第六章第四節(jié)

1、第四節(jié)萬有引力理論的成就核心素養(yǎng)定位1了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用。2掌握計(jì)算天體質(zhì)量和密度的基本思路。3掌握運(yùn)用萬有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)分析天體運(yùn)動(dòng)問題的基本思路。4掌握天體的線速度、角速度、周期、向心加速度與軌道半徑的關(guān)系。5掌握雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及其問題的分析方法。01課前自主學(xué)習(xí) KEQIANZiZHUXUEXI =提示：(1) X 人們依據(jù)萬有引力定律計(jì)算軌道發(fā)現(xiàn)的是海王星等，不是天王 星。(2) V海王星的發(fā)現(xiàn)有力證實(shí)了萬有引力定律的正確性。(3) X 計(jì)算出海王星軌道的是亞當(dāng)斯和勒維耶。想一想1969年7月20日，美國宇航員阿姆斯特朗在月球上烙下了人類第一只腳印(如圖)

2、，邁出了人類征服宇宙的一大步。(1) 宇航員在月球上用彈簧秤測(cè)出質(zhì)量為m的物體重力為F，已知月球半徑為R,怎樣利用這個(gè)條件估測(cè)月球的質(zhì)量？(2) 宇航員駕駛指令艙繞月球表面飛行一周的時(shí)間為T,已知月球半徑為R，怎樣利用這個(gè)條件估測(cè)月球質(zhì)量？2提示：(1)設(shè)月球質(zhì)量為M，則F = GP，故M = Gm。(2)設(shè)月球質(zhì)量為M，宇航員與指令艙總質(zhì)量為 m'，由萬有引力提供向心力,22廠3Mm , 4 n4 冗R得G R2 = m 斤2R，則得M =石產(chǎn)。02課堂探究評(píng)價(jià) KETANGTAbJ)IU?INQA課堂任務(wù)天體質(zhì)量和密度的計(jì)算卡丈迪許： 能稱出地球 質(zhì)雖的人活動(dòng)i：甲圖中卡文迪許“能

3、稱出地球質(zhì)量”是怎么一回事?提示：卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室測(cè)出了引力常量 G的值。若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響,在地球表面上物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力。由mg= GMRm得: M=，知道了引力常量G、代入數(shù)據(jù)（地球表面g= 9.8 m/s2,地球半徑R= 640024km），就可以算出地球的質(zhì)量 M = 6.0X10 kg。活動(dòng)2:乙圖中太陽的質(zhì)量可以用活動(dòng)1的方式來計(jì)算嗎?提示：如果知道相應(yīng)的數(shù)據(jù)也可以，但直接數(shù)據(jù)不好獲得，可以有更好的方法來計(jì)算。如果知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期 T和它與太陽的距離r，可以利用太M太m地4 n陽對(duì)地球的萬有引力提供地球需要的向心力來求太陽質(zhì)量。由G =m地亍r.23

4、4 nr得 M 太-Gt?；顒?dòng)3:討論、交流、展示，得出結(jié)論。（1）天體質(zhì)量的計(jì)算 重力加速度法若已知天體（如地球）的半徑R及其表面的重力加速度g,根據(jù)在天體表面上 物體的重力近似等于天體對(duì)物體的萬有引力，得 mg= Grt，解得天體的質(zhì)量為 M二gR，g、R是天體自身的參量，所以該方法俗稱“自力更生法”。 環(huán)繞法借助環(huán)繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)的行星 （或衛(wèi)星）計(jì)算中心天體的質(zhì)量，俗稱“借助外援法”。常見的情況如下:萬有引力 提供向心力中心天體的質(zhì)量說明Mmr廠2.,rvG 廠為行星（或衛(wèi)星）的 軌道半徑為行 星（或衛(wèi)星）繞中心天體 運(yùn)動(dòng)的線速度=角速度 和周期 “環(huán)繞法”求得的是中八Mm2Gr2

