勤徑考研雷西兒數(shù)學(xué)難點總結(jié)精品

1、大名鼎鼎的雷西兒，當(dāng)年中國科大考了總分 441.前面的話：這三篇總結(jié)文章，來自于我五一給學(xué)生的幾堂總結(jié)課，當(dāng)時沒有做書面材料，后來才想到 把它們整理成文。考慮到現(xiàn)在大多數(shù)人都還在進行第一輪，也就是基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)，所以先把自己對高數(shù)知 識點的總結(jié)奉上，希望對大家能有幫助?？赡芤院笠矔嘘P(guān)于線代和概率的總結(jié)。上冊除了空間解析幾何基本都涉及了，這是數(shù)一數(shù)二數(shù)三數(shù)四的共通內(nèi)容。 下冊（一）是關(guān)于多元微積分和級數(shù)的，其中數(shù)二數(shù)四的就不用看級數(shù)了。 下冊（二）是關(guān)于線面積分的，數(shù)一專題。上冊：函數(shù)（高等數(shù)學(xué)的主要研究對象）極限：數(shù)列的極限（特殊） 函數(shù)的極限（一般） 極限的本質(zhì)是通過已知某一個量（自變量）

2、的變化趨勢，去研究和探索另外一個量（因變 量）的變化趨勢由極限可以推得的一些性質(zhì)：局部有界性、局部保號性 應(yīng)當(dāng)注意到，由極限所得到的 性質(zhì)通常都是只在局部范圍內(nèi)成立在提出極限概念的時候并未涉及到函數(shù)在該點的具體情況，所以函數(shù)在某點的極限與函數(shù) 在該點的取值并無必然聯(lián)系連續(xù)：函數(shù)在某點的極限 等于 函數(shù)在該點的取值 連續(xù)的本質(zhì)：自變量無限接近，因變量無限接近導(dǎo)數(shù)的概念 本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時的極限，更簡單的說法是變 化率微分的概念：函數(shù)增量的線性主要部分，這個說法有兩層意思，一、微分是一個線性近 似，二、這個線性近似帶來的誤差是足夠小的，實際上任何函數(shù)的增量我們都

3、可以線性關(guān) 系去近似它，但是當(dāng)誤差不夠小時，近似的程度就不夠好，這時就不能說該函數(shù)可微分了不定積分：導(dǎo)數(shù)的逆運算 什么樣的函數(shù)有不定積分 定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃 作規(guī)則的許多個小的部分，然后再綜合，最后求極限，當(dāng)極限存在時，近似成為精確什么樣的函數(shù)有定積分求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數(shù)有不同的優(yōu)先級別，按反對冪三指的順序來記憶 定積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用高等數(shù)學(xué)里最重要的數(shù)學(xué)思想方法：微元法 微分和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性 微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

4、 泰勒定理：本質(zhì)是用多項式來逼近連續(xù)函數(shù)。要學(xué)好這部分內(nèi)容，需要考慮兩個問題：一、這些多項式的系數(shù)如何求？二、即使求出了這些多項式的系數(shù)，如何去評估這個多項式逼近連續(xù)函數(shù)的精確程度，即還需要求出誤差（余項），當(dāng)余項隨著項數(shù)的增多趨向于 零時，這種近似的精確度就是足夠好的下冊（一）： 多元函數(shù)的微積分：將上冊的一元函數(shù)微積分的概念拓展到多元函數(shù) 最典型的是二元函數(shù) 極限：二元函數(shù)與一元函數(shù)要注意的區(qū)別，二元函數(shù)中兩點無限接近的方式有無限多種（一元函數(shù)只能沿直線接近），所以二元函數(shù)存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點，函數(shù)值都要有確定的變化趨勢 連續(xù)：二元函數(shù)和一元函數(shù)一樣，同樣是考

