第四節(jié)二項(xiàng)式定理

1、二項(xiàng)式定理>必過(guò)數(shù)材美1. 二項(xiàng)式定理(1) 二項(xiàng)式定理：(a + b)n= cjn土0討咕+ cjn-kbk+.+ cjjbn(n N*);(2) 通項(xiàng)公式：Tk+1 = cnan kbk,它表示第k+ 1項(xiàng)；二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為cn, 3,，C：；.2. 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)小題體驗(yàn)1. 二項(xiàng)式x+28的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()A. 70B. 28c. 1 120D. 112解析：選 D x + 2 8 展開(kāi)式的通項(xiàng)為 Tr+1= C8x8-* r= C82rx8-4r，令 8 -4r= 0, 得r= 2,二項(xiàng)式x + 2 8的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為c822 = 112.2. (

2、1 2x)7的展開(kāi)式中 x3的系數(shù)為 .解析：Tr+1= c717 r( 2x)r = c7( 2)rxr,令 r= 3.則 x3 的系數(shù)為 c3( 2)3= 35X ( 8) = 280.答案：280廠 13. Vx 4廠 的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有 項(xiàng).<2也丿解析：/+ 1= C8( X)8- rr 16-3r8X；, r為4的倍數(shù),故 r= 0,4,8,共 3 項(xiàng).答案：31. 二項(xiàng)式的通項(xiàng)易誤認(rèn)為是第k項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上是第 k+ 1項(xiàng).2. (a+ b)n與(b+ a)n雖然相同，但具體到它們展開(kāi)式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，所以公式 中的第一個(gè)量a與第二個(gè)量b的位置不能顛倒.系數(shù)是指非字母因

3、數(shù)所有部分，包含符號(hào)，二項(xiàng)式系數(shù)僅指3易混淆二項(xiàng)式中的“項(xiàng)”，“項(xiàng)的系數(shù)”、“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”等概念，注意項(xiàng)的 cn(k = 0,1,，n).小題糾偏1.(2018寧波質(zhì)檢)二項(xiàng)式x - 2X 9展開(kāi)式中,X3項(xiàng)的系數(shù)為()21B.|21D.y解析：選c二項(xiàng)式x-召9展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén) r+1 = C 9Xr| -1 r nr |1 r 9-2rr 2xJ= C*-2 丿x ，令 9 2r = 3,得 r = 3,所以x3項(xiàng)的系數(shù)為c3;所有項(xiàng)系2. (2019嘉興高三測(cè)試)(x + 2)(x+ 1)6的展開(kāi)式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為數(shù)的和為.解析：(x + 1)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1 = c6x6

4、- r,從而含X3的項(xiàng)為x C4x2+ 2C3x3= 55x3, 故x3項(xiàng)的系數(shù)為55;所有項(xiàng)的系數(shù)之和為3X (1 + 1)6=佃2.答案：55192考點(diǎn)一二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)或系數(shù)問(wèn)題題點(diǎn)多變型考點(diǎn)一一多角探明鎖定考向二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題、填 空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題.常見(jiàn)的命題角度有：(1) 求展開(kāi)式中的某一項(xiàng);(2) 求展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù);(3) 由已知條件求n的值或參數(shù)的值.角度一：求展開(kāi)式中的某一項(xiàng)題點(diǎn)全練1.二項(xiàng)式gx2 X；展開(kāi)式中的第4項(xiàng)為()3A. 1 280xB. 1 280C . 240

5、D . 240解析：選A4x2 X 6展開(kāi)式中的第 4 項(xiàng)為 T3+1 = C6(4x2)3 X 3= 1 280X3,選 A.2. (2019浙江名校聯(lián)考)(1 + x 2)( x 2)5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是 ()B. 10C . 32D . 42解析：選D ( x 2)5的展開(kāi)式的通項(xiàng) +1 = C5(x$ r ( 2)r，令號(hào)=0,得r = 5;5r令"2一 + ( 2) = 0,得 r= 1,所以常數(shù)項(xiàng)是 C5( 2)1+ C5( 2)5= 42.角度二：求展開(kāi)式中的項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)3. (2019湖州調(diào)研)在(1 x)5 + (1 x)6+ (1 x)7+ (1 x)8

