嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略1

1、嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略摘要：本文主要了嫦娥三號軟著陸軌道設(shè)計(jì)與在軟著陸過程中的控制策略。針對問題一，本文先判斷遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn)所在平面，應(yīng)該繞月平面應(yīng)該與南北極軸通過開普勒定律和能量守恒定律近月點(diǎn)的速度為 和遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度為 ，然后建立空間極坐標(biāo)系求出近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置。針對問題二，將附件中的六個階段重新劃分為四個階段，建立總?cè)剂舷牧磕繕?biāo)規(guī)劃函數(shù)，在粗避障和精避障階段將避障區(qū)域用附件中的高程圖做分割矩陣，找出區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)與中心點(diǎn)海拔的均方差作為地勢判斷依據(jù)之一，方差最小的區(qū)域即為最平整的區(qū)域，再根據(jù)變異算法確定最優(yōu)著陸地點(diǎn)，最終確定著陸軌道。針對問題三，誤差主要分為模型誤差和計(jì)算誤差

2、。本文認(rèn)為造成模型誤差的有三點(diǎn)：月球的重力g,月球的近月點(diǎn)速度V以及嫦娥三號在著陸過程中燃燒的燃料的變化。造成計(jì)算誤差的原因有：在計(jì)算過程中把變力當(dāng)做恒力計(jì)算造成的誤差，計(jì)算時(shí)四舍五入造成的誤差。問題重述：問題一：根據(jù)附件1，確定出嫦娥三號的準(zhǔn)備著陸軌道，以此判斷出近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)位置，再求出嫦娥三號的速度及其方向。問題二：根據(jù)附件2，再結(jié)合附件1，確定出著陸軌道，分析在什么情況下是最優(yōu)控制策略可以從燃料消耗最少和等方面分析嫦娥三號在6個階段的最優(yōu)控制策略。問題三：對于問題二所設(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略分析做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。模型假設(shè)：1、 下落軌道和運(yùn)行軌道在同一平面上；2、 粗避障和

3、精避障目標(biāo)點(diǎn)固定；3、 忽略其他引力；4、 F推為恒力；問題一分析（1） 嫦娥三號的運(yùn)行軌道為橢圓，月球球心是橢圓的焦點(diǎn)之一，設(shè)橢圓長半軸為a，短半軸為b，焦距為2c,月球半徑為R，則a應(yīng)該滿足的條件為：2a=15+100+2R；（2） 由題意可知，嫦娥三號從遠(yuǎn)月點(diǎn)到近月點(diǎn)的過程中，軌道由圓形軌道最后一次成功變軌為橢圓形軌道，在此過程中，無推力作用。運(yùn)用開普勒三大定律、能量守恒和萬有引力定律，計(jì)算出近月點(diǎn)及遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度；（3） 我們以月球球心作為原點(diǎn)，仿造地球經(jīng)緯度建立坐標(biāo)系，球心與零度經(jīng)線和零度緯線的連線為XOY坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系，并以月球的自轉(zhuǎn)軸為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)著陸點(diǎn)的經(jīng)緯度以及

4、月球半徑求出近月點(diǎn)的經(jīng)緯度，最后根據(jù)近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置關(guān)系，可得出遠(yuǎn)月點(diǎn)的具體位置。 （圖1）(圖2）J為近月點(diǎn)，Y為遠(yuǎn)月點(diǎn)，P為著陸點(diǎn)O為月球球心已知條件：（1） 、嫦娥三號在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t；（2） 、嫦娥三號的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m；（3） 、著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道；（4） 、月球平均半徑、赤道平均半徑和極區(qū)半徑分別為1737.013km、1737.646km和1735.843km；（5） 、月球的形狀扁率為1/963.7256，月球質(zhì)量是7.34771022kg；（6） 、月球與地球距離遠(yuǎn)地點(diǎn)：