5、慮在某點的極限和在某點的函數(shù)值是否相等 導(dǎo)數(shù)：上冊中已經(jīng)說過，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某點處的變化率（變化情況），在二元函數(shù)中，一點處函數(shù)的變化情況與從該點出發(fā)所選擇的方向有關(guān)，有可能沿不同方向會有不同 的變化率，這樣引出方向?qū)?shù)的概念沿坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)若存在，稱之為偏導(dǎo)數(shù)通過研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)存在一定關(guān)系，可用偏導(dǎo)數(shù)和所選定的方向來表示，即二元函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)已經(jīng)足夠表示清楚該函數(shù)在一點沿任意方向的變化情況 高階偏導(dǎo)數(shù)若連續(xù)，則求導(dǎo)次序可交換 微分：微分是函數(shù)增量的線性主要部分，這一本質(zhì)對一元函數(shù)或多元函數(shù)來說都一樣。只 不過若是二元函數(shù)，所選取的線性近似部分應(yīng)該是兩個方向自變量增量的線性

6、組合，然后 再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在僅僅有偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出用線性關(guān)系近似表示函數(shù)增量后帶來的誤差足夠小，即偏導(dǎo) 數(shù)存在不一定有微分存在若偏導(dǎo)數(shù)存在，且連續(xù)，則微分一定存在極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和可微的關(guān)系在多元函數(shù)情形里比一元函數(shù)更為復(fù)雜極值：若函數(shù)在一點取極值，且在該點導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）存在，則此導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）必為零所以，函數(shù)在某點的極值情況，即函數(shù)在該點附近的函數(shù)增量的符號，由二階微分的符號 判斷。對一元函數(shù)來說，二階微分的符號就是二階導(dǎo)數(shù)的符號，對二元函數(shù)來說，二階微 分的符號可由相應(yīng)的二次型的正定或負定性判斷。級數(shù)斂散性的判別思路：首先看通項是否趨于零，若不

7、趨于零則發(fā)散。若通項趨于零，看 是否正項級數(shù)。若是正項級數(shù)，首先看能否利用比較判別法，注意等比級數(shù)和調(diào)和級數(shù)是 常用來作比較的級數(shù)，若通項是連乘形式，考慮用比值判別法，若通項是乘方形式，考慮 用根值判別法。若不是正項級數(shù)，取絕對值，考慮其是否絕對收斂，絕對收斂則必收斂。 若絕對值不收斂，考察一般項，看是否交錯級數(shù)，用萊布尼茲準則判斷。若不是交錯級 數(shù)，只能通過最根本的方法判斷，即看其前 n 項和是否有極限，具體問題具體分析。比較判別法是充分必要條件，比值和根值法只是充分條件，不是必要條件。函數(shù)項級數(shù)情況復(fù)雜，一般只研究冪級數(shù)。阿貝爾定理揭示了冪級數(shù)的重要性質(zhì)：收斂區(qū) 域存在一個收斂半徑。所以對

8、冪級數(shù)，關(guān)鍵在于求出收斂半徑，而這可利用根值判別法解 決。逐項求導(dǎo)和逐項積分不改變冪級數(shù)除端點外的區(qū)域的斂散性，端點情況復(fù)雜，需具體分 析。一個函數(shù)能展開成冪級數(shù)的條件是：存在任意階導(dǎo)數(shù)。展開后的冪級數(shù)能收斂于原來函數(shù) 的條件是：余項（誤差）要隨著項數(shù)的增加趨于零。這與泰勒展開中的結(jié)論一致。微分方程：不同種類的方程有不同的常見解法，但理解上并無難處。下冊（二）定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分都可以概率為一種類型 的積分，從物理意義上來理解是某個空間區(qū)域（直線段、平面區(qū)域、立體區(qū)域、曲線段、 曲面區(qū)域）的質(zhì)量，其中被積元可看作區(qū)域的微小單元，被積函數(shù)則是該微小單元的密度

9、這些積分最終都是轉(zhuǎn)化成定積分來計算 第二類曲線積分的物理意義是變力做功（或速度環(huán)量），第二類曲面積分的物理意義是流 量在研究上述七類積分的過程中，發(fā)現(xiàn)其實被積函數(shù)都是空間位置點的函數(shù)，于是把這種以 空間位置作為自變量的函數(shù)稱為場函數(shù)場函數(shù)有標(biāo)量場和向量場，一個向量場相當(dāng)于三個標(biāo)量場場函數(shù)在一點的變化情況由方向?qū)?shù)給出，而方向?qū)?shù)最大的方向，稱為梯度方向。梯度 是一個向量，任何方向的方向?qū)?shù)，都是梯度在這個方向上的投影，所以梯度的模是方向 導(dǎo)數(shù)的最大值梯度方向是函數(shù)變化最快的方向，等位面方向是函數(shù)無變化的方向，這兩者垂直梯度實際上一個場函數(shù)不均勻性的量度梯度運算把一個標(biāo)量場變成向量場一條空間曲線