6、的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是()A. 121B. 74C. 74D. 121解析：選 D 法一：(1 x)5+ (1 x)6+ (1 x)7+ (1 x)8=(1 x j1 (1 xf = (1-xj-(1 - xj=1 1 x =x，(1 x)5 中 x4 的系數(shù)為 c5= 5, (1 x)9 中 x4 的系數(shù)為一c4= 126,得一126+ 5= 121.法二：由題意得含 x3的項(xiàng)的系數(shù)是一 C3 C6 C7 c8= 10 20 35 56= 121.4. (2018天津高考)在總 j的展開(kāi)式中, 解析：X Jx)的展開(kāi)式的通項(xiàng)為x2的系數(shù)為T(mén)r + 1 = C5x5 r-1rC 5x5

7、 3r2令5 -乎=2,解得r = 2.故展開(kāi)式中X2的系數(shù)為1 2c5=5.答案：5角度三：由已知條件求n的值或參數(shù)的值5. (2019浙江考前沖刺)若二項(xiàng)式(2x+ a x)n的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32,x3的系數(shù)是 160,則n =, a=.解析：-2 = 32，n= 5, 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1 = C5（2x） a x?= C52 a x5 ?，當(dāng)5 2 = 3 時(shí)，r= 4,.2X a4= 160,解得 a= ±答案：5 也通法在握求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)的方法求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng) Tk+1 = Cnan kbk的特點(diǎn)，一般需要建立方程求k,

8、再將k的值代回通項(xiàng)求解，注意k的取值范圍(k = 0,1,2,，n).(1) 第m項(xiàng)：此時(shí)k + 1= m,直接代入通項(xiàng)；(2) 常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)保钔?xiàng)中“變?cè)钡哪恢笖?shù)為0建立方程；(3) 有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡哪恢笖?shù)為整數(shù)建立方程.特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解.演練沖關(guān)1. (2019麗水、衢州、湖州三市質(zhì)檢)若x X2的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為一12,則a =;常數(shù)項(xiàng)是解析：由于二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1= C6x6 r 支” =（a）rc6x63r,令 6 3r = 3,則 r=1,所以（一a）C1= 6a= 12, a = 2;令 6 3r =

9、 0,則 r= 2,所以常數(shù)項(xiàng)是（一2）2c2= 4X 15答案：2 602. (2019溫州十校聯(lián)考=60.)已知(1 + x + x2) x+ x3 n(n N*)的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，且x+n中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，不含x1,2< n < 8,貝V n =.解析：(1 + x+ x2) x+卡n的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)即n 4r豐 0,經(jīng)驗(yàn)證得n = 5.x 2嘰因?yàn)閤 + x0的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1= c；xn 4r，所以n 4r 1,答案：5考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)或各項(xiàng)系數(shù)和重點(diǎn)保分型考點(diǎn)一一師生共研典例引領(lǐng)1在二項(xiàng)式(1- 2x)n的展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,則展開(kāi)式的

10、中間項(xiàng)的系數(shù)為()A960B. 960C. 1 120D. 1 680解析：選C 根據(jù)題意，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和也應(yīng)為128，所以在(1 2x)n的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為 256，即2n= 256, n = 8，則(1 2x)8的展開(kāi)式的中間項(xiàng)為第 5項(xiàng), 且T5= C8( 2)4x4= 1 120x4，即展開(kāi)式的中間項(xiàng)的系數(shù)為 1 120 ,故選C.929a1+ a3 + a5 + a7 + a92 .若 x = a° + a1(x 1) + a2(x 1) + ag(x 1),貝V-的值為解析：令 x= 2,得 29= a°+ a1 + a2+ a8+ ag,令