5、3M= rGMm4k_Gr 皿卄廠rI%A 23> ,4tt rM= yGT2心天體的質(zhì)hb而不能求 繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng) 的行星（或衛(wèi)星）的質(zhì)量J（2）天體密度的計(jì)算方法1:若天體的半徑為R,由“重力加速度法”可知天體的質(zhì)量為M = gR , 那么由p= V及v= 4 nR3求得天體的密度p= 4Rg°方法2:若中心天體的半徑為R由“環(huán)繞法”可知中心天體的質(zhì)量M =舞（r、T為環(huán)繞天體的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期），那么由 尸V及V=4 nR3求得中心天體 的密度P=為3。當(dāng)行星（或衛(wèi)星）環(huán)繞中心天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑 r等于3 n3 n天體半徑r,則p= g3t2°

6、p= gt2給出了一種簡(jiǎn)單地求中心天體密度的方法，但是千萬要注意這里的T是環(huán)繞中心天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的周期，而不是在其他軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期注意區(qū)分R、r、h的意義,般情況下，R指中心天體的半徑，r指行星（或衛(wèi)星）的軌道半徑，h指行星（或衛(wèi)星）距離中心天體表面的高度,r = R+ h°例1 土星周圍有美麗壯觀的“光環(huán)”，組成環(huán)的顆粒是大小不等、線度從1 um到10 m的巖石、塵埃，類似于衛(wèi)星，它們與土星中心的距離從7.3X104 km延伸到1.4X105 km。已知環(huán)的外緣顆粒繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期約為14 h,引力常量為6.67X10"1 Nm2/kg2，則土星的質(zhì)量約為（

7、估算時(shí)不考慮環(huán)中顆粒間的相 互作用）（）A . 9.0X 1016 kgB. 6.4x 1017 kg實(shí)踐探究C. 9.0x 1025 kgD. 6.4x 1026 kg（1） 土星“光環(huán)”的外緣顆粒為什么能繞土星做圓周運(yùn) 動(dòng)？提示：這些顆粒受到土星的萬有引力，萬有引力提供了顆粒繞土星做圓周運(yùn) 動(dòng)的向心力。（2）用什么方式來計(jì)算土星的質(zhì)量？提示：可以把土星周圍的這些顆粒當(dāng)做土星的衛(wèi)星，找到其軌道半徑和繞土 星運(yùn)動(dòng)的周期，利用“環(huán)繞法”來求出土星的質(zhì)量規(guī)范解答土星“光環(huán)”的外緣顆粒繞土星做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提Mm 4#4訐35供向心力：G-mmr，解得M = "GT2。其中r為軌道

8、半徑，大小為1.4X 10 km，T為繞土星運(yùn)動(dòng)的周期，約為14 h,代入數(shù)據(jù)得：M6.4X 1026 kg，D正確。完美答案D一【規(guī)律點(diǎn)撥利用環(huán)繞法只能求中心天體質(zhì)量，而不能求周圍環(huán)繞衛(wèi)星或行星 的質(zhì)量。變式訓(xùn)練1若地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期及公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為T和R,月球繞地球公轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為t和r，則太陽質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為（）D.薛A R3t2答案r3M太 r3 t2 R3t2解析m2r得M2，則 =Z2 73=苫2, A正確。11M 地 I r r I例2 （多選）2011年7月在摩洛哥墜落的隕石被證實(shí)來自火星，某同學(xué)想根據(jù)平時(shí)收集的部分火星資料（如圖所示）計(jì)算出火星的密度，再與

9、這顆隕石的密度進(jìn)行比較。下列計(jì)算火星密度的式子，正確的是(引力常量G已知，忽略火星自轉(zhuǎn)的影響)()衣摩洛哥發(fā)現(xiàn)的火星隕石嚮歸歸霸J火星的小檔案：I臣徑品二仍4訕I(yè) 質(zhì) £,1/=6.4219 x IO23 kgI MrfnlE力如【速度為|二in/s2 近地衛(wèi)星周期化3.4 hA 3goA - P2n3d3nC.尸gt26MD. pnd3實(shí)踐探究I (1)由圖片中火星的質(zhì)量和直徑能求火星密度嗎？由重力加速度呢?提示：知道直徑就可以計(jì)算體積，又知道質(zhì)量，由尸M可以直接求火星密度。知道重力加速度和直徑也可以通過“重力加速度法”求火星密度。(2)火星近地衛(wèi)星的周期與火星密度有什么關(guān)系? 提