10、在某點的切向量，便是該點處的曲線微元向量，有三個分量，它建立了第一 類曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系一張空間曲面在某點的法向量，便是該點處的曲面微元向量，有三個分量，它建立了第一 類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系物體在一點處的相對體積變化率由該點處的速度場決定，其值為速度場的散度散度運算把向量場變成標(biāo)量場散度為零的場稱為無源場高斯定理的物理意義：對散度在空間區(qū)域進行體積分，結(jié)果應(yīng)該是這個空間區(qū)域的體積變 化率，同時這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即高斯定 理把一個速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起 來無源場的體積變化為零，這是容易

11、理解的，相當(dāng)于既無損失又無補充物體在一點處的旋轉(zhuǎn)情況由該點處的速度場決定，其值為速度場的旋度 旋度運算把向量場變成向量場旋度為零的場稱為無旋場 斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進行第二類曲面積分，結(jié)果應(yīng)該表示的是這 個曲面的旋轉(zhuǎn)快慢程度，同時這種旋轉(zhuǎn)也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應(yīng)該 相等。即斯托克斯定理把一個速度場在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲 面積分聯(lián)系起來。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強求掌 握。無旋場的速度環(huán)量為零，這相當(dāng)于一個區(qū)域沒有旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，這是容易理解的 格林定理是斯托克斯定理的平面情形進一步考察無旋場的性質(zhì)旋度為零，相

12、當(dāng)于對旋度作的第二類曲面積分為零 即等號后邊的第二類曲線積分為 零，相當(dāng)于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零 即從該閉合曲線上任選一點出 發(fā)，積分與路徑無關(guān) 相當(dāng)于所得到的曲線積分結(jié)果只于終點的選擇有關(guān)，與路徑無 關(guān)，可看成終點的函數(shù)，這是一個場函數(shù)(空間位置的函數(shù))，稱為勢函數(shù) 所得的勢 函數(shù)的梯度正好就是原來的力場 因為力場函數(shù)是連續(xù)的，所以勢函數(shù)有全微分簡單的概括起來就是：無旋場 積分與路徑無關(guān) 梯度場 有勢場 全微分 要注意以上這些說法之間的等價性三定理( Gauss Stokes Green )的向量形式和分量形式都要熟悉線性代數(shù)知識點框架及習(xí)題解讀 注：本篇可看作高等數(shù)學(xué)難點總結(jié)

13、及習(xí)題解讀的姊妹篇 呵呵 再次強調(diào)下，本人所做的習(xí)題解讀分別針對：同濟五版線代 同濟五版高數(shù) 浙大版的概率等有時間再寫首先是知識框架：線性代數(shù)知識點框架（一）線性代數(shù)的學(xué)習(xí)切入點：線性方程組。換言之，可以把線性代數(shù)看作是在研究線性方程組 這一對象的過程中建立起來的學(xué)科。線性方程組的特點：方程是未知數(shù)的一次齊次式，方程組的數(shù)目 s和未知數(shù)的個數(shù) n 可以 相同，也可以不同。關(guān)于線性方程組的解，有三個問題值得討論：（1）、方程組是否有解，即解的存在性問題；（ 2）、方程組如何求解，有多少個解；（ 3）、方程組有不止一個解時，這些不同的 解之間有無內(nèi)在聯(lián)系，即解的結(jié)構(gòu)問題。高斯消元法，最基礎(chǔ)和最直接