5、406610km，近地點(diǎn)：356330km，平均距離為384400km；（7） 、地球質(zhì)量是5.981024kg;問題一的模型建立：一，求解速度模型 嫦娥三號在近月點(diǎn)時(shí)的速度 嫦娥三號在遠(yuǎn)月點(diǎn)時(shí)的速度 近月點(diǎn)與月球表面的距離 遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面的距離R 月球半徑M 月球質(zhì)量m 嫦娥三號質(zhì)量G 萬有引力常數(shù)Y 遠(yuǎn)月點(diǎn)到月心的距離J 近月點(diǎn)到月心的距離由圖一可知， 由、可得：由于速度方向?yàn)檐壽E的切線方向相同，可以得出和的方向都與橢圓的長軸相垂直。 將Y、J兩點(diǎn)分別細(xì)分為n個極短的時(shí)間間隔相同的,嫦娥三號與月球連線在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積為： 由開普勒第二定律可知:則=化簡可得 由嫦娥三號運(yùn)動的受力分

6、析可知：嫦娥三號運(yùn)動的總機(jī)械能等于其動能與月球引力勢能之和，而嫦娥三號在運(yùn)動過程中只受到月球萬有引力作用，遵循機(jī)械能守恒定律，故當(dāng)嫦娥三號經(jīng)過近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)機(jī)械能相等，則 將帶入中，根據(jù)橢圓的性質(zhì)解得： 將、帶入各式最終解得： 二，求解坐標(biāo)模型近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)投影到月球上有其唯一對應(yīng)的經(jīng)緯度，且根據(jù)地球經(jīng)緯度的關(guān)系可推斷得出：近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)在月球上相對應(yīng)，求出近月點(diǎn)的具體位置可推出遠(yuǎn)月點(diǎn)的經(jīng)緯度。由于假設(shè)近月點(diǎn)，遠(yuǎn)月點(diǎn)和嫦娥三號月球著陸點(diǎn)在同一個平面內(nèi)，且近月點(diǎn)的位置與遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置和球心在同一條直線上，也就是說近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)之間相差，而近月點(diǎn)與嫦娥三號月球著陸點(diǎn)的經(jīng)度相同。根據(jù)空間直角坐標(biāo)

7、系和極坐標(biāo)的關(guān)系，可將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo)，設(shè)為月球維度，為月球經(jīng)度，為嫦娥三號距著陸點(diǎn)的距離，則: 空間直角坐標(biāo)中近月點(diǎn)著陸點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離公式：已知嫦娥三號的預(yù)定著陸點(diǎn)為19.51W，44.12N，海拔為-2641m，經(jīng)查資料數(shù)據(jù)可得，月球上每千米對應(yīng)的緯度數(shù)是0.04927度，嫦娥三號從15000m-3000m飛行了430km.由于此時(shí)水平速度很大，可以將這段拋物線看成水平路徑,經(jīng)過粗避障和精避障共移動45.5km，則+45.5=475.5km。令，全帶入式中，可得著陸點(diǎn)空間直角坐標(biāo)： 最終解得嫦娥三號從近月點(diǎn)到月球著陸點(diǎn)所經(jīng)過的緯度為：（度）近月點(diǎn)緯度=著陸點(diǎn)緯度+嫦娥三號所經(jīng)過緯度

8、則近月點(diǎn)的緯度為67.547885N 保留兩位小數(shù)為67.55N遠(yuǎn)月點(diǎn)經(jīng)度+近月點(diǎn)經(jīng)度= 遠(yuǎn)月點(diǎn)緯度+近月點(diǎn)緯度=故遠(yuǎn)月點(diǎn)的經(jīng)度為160.49，緯度為22.45。由于近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)在同一平面內(nèi)則經(jīng)度為西經(jīng)W，兩點(diǎn)相對則遠(yuǎn)月點(diǎn)緯度為南緯S。即：近月點(diǎn)19.51W,67.55N 遠(yuǎn)月點(diǎn)160.49W,22.45S故：嫦娥三號分別在近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度為： ；嫦娥三號在近月點(diǎn)的速度和遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度的方向都與橢圓的長軸相垂直，且方向相反；近月點(diǎn)19.51W,67.55N 遠(yuǎn)月點(diǎn)160.49W,22.45S。問題二分析 由于月球表面沒有大氣，著陸器的速度必須完全由制動發(fā)動機(jī)抵消才能實(shí)現(xiàn)安全軟著陸，所以減少