10、示：尸Gn。規(guī)范解答由V, V3冗；)，得p n3, D正確；由G豐mgo, pX2Jv3兀(2)，聯(lián)立解得 尸23，a正確；根據(jù)近地衛(wèi)星的周期與中心天體密3冗度的關(guān)系尸gT2可知，C正確。完美答案ACD一規(guī)律點(diǎn)拔天體密度的計(jì)算可以說是天體質(zhì)量計(jì)算的延伸，它可以借助于天體質(zhì)量的計(jì)算，也可以用自己特有的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。變式訓(xùn)練2近年來，人類發(fā)射的火星探測(cè)器已經(jīng)在火星上著陸，正在進(jìn)行著激動(dòng)人心的科學(xué)探索（如發(fā)現(xiàn)了冰），為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星奠 定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。如果火星探測(cè)器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并測(cè)得它 運(yùn)動(dòng)的周期為T，則火星的平均密度p的表達(dá)式為（k為某個(gè)常量）（）k尸Tkp

11、= t2A. p= kTC.尸 kT2B.D.答案 D解析 根據(jù)萬有引力定律得gMF二mR,可得火星質(zhì)量m二 爭(zhēng)，又火星的體積v= 3nR3，故火星的平均密度p= M=首罕=¥，d正確。課堂任務(wù)天體運(yùn)動(dòng)各物理量與軌道半徑的關(guān)系 仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動(dòng)”。® ®活動(dòng)1：地球繞太陽轉(zhuǎn)一周的時(shí)間和金星、火星相比是長還是短呢?提示：無論地球、金星還是火星，它們繞太陽的運(yùn)動(dòng)都是萬有引力提供向心, Mm力: G孑=m。由此可得出T = 2n-3rGM，即r越大，T越大。故地球繞太陽一周的時(shí)間比金星長，比火星短。活動(dòng)2：如果知道地球繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑和太陽的質(zhì)量，我

12、能知道地球公轉(zhuǎn) 的線速度嗎？M 2提示：可以。仍然利用萬有引力提供向心力，即 gM?二my，由此可得出vGMO活動(dòng)3:討論、交流、展示，得出結(jié)論。(1) 天體運(yùn)動(dòng)的分析與計(jì)算 基本思路：一般行星或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需向心力由中 心天體對(duì)它的萬有引力提供，即 F引二F2 2 常用關(guān)系： a.Gr ma= m = m3 2r = mJr。rrTb.忽略自轉(zhuǎn)時(shí)，GR? = mg(物體在天體表面時(shí)受到的萬有引力等于物體重 力)，整理可得：GM = gR2,該公式通常被稱為“黃金代換式”，即當(dāng) 時(shí)，可以用gR2來代換GM。(2)天體運(yùn)動(dòng)的各物理量與軌道半徑的關(guān)系設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為

13、M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 Mmv2/曰G_= m_得 v=r r由GrM, r越大，v越小。GM不知道G啤二m32r得片r，r越大，3越小。3Gr = m冷jr得T = 2叭GM，越大，T越大。 由GT? = ma得a= 爭(zhēng)，r越大，a越小。以上結(jié)論可總結(jié)為：“一定則四定(即：r定了， 則越慢”。由由V、3、T、a都定了)，越遠(yuǎn)例3俄羅斯的“宇宙一2251 ”衛(wèi)星和美國的“銥一33”衛(wèi)星在西伯利亞上 空約805 km處發(fā)生碰撞，這是歷史上首次發(fā)生的完整在軌衛(wèi)星碰撞事件。碰撞 過程中產(chǎn)生的大量碎片可能會(huì)影響太空環(huán)境。假定有甲、乙兩塊碎片繞地球運(yùn)動(dòng) 的軌道都是圓，甲的運(yùn)行速率比乙的大