11、x = 0,得 0 = a° a1 + a?+ a$ a?,所以 a1 + a3+ a5+ a?+ a? = a° + a? + a4 + a§ + a$ = 2*.又 x9= 1 + (x 1) 9,其中 T8= C：(x 1)7, 所以a7= C7= 36,故a1+盼硏盼a = 2356=詈.a7369答案：64由題悟法1. 賦值法研究二項(xiàng)式的系數(shù)和問(wèn)題“賦值法”普遍適用于恒等式， 是一種重要的方法， 對(duì)形如(ax+ b)n> (ax2+ bx+ c)m(a, b R)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和， 常用賦值法，只需令x= 1即可；對(duì)形如(ax+ by

12、)n(a, b R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x = y= 1即可.2. 二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法(1) 如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)第；+ 1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；(2) 如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)第呀項(xiàng)與第 詠 + 1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大.即時(shí)應(yīng)用1已知x x n的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中系數(shù)最大 的項(xiàng)為()解析：選A/ jx-1>的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，CS= C5，得n= 7.又展開(kāi)式中第r + 1項(xiàng)的系數(shù)為C9(- 1)r，當(dāng)r = 4時(shí)，C9(- 1)r最大，展開(kāi)式中系數(shù) 最大的項(xiàng)為第5項(xiàng).2.設(shè)(5x x)n的展開(kāi)式的各項(xiàng)

13、系數(shù)之和為 M ,二項(xiàng)式系數(shù)之和為 N，若M N = 240, 則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為 .解析：依題意得，M = 4n= (2n)2, N = 2n,于是有(2n)2 2n= 240, (2n + 15)(2n 16)= 0,2n = 16= 24,解得 n= 4.要使二項(xiàng)式系數(shù) C4最大，只有k= 2,故展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)3= C4(5x)2 ( x)2= 150x3.答案：150x3考點(diǎn)三二項(xiàng)展開(kāi)式的應(yīng)用重點(diǎn)保分型考點(diǎn)一一師生共研典例引領(lǐng)設(shè) a Z,且 0< av 13,若 512 016+ a 能被 13 整除，則 a=()A. 0B. 1C. 11D. 12解

14、析：選D 由于51 = 52 1,2 0160 .J 0161 .J 0152 015 1 ,(52 1)= C0 01652 C2 01652+ 一 C2 01652 + 1,又由于13整除52 ,所以只需13整除1 + a,0w av 13,a Z,所以a = 12.由題悟法利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題的思路(1) 觀察除式與被除式間的關(guān)系.(2) 將被除式拆成二項(xiàng)式.(3) 結(jié)合二項(xiàng)式定理得出結(jié)論.即時(shí)應(yīng)用求 1 90c1°+ 902c10 903c10 + + ( 1)*90七：0+ 901°c10除以 88 的余數(shù).解：/ 1 90C10 + 902c10+ + (

15、 1)k90kcko + + 9010c10= (1 90)10 = 8910, 8910 = (881010199+ 1) = 88 + C1088+ C1088+ 1,v前10項(xiàng)均能被88整除，余數(shù)是1.一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1. （2018溫州模擬）在ST 2x） 的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是（）A. C3C. 8C3B.- C3D. - 8C3解析：選Dx-2x ）展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 Tr+1= C9r+1rr r r 3r 9(-2x) = C9( -2)x 2，=0，解得r= 3.所以常數(shù)項(xiàng)是一8C3.2.（2019杭州名校協(xié)作體聯(lián)考）1+ 2 （1 - x）4展開(kāi)式中x2的系數(shù)為