14、的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變 換：（ 1）、把某個方程的 k 倍加到另外一個方程上去；（ 2）、交換某兩個方程的位置； （3 ）、用某個常數(shù) k 乘以某個方程。我們把這三種變換統(tǒng)稱為線性方程組的初等變換。任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個未知數(shù)的值，從而求得方 程組的解。對方程組的解起決定性作用的是未知數(shù)的系數(shù)及其相對位置，所以可以把方程組的所有系 數(shù)及常數(shù)項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情 況。我們把這樣一張由若干個數(shù)按某種方式構(gòu)成的表稱為矩陣?？梢杂镁仃嚨男问?/p>

15、來表示一個線性方程組，這至少在書寫和表達上都更加簡潔。系數(shù)矩陣和增廣矩陣。高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應(yīng)的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組， 對應(yīng)的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變 換化為階梯形矩陣，求得解。階梯形矩陣的特點：左下方的元素全為零，每一行的第一個不為零的元素稱為該行的主 元。對不同的線性方程組的具體求解結(jié)果進行歸納總結(jié)（有唯一解、無解、有無窮多解），再 經(jīng)過嚴格證明，可得到關(guān)于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為 階梯形，若得到的階梯形方程組中出現(xiàn) 0=d 這一項，則方程組無解，若未出現(xiàn) 0=d 一 項，則方程

16、組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數(shù)目r 等于未知量數(shù)目n，方程組有唯一解，若 r<n ，則方程組有無窮多解。在利用初等變換得到階梯型后，還可進一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點是主 元上方的元素也全為零，這對于求解未知量的值更加方便，但代價是之前需要經(jīng)過更多的 初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決于個人習(xí)慣。常數(shù)項全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。齊次方程組的方程組個數(shù)若小于未知量個數(shù)，則方程組一定有非零解。利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題（1）解的存在性問題和（2）如何求解的問題，這是以線性方程組為出發(fā)點建立起

17、來的最基本理論。對于 n 個方程 n 個未知數(shù)的特殊情形，我們發(fā)現(xiàn)可以利用系數(shù)的某種組合來表示其解，這 種按特定規(guī)則表示的系數(shù)組合稱為一個線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點： 有 n! 項，每項的符號由角標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，是一個數(shù)。通過對行列式進行研究，得到了行列式具有的一些性質(zhì)（如交換某兩行其值反號、有兩行 對應(yīng)成比例其值為零、可按行展開等等），這些性質(zhì)都有助于我們更方便的計算行列式。用系數(shù)行列式可以判斷 n 個方程的 n 元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則?？偠灾?，可把行列式看作是為了研究方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等的特殊情形時引出的一 部分內(nèi)容。線性代數(shù)知識點框架（二）在利

18、用高斯消元法求解線性方程組的過程中，涉及到一種重要的運算，即把某一行的倍數(shù) 加到另一行上，也就是說，為了研究從線性方程組的系數(shù)和常數(shù)項判斷它有沒有解，有多 少解的問題，需要定義這樣的運算，這提示我們可以把問題轉(zhuǎn)為直接研究這種對 n 元有序 數(shù)組的數(shù)量乘法和加法運算。數(shù)域上的 n 元有序數(shù)組稱為 n 維向量。設(shè)向量 a=（a1,a2,.,an） ，稱 ai 是 a 的第 i 個分量。 n 元有序數(shù)組寫成一行，稱為行向量，同時它也可以寫為一列，稱為列向量。要注意的 是，行向量和列向量沒有本質(zhì)區(qū)別，只是元素的寫法不同。矩陣與向量通過行向量組和列向量組相聯(lián)系。對給定的向量組，可以定義它的一個線性組合。

19、線性表出定義的是一個向量和另外一組向 量之間的相互關(guān)系。利用矩陣的列向量組，我們可以把一個線性方程組有沒有解的問題轉(zhuǎn)化為一個向量能否由 另外一組向量線性表出的問題。同時要注意這個結(jié)論的雙向作用。從簡單例子（如幾何空間中的三個向量）可以看到，如果一個向量a1 能由另外兩個向量a2、 a3 線性表出，則這三個向量共面，反之則不共面。為了研究向量個數(shù)更多時的類似情 況，我們把上述兩種對向量組的描述進行推廣，便可得到線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。通過一些簡單例子體會線性相關(guān)和線性無關(guān)（零向量一定線性無關(guān)、單個非零向量線性無 關(guān)、單位向量組線性無關(guān)等等）。從多個角度（線性組合角度、線性表出角度、齊次線性方程