14、，貝U下列說法中正確的是()A 甲的運(yùn)行周期一定比乙的長B甲距地面的高度一定比乙的高C甲的向心力一定比乙的小實(shí)踐探究D甲的向心加速度一定比乙的大I (1)中心天體相同的兩個(gè)環(huán)繞天體，速率大的半徑如何？提示：速率大的半徑小。(2)由環(huán)繞天體軌道半徑的情況可以判斷哪些物理量? 提示：由軌道半徑可以知道V、3、T、a的情況。M 2規(guī)范解答甲的速率大，由G-pm= mr，得v=V、3、GM，由此可知，甲碎片 m菩，得T=的軌道半徑小，距地面的高度小，故b錯(cuò)誤；由GMmm=a a2 34 nrGM，可知甲的運(yùn)行周期小，故 A錯(cuò)誤；由于未知兩碎片的質(zhì)量，無法判斷向心力的大小，故C錯(cuò)誤；由一孑GMm= ma

15、，得a=書，可知甲的向心加速度比乙的大，故D正確。完美答案D一規(guī)律點(diǎn)撥同一中心天體的環(huán)繞天體的 V、3、T、a的情況由軌道半徑r確定。以r為分析的核心，由于是唯一確定，隨便知道哪個(gè)已知量，剩下的四個(gè)物理量也都確 定了。變式訓(xùn)練3有的天文學(xué)家傾向于把太陽系外圍較小的天體叫做“矮行 星”，而另外一些人把它們叫做“小行星”，谷神星就是小行星之一?，F(xiàn)有兩個(gè) 這樣的天體，它們的質(zhì)量分別為mi和m2,繞太陽運(yùn)行的軌道半徑分別是ri和匕, 求:(1) 它們與太陽間的萬有引力之比;2 mir2 (1) 2 m2ri它們的公轉(zhuǎn)周期之比。答案解析(1)設(shè)太陽質(zhì)量為M,由萬有引力定律得，兩天體與太陽間的萬有引力m

16、21GMm2r22 mir22 m2ri(2)兩天體繞太陽的運(yùn)動(dòng)可看成勻速圓周運(yùn)動(dòng),向心力由萬有引力提供，則有:所以，天體繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期T = 2Ti則兩天體繞太陽的公轉(zhuǎn)周期之比衿=o雙星問題課堂任務(wù)甲:雙星實(shí)物乙:雙星軌跡丙:雙星在某兩個(gè)時(shí)刻位置仔細(xì)觀察下列圖片，認(rèn)真參與“師生互動(dòng)”?；顒?dòng)1:什么是雙星系統(tǒng)？提示：兩個(gè)離得比較近的天體，在彼此間的萬有引力作用下繞兩者連線上的 某一點(diǎn)為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，這樣的兩顆星組成的系統(tǒng)稱為雙星系統(tǒng)。 如圖甲所示。活動(dòng)2：雙星系統(tǒng)的向心力由什么力來提供？提示：兩顆星的萬有引力提供彼此的向心力，所以兩顆星的向心力大小是相 等的?；顒?dòng)3：雙星的角速度、周期一樣

17、嗎?提示：雙星總是在它們連線的兩個(gè)端點(diǎn)，相同時(shí)間一定轉(zhuǎn)同樣圈數(shù)，其角速 度、周期是一樣的?；顒?dòng)4：討論、交流、展示，得出結(jié)論。(1) 雙星系統(tǒng)：兩個(gè)離得比較近的天體，在彼此間的萬有引力作用下繞著兩者 連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩者的距離不變，這樣的兩顆星組成的系統(tǒng)稱為 雙星系統(tǒng)。(2) 雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供(如圖)，即Gmim22L2- = mi 3 ri 兩顆星的運(yùn)動(dòng)周期及角速度都相同，即 Tl= T2, 3=32 兩顆星的軌道半徑與它們之間距離的關(guān)系為：ri + r2= L(3) 雙星的兩個(gè)結(jié)論r1 m24 nL3運(yùn)動(dòng)半徑與質(zhì)量成反比，即不；質(zhì)量之和：