16、（）16B.12解析：選C （1- x）4展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén) r+ 1= C “( 1) x .所以三+ 2 (1 - x)4展開(kāi)式中 x2 的系數(shù)為 C4(- 1)3 + 2C4(- 1)2= 8.3. （2019麗水模擬）若x-ax 7展開(kāi)式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為280，則a=（）B.D.1解析：選C 該二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 Tr+1= C7x7-r1 r rr - r 7- 2r 人頁(yè)丿=C7(- 1)a x .令 72r= 1,解得 r= 3.所以一 C7a 3= 280,解得 a 3=- 8,所以 a =- 2.4. （2019綠色聯(lián)盟適應(yīng)性考試）若（x+ 1）$-五丿a 6的展開(kāi)

17、式中常數(shù)項(xiàng)為60,則實(shí)數(shù)a的值是解析:展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為=C61Tr + 1= C6； 6-r16- r(-a)rx6-蘿令 6-竽=0, 得 r = 4;令6-乎=-1，得r =曽（舍去）.所以（x + 1）眾）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為C4g ；(-a)4=齊4= 60,解得a =也.答案：也1. （2019武漢調(diào)研）3xn的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為1 024,則該展5. (2019 紹興質(zhì)檢)若(1 + 2x)5= a°+ a1x+ a2x解析：令 x= 1,得 a°+ ai + a? + 83+ 84+ a5= 35;令 x = 1,得 a° a1 + a

18、2 a3+ a4 a5 = 1, + a3x5 1 所以 a°+ a2+ a4=2= 121.答案：121保咼考，全練題型做到咼考達(dá)標(biāo) + a4x4 + a5x5，則 a°+ a2+ a4 =B. 270D. 90的展開(kāi)式中，令x = 1,可得走-絕對(duì)值之和為 4n= 22n= 1 024= 210,解得n = 5,解析：選C在3x-n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A. - 270C. - 903 -&x_5r 一 15展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1= C5 3 r ( 1)r x 65r 一 15令一才 =0，得r = 3，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為一32c3=- 9

19、0.62. (2019 金華十校聯(lián)考)在(1- x)n= a°+ a1x+ a?x2+ a3x3+ a“xn 中，若 2a?+ a“-5= 0,則自然數(shù)n的值是B. 8D. 10解析：選B由題意得，該二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr +1= cn（-1）rxr,r+1該項(xiàng)的系數(shù)ar = (- 1)rcn,-2a2+ an-5= 0, 2( - 1)2cn+ (- 1廠 5cn-5=0,即 2心+(- 1)n-5cn-5=0, n-5為奇數(shù),n n 1 n n 1 n2 n3 n4 2 .X25!n= 8.(n - 2)(n - 3)(n - 4) = 120,解得3. （2019湖州五校高三模擬

20、）已知f(x) = (x 1)3(x-2)4= x7 + a6x6+ + aix+ ao,貝V a6A. 11B.11C. 24解析：選 B 由 a6X6= c!x2( 1)124D.0 400 301 316C4X ( 2) + C3X ( 1) C4X ( 2) = 11x,故 a6 =11.4.若(2x 3)5= a°+ atx + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5,則 at+ 2a?+ 3a3 + 4a4+ 5a5等于()A. 32B. 1D. 1解析：選C 在已知等式兩邊對(duì) x求導(dǎo)，得 5(2x 3)4x 2 = a1+ 2a2x+ 3a3x2+ 4eux3

21、+ 5a5X°，令 x = 1，得 a1 + 2a?+ 3a3 + 4a4+ 5a5= 5 x (2 x 1 3)°x 2 = 10.故選 C.)已知函數(shù) f(x) = x3+ 2f' (2)x, n= f' (2)，則二項(xiàng)式C. 105. （2019杭州高級(jí)中學(xué)月考x+ 2xn 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是A .第7項(xiàng)B.第8項(xiàng)C .第9項(xiàng)解析：選C根據(jù)題意，f'D .第10項(xiàng)(x)= 3x2+ 2f' (2),=% 2r x12%,11+ 2. x1 + 2x）n展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為令 x = 2,得 f' (2) = 12+ 2f'