20、組角度）體會線性相關(guān)和線性 無關(guān)的本質(zhì)。部分組線性相關(guān)，整個向量組線性相關(guān)。向量組線性無關(guān)，延伸組線性無關(guān)?；氐骄€性方程組的解的問題，即一個向量 b 在什么情況下能由另一個向量組 a1,a2,.,an 線 性表出？如果這個向量組本身是線性無關(guān)的，可通過分析立即得到答案：b, a1, a2, ., an線性相關(guān)。如果這個向量組本身是線性相關(guān)的，則需進一步探討。任意一個向量組，都可以通過依次減少這個向量組中向量的個數(shù)找到它的一個部分組，這 個部分組的特點是：本身線性無關(guān)，從向量組的其余向量中任取一個進去，得到的新的向 量組都線性相關(guān)，我們把這種部分組稱作一個向量組的極大線性無關(guān)組。如果一個向量組

21、A 中的每個向量都能被另一個向量組 B 線性表出，則稱 A 能被 B線性表 出。如果 A和 B能互相線性表出，稱 A和 B等價。一個向量組可能又不止一個極大線性無關(guān)組，但可以確定的是，向量組和它的極大線性無 關(guān)組等價，同時由等價的傳遞性可知，任意兩個極大線性無關(guān)組等價。注意到一個重要事實：一個線性無關(guān)的向量組不能被個數(shù)比它更少的向量組線性表出。這 是不難理解的，例如不共面的三個向量（對應(yīng)線性無關(guān)）的確不可能由平面內(nèi)的兩個向量 組成的向量組線性表出。一個向量組的任意兩個極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)相等，我們將這個數(shù)目 r 稱為向量 組的秩。向量線性無關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的數(shù)目。

22、等價的向量組有相同的 秩。有了秩的概念以后，我們可以把線性相關(guān)的向量組用它的極大線性無關(guān)組來替換掉，從而 得到線性方程組的有解的充分必要條件：若系數(shù)矩陣的列向量組的秩和增廣矩陣的列向量 組的秩相等，則有解，若不等，則無解。向量組的秩是一個自然數(shù)，由這個自然數(shù)就可以判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，由 此可見，秩是一個非常深刻而重要的概念，故有必要進一步研究向量組的秩的計算方法。線性代數(shù)知識點框架（四）在之前研究線性方程組的解的過程當(dāng)中，注意到矩陣及其秩有著重要的地位和應(yīng)用，故還 有必要對矩陣及其運算進行專門探討。矩陣的加法和數(shù)乘，與向量的運算類同。矩陣的另外一個重要應(yīng)用：線性變換（最典型例子是

23、旋轉(zhuǎn)變換）。即可以把一個矩陣看作 是一種線性變換在數(shù)學(xué)上的表述。矩陣的乘法，反映的是線性變換的疊加。如矩陣 A對應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個角度 a，矩陣 B 對應(yīng) 的是旋轉(zhuǎn)一個角度 b，則矩陣 AB對應(yīng)的是旋轉(zhuǎn)一個角度 a+b 。矩陣乘法的特點：若 C=AB ，則 C的第 i行、第 j列的元素是 A的第 i行與 B的第 j列的元 素對應(yīng)乘積之和； A的列數(shù)要和 B 的行數(shù)相同； C的行數(shù)是 A的行數(shù)，列數(shù)是 B的列數(shù)。 需要主義的是矩陣乘法不滿足交換律，滿足結(jié)合律。利用矩陣乘積的寫法，線性方程組可更簡單的表示為： Ax=b 。對于 C=AB ，還可作如下分析：將左邊的矩陣 A 寫成列向量組的形式，即意味著

