點(diǎn)在臨界狀態(tài)線上，應(yīng)滿足 （6.3.35） （6.3.36）給合式6.3.28，式6.3.34 和式6.3.35，可以消去和，得到Roscoe 狀態(tài)邊界面的方程，也就是劍橋模型屈服面的方程。 （6.3.37） 同理，考慮屈服面與正常固結(jié)線上一個(gè)共同點(diǎn)，也可得到屈服面方程。A 點(diǎn)也一定落在一根各向等壓固

14、結(jié)回彈曲（線）上，即滿足 （6.3.38）A 點(diǎn)在正常固結(jié)線上，滿足 （6.3.39）結(jié)合式6.3.27，式6.3.38和式6.3.39，可以消去和，得到另一形式的屈服面方程： （6.3.40）式6.3.37和式6.3.40表示同一個(gè)屈服面，兩式應(yīng)相等。幾個(gè)反映土的性質(zhì)的參數(shù)應(yīng)滿足 （6.3.41）圖6-19 劍橋模型在主應(yīng)力空間，劍橋模型的屈服面形式如圖6-19 所示。屈服面形狀為彈頭形。屈服面象一頂帽子，人們稱這類模型為帽子模型( Cap model ）。6 . 4 修正劍橋模型Roscoe 和Burland (1965）對(duì)他們自己提出的劍橋模型作了兩點(diǎn)重要的修正。一是對(duì)劍橋模型的彈頭形屈

15、服面形狀作了修正，認(rèn)為屈服面在平面上應(yīng)為橢圓。修正后的模型通常稱為修正劍橋模型。二是修正了劍橋模型認(rèn)為在狀態(tài)邊界面內(nèi)土體變形是完全彈性的觀點(diǎn)，認(rèn)為在狀態(tài)邊界面內(nèi)，當(dāng)剪應(yīng)力增加時(shí)，雖不產(chǎn)生塑性體積變形，但產(chǎn)生塑性剪切變形。這可認(rèn)為是對(duì)修正劍橋模型的再次修正。 Burland (1965）研究了劍橋模型屈服面與臨界狀態(tài)線交點(diǎn)A 點(diǎn)和與正常固結(jié)線交點(diǎn)B 點(diǎn)的變形情況（圖6-20）。在A 點(diǎn)，上體處于塑性流動(dòng)狀態(tài)，上體體積不變，而。代人下述塑性功增量方程， （6.4.1） 可得 （6.4.2）圖6-20修正劍橋模型的屈服面 在B 點(diǎn)，。代人式6.4.1，得 （6.4.3）滿足式6.4.2和式6.4.3

16、的一般表達(dá)式如下 （6.4.4） 結(jié)合式6.4.1和式6.4.4，得 （6.4.5）由流動(dòng)規(guī)則，上式可改寫為： （6.4.6）積分上式，根據(jù)邊界條件，可得 （6.4.7）上式可改寫為 （6.4.8） 上式在平面為橢圓方程，橢圓中心為（圖6-20 ）。與實(shí)測(cè)結(jié)果比較，由劍橋模型計(jì)算得到的應(yīng)變值，一般偏大，由修正劍橋模型得到的計(jì)算應(yīng)變值，一般偏小，但總的情況，修正劍橋模型比劍橋模型好一些。 劍橋模型認(rèn)為在狀態(tài)邊界面內(nèi)，土體變形是完全彈性的。Roscoe 和Burland ( 1968 ）對(duì)他們自己提出的觀點(diǎn)作了修正。他們認(rèn)為在狀態(tài)邊界面內(nèi)時(shí)，當(dāng)剪應(yīng)力增加時(shí)，不產(chǎn)生塑陛體積變形，但產(chǎn)生塑性剪切變形。

17、在狀態(tài)邊界面內(nèi)存在個(gè)新的屈服面，在平面上如圖6-21 中所示。整體屈服面由修正劍橋模型屈服面和新屈服面組成。 為屈服面 過點(diǎn)的切線。屈服面和屈服面，在平面上把應(yīng)力區(qū)分成四個(gè)部分。由和包圍的區(qū)域?yàn)閺椥詤^(qū)，應(yīng)力點(diǎn)在該區(qū)土體只發(fā)生彈性變形。由和包圍形成的區(qū)域，土體屈服時(shí)，塑性應(yīng)變計(jì)算同修正劍橋模型。由和切線圍成的區(qū)域其塑性剪切變形增量為。由切線和圍成的區(qū)域中塑性變形為三部分之和，塑性剪切變形增量，和塑性體積變形增量。在屈服面內(nèi)，當(dāng)剪應(yīng)力增加，應(yīng)力狀態(tài)接觸到新屈服面時(shí)，如圖中應(yīng)力路徑，在加載條件下，土體的塑性剪切變形可表示為： （6.4.9）式中，下標(biāo)表示塑性體積變形不變。通過試驗(yàn)測(cè)定的關(guān)系，由式6.

18、4.19可以得到塑性剪切應(yīng)變值。圖6-21 狀態(tài)邊界面內(nèi)的新屈服面6 . 6 Lade-Duncan模型Lade-Duncan （1975）模型把土體視為加工硬化材料，采用Lade屈服準(zhǔn)則，并認(rèn)為材料服從不相關(guān)聯(lián)流動(dòng)準(zhǔn)則，硬化規(guī)律采用塑性功硬化規(guī)律。該模型在應(yīng)力空間中屈服面形狀是開口曲邊棱錐面。后來，Lade（1977 , 1979）對(duì)1975 年提出的模型進(jìn)行修正和完善，在開口曲邊棱錐面上加了個(gè)球形屈服面，成了又一種帽子模型。這里只限于介紹Lade-Duncan ( 1975）模型的基本概念，對(duì)Lade (1977，1979）提出的修正模型這里不作介紹。 Lade (1972）根據(jù)對(duì)砂上的真

19、三軸試驗(yàn)，提出Lade 屈服條件，其表達(dá)式為： （6.6.1）式中 分別為應(yīng)力張量第一不變量和第三不變量；材料參數(shù)，是應(yīng)力水平的函數(shù)，當(dāng)土體破壞時(shí)，是材料常數(shù)。Lade屈服準(zhǔn)則在主應(yīng)力空間和平面上的屈服面形狀分別如圖6-24（b）和（a）所示。隨著塑性變形的發(fā)展，土體中應(yīng)力的增大，屈服而擴(kuò)大。該模型中破壞面是極限狀態(tài)的屈服面。 Lade-Duncan (1975）模型認(rèn)為材料服從不相關(guān)聯(lián)流動(dòng)準(zhǔn)則。因此，尚需確定塑性勢(shì)函數(shù)。該模型認(rèn)為塑性勢(shì)函數(shù)同屈服函數(shù)具有相同的形式，其表達(dá)式為 （6.6.2） 式中 塑勝勢(shì)函數(shù)參數(shù)，可由試驗(yàn)確定。 （a）平面 （b）主應(yīng)力空間圖6-24 Lade-Duncan 模型屈服面在三軸試驗(yàn)中，根鋸流動(dòng)規(guī)則，可得到 （6.6.3） （6.6.4）定義塑勝泊松比為： （6.6.5）將式6.6.3 和式6.6.4代人式6.6.5，解出，得 （6.6.6） 由上式可看出值是隨著加載過程變化的。在計(jì)算值后，可根據(jù)式6.6.1 計(jì)算相應(yīng)的值。試驗(yàn)資料表明，塑勝