18、mi + m2=石嚴(yán)例4兩個(gè)靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠(yuǎn)，它們以其連線上某一點(diǎn)O為圓心各自做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩者的距離保持不變，科學(xué)家把這樣的兩個(gè)天體 稱為“雙星”，如圖所示。已知雙星的質(zhì)量分別為mi和m2,它們之間的距離為L,求雙星的運(yùn)行軌道半徑ri和r2及運(yùn)行周期T。實(shí)踐探究(1)雙星靠什么提供它們運(yùn)轉(zhuǎn)的向心力?提示：各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供。(2) 雙星角速度有什么特點(diǎn)?提示：相等。規(guī)范解答由雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)可知 門+ r2= L,對(duì)mi:mim22mi m22Gl mi 3 ri； 對(duì) m2： G m2w2。Lmir2 =mi + m2卄、，、一eLm2聯(lián)立解得ri

19、 =mi + m2Lm2mi+ m2.mm24 n再由L2 = mi亍2門及ri =4L3G mi + m2完美答案riLm2Lmi:2= :mi + m2mi+ m22一3T=4 n LG mi + m2變式訓(xùn)練4兩個(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的萬有引力作用下，繞連 線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為R,其運(yùn)動(dòng)周期為T,求兩星的總質(zhì)量。23答案4nR_解析 設(shè)兩星球質(zhì)量分別為 mi和m2,做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為ri和2,mim24 n2則由萬有引力提供向心力得 G-rt-= miyrimim24 n GR廠=m2斤-r-且 ri + r-= R4 2r3由式聯(lián)立可得mi

20、 + m-= GT-。03h課后課時(shí)作業(yè) KEHOUKESH1ZUOYE=A組：合格性水平訓(xùn)練i. （發(fā)現(xiàn)未知天體）（多選）下面說法中正確的是（）A 海王星是人們依據(jù)萬有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的B 天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的C.天王星的運(yùn)動(dòng)軌道偏離是根據(jù)萬有引力定律計(jì)算出來的，其原因是由于天王星受到軌道外面其他行星的引力作用D .冥王星是人們依據(jù)萬有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的答案 ACD解析 人們通過望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)了天王星，經(jīng)過仔細(xì)的觀測(cè)發(fā)現(xiàn)，天王星的運(yùn)行 軌道與根據(jù)萬有引力定律計(jì)算出來的軌道總有一些偏差，于是認(rèn)為天王星軌道外 面還有一顆未發(fā)現(xiàn)的行星，它對(duì)天王星的吸引使其軌道

21、產(chǎn)生了偏差。英國的亞當(dāng) 斯和法國的勒維耶根據(jù)天王星的觀測(cè)資料，各自獨(dú)立地利用萬有引力定律計(jì)算出 這顆新行星的軌道，后來用類似的方法發(fā)現(xiàn)了冥王星。故A、C、D正確，B錯(cuò)誤。2. （天體運(yùn)動(dòng)各參量的比較）科學(xué)家們推測(cè)，太陽系的第十顆行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠(yuǎn)在太陽的背面，人類一直未能發(fā)現(xiàn)它，可以說是“隱 居”著的地球的“孿生兄弟”。由以上信息我們可能推知 （）A .這顆行星的公轉(zhuǎn)周期與地球相等B .這顆行星的自轉(zhuǎn)周期與地球相等C.這顆行星質(zhì)量等于地球的質(zhì)量D .這顆行星的密度等于地球的密度答案 A解析 由題意知，該行星的公轉(zhuǎn)周期應(yīng)與地球的公轉(zhuǎn)周期相等，這樣，從地球上看，它才能永遠(yuǎn)在太