22、 (2)，所以 n= f' (2) = 12,則卜+子x）2的二項(xiàng)展開(kāi)式為T(mén)r+ 1= C；2X12 r3令12 r = 0,得r= 8,此時(shí)為展開(kāi)式的第 9項(xiàng).解析：因?yàn)檎归_(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即cn最大，所以n= 6.（1 + 2x） （2019杭師大附中模擬）已知（1 + 2x）n展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 Tr+1 = C62rxr.所以常數(shù)項(xiàng)為1 + C622= 61.7 . (2019 義烏期末)若(1 + x) + (1 + x)2 + (1 + x)3+ (1 + x)n= ao+ 毗+ anxn,且 a。+ a1 + a2+

23、 an= 126,則 n 的值為答案：6 61；a2 =.解析：令x= “，得2+ 22+ 23+ + 2n=十右=刃1-2 = 126解得n= 6.所以a2 =C2+ C3+ C4+ C5 + C6 = 1+ 3+ 6+ 10+ 15 = 35.8. (2019湖南東部六校聯(lián)考的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為答案：6 35128，則展開(kāi)式解析：令x= 1，得3x J n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為(3- 1)n= 128= 27，故n= 7.則二項(xiàng)式的通項(xiàng) Tr+1 = C；(3x)7 r (- x 3)r= (- 1)r 3 7 rc7x7- 3，令 7-話=3，得 r= 6,1 -故展開(kāi)式中r的系數(shù)

24、是(1)6 37 6c7= 21.x答案：219.已知函數(shù) f(x)= (1 + x) + (1 + x)2 + (1 + x)3+ + (1 + x)n(n> 3).(1) 求展開(kāi)式中x2的系數(shù)；(2) 求展開(kāi)式中系數(shù)之和.解：展開(kāi)式中x?的系數(shù)為c2+ c2 + c：+ c2=c3+c2+ c4+- + c2=c4+c2+ + cn=c5+c"+ cn=Cn+ 1 =n(n+ 1 n- 1 = n(n+1 n- 1 ) 3X 2X 1=6.(2)展開(kāi)式中的系數(shù)之和為nf(1) = 2 + 22+ 23+ + 2n =； = 21-2.10已知嚴(yán)+一亍n的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)

25、成等差數(shù)列.(1) 求 n;(2) 求第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)；(3) 求含x項(xiàng)的系數(shù).解: (1)前三項(xiàng)系數(shù)1,韜，韜成等差數(shù)列.1 1 1 2-2 qCn = 1 + 46,即 n2-9n+ 8= 0. n= 8或 n= 1(舍).由n= 8知其通項(xiàng)為T(mén)r+1= C8 < x)糸，r= 0,1,，8.第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C8 = 28.第三項(xiàng)的系數(shù)為 2 2 c8= 7.3令 44r= 1，得 r = 4,含x項(xiàng)的系數(shù)為2 4 c4=35三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校2x+ 11. (2019浙江考前沖刺卷)若 (x + 1)a的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為佃2，則a =，展開(kāi)式中的

26、常數(shù)項(xiàng)為2x+ 12 X 1 + 1解析：(x + 1)a的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為192，令x= 1,則2 12 'x (1 + 1)a1=佃2,解得 a= 6,因?yàn)?2x+ 1 (x + 1)6=x2 (x + 1)6= 2(1 + x)6 +P(1 + X)6,其中令1 + X)62112x + 1的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為2c1x= 12，円+ x)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為尹2x2= 15,所以=(x+ 1)6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為12+ 15= 27.答案：6272. (2019浙江考前沖刺卷)若對(duì)任意實(shí)數(shù) x，有x5= ao+ a«x 3) + a2(x 3)2+ a3(x 3)3+ a4(x 3)4+ a5(x ，貝V a3=ai + a3 + a5'ao +