24、 C的列向 量組能由 A的列向量組表示，從而推知 C的列秩小于等于 A 的列秩；將右邊的矩陣 B 寫成 行向量組的形式，即意味著 C 的行向量組能由 B 的行向量組表示，從而推知 C 的行秩小于 等于 B 的行秩，再考慮到矩陣的行秩等于列秩等于矩陣的秩，最終可得到結(jié)論，C的秩小于等于 A 的秩，也小于等于 B 的秩，即矩陣乘積的秩總不超過任一個因子的秩。關(guān)于矩陣乘積的另外一個重要結(jié)論：矩陣乘積的行列式等于各因子的行列式的乘積。 一些特殊的矩陣：單位陣、對角陣、初等矩陣。尤其要注意，初等矩陣是單位陣經(jīng)過一次 初等變換得到的矩陣。每一個初等矩陣對應(yīng)一個初等變換，因為左乘的形式為PA（ P為初等矩陣

25、），將 A 寫成行向量組的形式， PA意味著對 A 做了一次初等行變換；同理， AP意味著對 A 做了一次初等 列變換，故左乘對應(yīng)行變換，右乘對應(yīng)列變換。若 AB=E ，則稱 A為可逆矩陣， B 是 A的逆陣，同樣，這時的 B 也是可逆矩陣，注意可逆 矩陣一定是方陣。第一種求逆陣的方法：伴隨陣。這種方法的理論依據(jù)是行列式的按行（列）展開。矩陣可逆，行列式不為零，行（列）向量組線性無關(guān)，滿秩，要注意這些結(jié)論之間的充分 必要性。單位陣和初等矩陣都是可逆的。若矩陣可逆，則一定可以通過初等變換化為單位陣，這是不難理解的，因為初等矩陣滿 秩，故最后化成的階梯型（最簡形）中非零行數(shù)目等于行數(shù)，主元數(shù)目等于

26、列數(shù)，這即是 單位陣。進一步，既然可逆矩陣可以通過初等變換化為單位陣，而初等變換對應(yīng)的是初等 矩陣，即意味著：可逆矩陣可以通過左（右）乘一系列初等矩陣化為單位陣，換言之可逆 矩陣可看作是一系列初等矩陣的乘積，因為單位陣在乘積中可略去?？赡婢仃囎鳛橐蜃硬粫淖儽怀耍o論左乘右乘）的矩陣的秩。由于可逆矩陣可以看作是一系列初等矩陣的乘積，可以想象，同樣的這一系列初等矩陣作 用在單位陣上，結(jié)果是將這個單位陣變?yōu)樵瓉砭仃嚨哪骊?，由此引出求逆陣的第二種方 法：初等變換。需要注意的是這個過程中不能混用行列變換，且同樣是左乘對應(yīng)行變換， 右乘對應(yīng)列變換。矩陣分塊，即可把矩陣中的某些行和列的元素看作一個整體，對

27、這些被看作是整體的對象 構(gòu)成的新的矩陣，運算法則仍然適用。將矩陣看成一些列行向量組或列向量組的形式，實 際也就是一種最常見的對矩陣進行分塊的方式。時隔一年，總算把特征值特征向量以及二次型部分給大家補上了：）還是那句話，個人水 平有限，加上不同人的不同的思維習(xí)慣，所以只能說我把自己的思路提供出來給大家作為 參考，希望能起到點提綱挈領(lǐng)的作用吧。說實話，寫最后這部分時，還是感覺到有些壓力，最主要怕寫出來不如前四章那樣讓大家 滿意，呵呵，不過無論如何，我已經(jīng)盡力了，線代的知識框架總結(jié)也算是形成了一個完整 的篇章，至少有始有終吧。最近一段時間課題任務(wù)比較重，可能要過個把月才有空把高數(shù) 部分重新修訂了。最

28、后一個小說明，因為這個系列文章的重點是挖掘、梳理各知識點之間的相互聯(lián)系和脈 絡(luò)，所以內(nèi)容上并沒有全盤覆蓋課本，而是有所側(cè)重，打個比方，相當(dāng)于是勾勒出的一個 線性代數(shù)的基本框架，那么建議大家在此基礎(chǔ)上多開闊思路，通過發(fā)散思維把框架之外的 剩余部分囊括到自己的腦海中來：）線性代數(shù)知識點框架（五）由矩陣乘法的特點可知，計算一個矩陣 A的 n次方，相對于數(shù)乘運算來說要繁瑣得多。我 們注意到，如果存在可逆矩陣 P 和對角矩陣 ，使得 A=P* *P 逆，那么有： An= （P*P 逆） n= （P*P 逆）（ P*P 逆）（P*P 逆）=P* n*P 逆 由于對角矩陣的乘方容易計算，從而問題得到大幅簡化