22、陽的背面。故 A正確。行星的自轉(zhuǎn)周期、質(zhì)量和密度都只與行星本身有關(guān)，而與繞中心天體如何運(yùn)行無關(guān)，B、C、D錯(cuò)誤3. （天體運(yùn)動(dòng)各參量的比較）假設(shè)地球和火星都繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球到太陽的距離小于火星到太陽的距離，那么 （）A .地球公轉(zhuǎn)的周期大于火星公轉(zhuǎn)的周期B .地球公轉(zhuǎn)的線速度小于火星公轉(zhuǎn)的線速度C.地球公轉(zhuǎn)的加速度小于火星公轉(zhuǎn)的加速度D .地球公轉(zhuǎn)的角速度大于火星公轉(zhuǎn)的角速度答案 DGM'2r得：公轉(zhuǎn)周期T = 2n2Mm2n2v_解析根據(jù)G= mi 丁 r = m r = ma= m®公轉(zhuǎn)線速度v =寸曽，公轉(zhuǎn)加速度a=號(hào)里，公轉(zhuǎn)角速度3= 仔皿，分析可 得A

23、、B、C錯(cuò)誤，D正確4. （天體密度的計(jì)算）地球表面的平均重力加速度為 g,地球半徑為R,萬有引力常量為G,用上述物理量估算出來的地球平均密度是（3g3gA.4tRGB.4 nR2GC.gRGD.RG2答案 A解析 地球表面有= mg,得M = gR ，又由 尸=4 ，由得出尸43Rg。故選A05. （天體質(zhì)量的計(jì)算）（多選）通過觀測(cè)冥王星的衛(wèi)星，可以推算出冥王星的質(zhì)量。假設(shè)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，除了引力常量外，至少還需要兩個(gè)物理 量才能計(jì)算出冥王星的質(zhì)量。這兩個(gè)物理量可以是 （）A.衛(wèi)星的速度和角速度B .衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑C.衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度D .衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑答案 A

24、D解析r ，根據(jù)萬有引力提供向心力,2則有GMm根據(jù)線速度和角速度可以求出半徑23=m*，整理可得M = G-，故A正確；由于衛(wèi)星的質(zhì)量 m對(duì)圓周運(yùn)動(dòng) rGw無影響，故B、C錯(cuò)誤；若知道衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑，則=m年2r，整理得M =察，故D正確。6. （天體運(yùn)動(dòng)各參量的比較）兩顆行星A和B各有一顆衛(wèi)星a和b,衛(wèi)星軌道 接近各自行星的表面，如果兩行星的質(zhì)量之比為MA= p,兩行星半徑之比為Ra= q,Ta則兩個(gè)衛(wèi)星的周期之比±為（）A. pq B. q p C. p . q D. q .q答案 D解析 衛(wèi)星在行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則7. （雙星問題）

25、（多選）宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連 線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不會(huì)因?yàn)槿f有引力的作用而吸引到一起。 如圖所示，某雙星系統(tǒng)中 A、B兩顆天體繞0點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的軌道半 徑之比rA : rB= 1 : 2，則兩顆天體的（）A .質(zhì)量之比mA : mB = 2 : 1B .角速度之比3A :咖=1 : 2C.線速度大小之比VA : vb= 1 : 2D .向心力大小之比Fa : Fb= 2 : 1 答案 AC解析 雙星都繞0點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由兩者之間的萬有引力提供向心力,角速度相等，設(shè)為 ，設(shè)A、B之間的距離為L。根據(jù)牛頓第二定律，對(duì) A星:-mAmB2m

26、AmB2G l2 = mA g rA ；對(duì) B 星：G l=mBw rB ，聯(lián)立得 mA : itib= rB rA= 2 : 1，A正確；根據(jù)雙星系統(tǒng)的特點(diǎn)有：角速度之比 gca : 3B= 1 : 1， B錯(cuò)誤;由v= 得線速度大小之比va ： vb = rA : rB= 1 ： 2，C正確；向心力大小之比Fa ：Fb= 1:1，D 錯(cuò)誤。8. （綜合）若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：將一片羽毛和一 個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放，二者幾乎同時(shí)落地。若羽毛和鐵錘是從高度 為h處下落，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面。已知引力常量為 G，月球的半徑為R。求: （不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響）（1）月