29、。對矩陣 A、B 來說，如果存在著可逆矩陣 P，使得 A=P *B*P 逆，我們稱 A與 B是相似的。 特別地，如果 A 與對角矩陣 相似，則稱 A 可對角化。由此可見，如果矩陣 A 可對角化， 那么 An 的計算將變得簡單許多。故可把相似的說法理解為一個在尋找矩陣乘方簡便運算 的過程中提出來的概念。相似的矩陣有許多共同的性質(zhì)，如有相同的秩和相同的行列式值，相似的矩陣或者都可 逆，或者都不可逆，等等。設(shè)矩陣 A 相似于對角矩陣 ，那么：A=P* *P 逆 AP=P ，其中 P為可逆矩陣 A* （a1, a2,）, a=n（ a1, a2,）, a*n，其中 a1, a2,分, a別n為可逆矩陣

30、P 的列向量， 1, 2, 分別, 為對n角矩陣 的主對角線上元素 A*a1= 1*a，1 A*a2= 2*a，2 ， A*an= n*an也就是說，矩陣 A 能對角化的關(guān)鍵，在于找到 n 個常數(shù) 1, 2, 和 n, 個線n性無關(guān)的向 量 a1, a2,（, 因an為這些向量構(gòu)成的矩陣可逆，這也決定了零向量不是特征向量），使得 A*ai= i*（aii=1 ， 2， 3， n）。我們把滿足條件 A*ai= i*的ai i稱為矩陣 A 的特征值， ai 稱為矩陣 A 對應(yīng)特征值 i的特 征向量。換句話說，一個矩陣能夠相似于對角矩陣的充分必要條件是：存在 n 個線性無關(guān) 的特征向量。接下來的問題

31、是如何求矩陣的特征值和特征向量？一個方案是從定義 A*ai= i*出ai 發(fā)，直 接尋找滿足這樣要求的 和i ai，但這一般是不容易做到的，故還有必要去建立一種更為普 遍的方法。設(shè) A*ai= i*ai（ A- i*E）*ai=0 對 i來說， ai 是齊次線性方程組（ A- i*E） *X=0 的一個非零解（因為 ai 構(gòu)成的向 量組線性無關(guān)） 方程組的系數(shù)行列式 det（ A- i*E）=0由此可見，每一個特征值 i都是多項式 det （A- *E）在指定數(shù)域（一般是實數(shù)域）上的 根，我們稱這個多項式為矩陣 A的特征多項式，不難驗證，它是一個的 n 次多項式。依據(jù)特征方程 det （A-

32、*E）=0 ，即可求出矩陣 A 的全部特征值。對矩陣 A 的每個特征值 ，i求齊次線性方程組（ A- i*E）*X=0 的解，得到的全部非零解 （一般可用基礎(chǔ)解系表示）就是A 的屬于特征值 i的全部特征向量。由此可得到兩點啟示：對同一個特征值來說，特征向量不唯一；對同一特征值來說，特征向量的線性組合仍 為特征向量。相似的矩陣有相同的特征多項式和特征值，但有相同特征多項式的兩個矩陣不一定相似。 相似的矩陣有相同的秩，故一個可對角化矩陣的非零特征值的數(shù)目即為其秩。在求出矩陣的全部特征值和全部特征向量以后，剩下的問題就是判斷這些所有的特征向量 中有沒有 n 個是線性無關(guān)的？如果有，意味著矩陣可對角化

33、，如果沒有，則矩陣不可對角 化。對一個矩陣 A 來說，考慮到其 n 個特征值可能相同也可能不同，故最一般的情況應(yīng)該是把 A 的這 n 個特征值分為 m 組，分別為 1, 2, ，每, 組的m個數(shù)分別為 j1 ， j2 ， jm （注意有 j1+j2+ +jm=n），對每個 （ii=1 ， 2，m），齊次線性方程組（ A- i*E） *X=0 的基礎(chǔ)解系解向量的個數(shù)分別為r1，r2 ，rm，這些基礎(chǔ)解系各自當(dāng)然都是 A 的線性無關(guān)的特征向量，自然會進一步聯(lián)想，把這 m 組共 r1+r2+ +rm個向量合在一起情 況如何，是否仍線性無關(guān)？經(jīng)過考察發(fā)現(xiàn)，矩陣 A 的屬于不同的特征值的特征向量一定線性

34、無關(guān)。故上述r1+r2+ +rm個來自不同特征值的特征向量構(gòu)成的向量組確實是線性無關(guān)的。于是不難有 如下結(jié)論，若 r1+r2+ +rm=n，則 A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量，從而 A 可對角化，若 r1+r2+ +rm<n，則 A 沒有 n 個線性無關(guān)的特征向量，從而 A 不可對角化。若矩陣 A 具有 n個不同的特征值，則 A可對角化。由此可見，要判斷一個矩陣是否可對角化，通常需要求出其全部特征值（相當(dāng)于解代數(shù)方 程的問題），再求出每個特征值所對應(yīng)的特征向量（相當(dāng)于解齊次線性方程組的問題）并 考察其相互之間的線性無關(guān)性。亦即我們應(yīng)當(dāng)建立起這樣的認識：相似變換，尤其是相似 對角變換，并

35、不是對任何一個矩陣來說都可以進行的，這其中關(guān)鍵在于能否找到一個可逆 矩陣 P 來為兩者提供聯(lián)系，換言之就是應(yīng)當(dāng)滿足某些對應(yīng)的條件。當(dāng)然，可以想象，也許 對于具有某些特點的矩陣來說，它們本身就滿足這種既定條件，從而必可以對角化。實對稱矩陣就是這樣一種特殊的矩陣，它一定存在著 n 個線性無關(guān)的特征向量，即一定可 對角化。實對稱矩陣屬于不同特征值得特征向量是正交的，而之前已經(jīng)提到過，對同一特 征值來說，其特征向量的線性組合仍是其特征向量，故可利用施密特正交化方法（本質(zhì)是 線性組合）來構(gòu)造出一組屬于同一特征值的正交特征向量，這些正交化單位化后的特征向 量就決定了實對稱矩陣一定可以正交對角化。要注意到正

36、交矩陣當(dāng)然是可逆的，正交的向 量組當(dāng)然是線性無關(guān)的，這是實對稱矩陣對于一般矩陣來說在相似變換性質(zhì)上更為優(yōu)越的 地方。線性代數(shù)知識點框架（六）在實際生活中，我們常常會遇到許多與n 個變量 x1， x2 ， xn 構(gòu)成的二次齊次多項式 f（x1 ，x2 ， xn ）相關(guān)的問題（如二次曲面問題、多元函數(shù)的極值問題等），我們將這種多項式稱為一個 n 元二次型?？梢钥吹?，與線性方程組類似，對二次型的性質(zhì)起決定作用的是自變量的系數(shù)及其相對位 置，這提示我們可以把這些系數(shù)排成的一個 n 階矩陣 A，用矩陣的工具來研究二次型，具體做法是：令 X= （ x1 ， x2， xn）'，則二次型 f（x1，x2 ， xn ）可以寫成： f（x1，x2，xn）=X' AX其中 A 稱為二次型 f（x1 ，x2，xn）的矩陣，它的特點是：主對角線上的元素是完全 平方項的系數(shù)，（ i， j）位置上的元素是交叉項系數(shù)的一半， 這決定了二次型矩陣的對稱性和唯一性。我們知道，矩陣的一個應(yīng)用是線性變換，即關(guān)系式 X=CY 表示的是從變量 x1， x2， xn 到變量 y1， y2 ， yn 的一個線性變換，一般來說，我們還要求這種變換是可逆的（即 C可逆）。從坐標(biāo)變換的角度來看，向量R在 X坐標(biāo)系下的分量x1，x2，xn 與 Y坐標(biāo)系下的分量 y1 ， y2 ， yn 通過轉(zhuǎn)換矩