27、球表面的自由落體加速度大小 g月；（2）月球的質(zhì)量M ;（3）月球的密度。答案書鏗 諾掙解析(1)月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)則有 oMm = mg月,h= g月，可得g月=爭(zhēng)。(2)因不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響,2hR2月球的質(zhì)量M =石了 o2hR23h2 nRGt20MGt2月球的密度p= v=4 =3定9. (雙星問題)太陽系以外存在著許多恒星與行星組成的雙星系統(tǒng)，它們運(yùn)行 的原理可以理解為：質(zhì)量為 M的恒星和質(zhì)量為m的行星(M >m)在它們之間的萬 有引力作用下有規(guī)律地運(yùn)動(dòng)著。如圖所示，我們可認(rèn)為行星在以某一定點(diǎn)C為中心、半徑為a的圓周上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圖中沒有表示出恒星)。設(shè)萬

28、有引力常量 為G,恒星和行星的大小可忽略不計(jì)。(1) 試在圖中粗略畫出恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置；(2) 試計(jì)算恒星與點(diǎn)C間的距離和恒星的運(yùn)行速率 v答案(1)見解析、mmGM Ma M + m . a解析（1）恒星運(yùn)動(dòng)的軌道和位置大致如圖。（2）設(shè)恒星與點(diǎn)C間的距離為Rm ,對(duì)行星m： F = m® na對(duì)恒星M : F' = M2Rm根據(jù)牛頓第三定律，F(xiàn)與F '大小相等。又由得：Rm = #a一=Mmv2對(duì)恒星M:mRMGM a 0代入式得：心M：mB組：等級(jí)性水平訓(xùn)練10. （天體運(yùn)動(dòng)各參量的關(guān)系）一行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng)。由天文觀測(cè)可得,其運(yùn)行周期為T,速度為v,引力

29、常量為G,則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（）vD .行星運(yùn)動(dòng)的加速度為答案 B解析 因v =年，所以r =易，C正確；結(jié)合萬有引力定律公式Ta 恒星的質(zhì)量為nG4牯B 行星的質(zhì)量為苛vT2v_=m?，c.行星運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為2nv T可解得恒星的質(zhì)量m=2nG，a正確；因不知行星和恒星之間的萬有引力的大小，2一一、v22n 2 n所以行星的質(zhì)量無法計(jì)算，B錯(cuò)誤；行星的加速度a= r=v VT=，D正確。11. （天體質(zhì)量的計(jì)算）“嫦娥三號(hào)”的環(huán)月軌道可近似看成是圓軌道，觀察“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月軌道上的運(yùn)動(dòng)， 發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過時(shí)間t通過的弧長為I，該弧長對(duì) 應(yīng)的圓心角為0（弧度），如圖所示。已知引力常量為G，由此

30、可推導(dǎo)出月球的質(zhì)量 為（）嫦娥二號(hào)a.qT? b.G2 CGH D而答案 A解析 根據(jù)弧長及對(duì)應(yīng)的圓心角，可得 “嫦娥三號(hào)”的軌道半徑r = 0,根據(jù)0轉(zhuǎn)過的角度和時(shí)間，可得CD=-，由于月球?qū)Α版隙鹑?hào)”的萬有引力提供“嫦娥 三號(hào)”做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，可得= mw2r，由以上三式可得 M = G-1，故12. （綜合）某課外科技小組長期進(jìn)行天文觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)某行星周圍有眾多小衛(wèi)星，這些小衛(wèi)星靠近行星且分布相當(dāng)均勻，經(jīng)查對(duì)相關(guān)資料，該行星的質(zhì)量為M 現(xiàn)假設(shè)所有衛(wèi)星繞該行星的運(yùn)動(dòng)都是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量為Go（1）若測(cè)得離行星最近的一顆衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌道半徑為Ri，若忽略其他小衛(wèi)星對(duì)該衛(wèi)星的影響，求該衛(wèi)星