9、燃料消耗是關(guān)鍵所在，附件2中，分為6個階段依次為主減速、快速調(diào)整、粗避障、精避障、緩慢下降、自由下降。 我們根據(jù)題意，將6個階段重新劃分為4個階段，依次為第一階段（主減速和快速調(diào)整）、第二階段（粗避障）、第三階段(精避障)、第四階段（緩慢下降和自由下降）。 在第一階段，利用最優(yōu)控制減少燃料消耗推導(dǎo)。 在第二階段，粗避障階段，嫦娥三號懸停在月球表面約2400米上方，對星下月表進(jìn)行二維和三維成像，利用變異算法的思想，從三維圖像高程圖中得知該點(diǎn)的海拔高度，再分別掃描這些點(diǎn)附近的地貌，我們用分割矩陣，找出區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn)與中心點(diǎn)海拔的均方差作為地勢判斷依據(jù)之一，將此時(shí)地勢最平坦的地方作為全局最優(yōu)降落區(qū)域。

10、 在第三階段，精避障階段，嫦娥三號懸停在月球表面約100米上方，由于在第二階段已選定了平坦區(qū)域，也是用第二階段采取變異算法的思想，對采取數(shù)據(jù)進(jìn)行高分辨率三維成像，對選取的區(qū)域進(jìn)行更進(jìn)一步的判斷，選取地勢更為平坦（即矩陣方差最?。┑膮^(qū)域作為最優(yōu)降落地點(diǎn)。 在第四階段，衛(wèi)星先是水平速度為0米/s，推力方向向下，進(jìn)行緩慢降落，然后在離地面4m時(shí)，衛(wèi)星將暫時(shí)處于懸停狀態(tài)，關(guān)閉推進(jìn)器，衛(wèi)星呈自由落體降落，確保軟著陸成功。問題二的模型建立與求解一、對于第一階段（主減速和快速調(diào)整），此時(shí)，反推發(fā)動機(jī)就要點(diǎn)火工作，著陸器的大部分燃料消耗在這個階段。利用總?cè)剂舷牧亢瘮?shù)值最少，達(dá)到第一階段最優(yōu)控制策略。首先嫦娥

11、三號在第一階段的受力情況如下圖，假設(shè)受力與豎直方向的夾角為：圖3主減速階段受力分析圖 圖4 沒有質(zhì)量變化時(shí)的受力分析利用動量守恒定律可得：0TF推sindt=m1v水1-m2v水2 (2)0T(F推cos-(m1-0tF推2940dt)g)dt=m2v豎1 (3)嫦娥三號在此過程中有燃料的消耗，故分為兩種情況，一種為有質(zhì)量變化，另一種為沒有質(zhì)量變化。由于主減速階段燃料消耗很大，故作為有質(zhì)量變化；而快速調(diào)整階段速度很小，質(zhì)量變化很小，故作為質(zhì)量不變。1.則有質(zhì)量變化（主減速階段），推力大小 F推=mvem=F推2940 m2=m1-0TF推2940dt此階段的燃料的消耗量為m1-m22.沒有質(zhì)量

12、變化（快速調(diào)整階段）：由于 v水2值較小，可以通過姿態(tài)調(diào)整發(fā)動機(jī)進(jìn)行微調(diào),假設(shè)此階段質(zhì)量的變化較小，則可以假設(shè)質(zhì)量基本保持不變。通過受力分析，可得到以下分析式：F推-m2g=m2at2=v豎2/a最后得到燃料消耗為 m3=F推t2/ve=m2(g+a)v豎2/(ave)=m2v豎2(1+g/a)/ve (4)3計(jì)算第一階段最少的燃料消耗?？梢缘贸隹?cè)剂舷牧磕繕?biāo)規(guī)劃函數(shù)：M=m1-m2+m3 =(m1-0TF推2940dt)v豎2(1+g/a)/ve+0TF推2940dt (5)二、對于第二階段（粗避障階段），利用附件3，將2.4km時(shí)高程圖用matlab軟件分析得到矩陣數(shù)據(jù)避開障礙物。根據(jù)高

13、程圖先讀取出海拔高度，將此區(qū)域圖片看做23002300的矩陣，進(jìn)一步分割為2323個100100的矩陣。根據(jù)組成地面高度的矩陣，求解計(jì)算每一個矩陣的方差。方差的大小代表地面的平坦程度，方差最小的區(qū)域即為最平整的區(qū)域。故利用附錄變異算法求出最優(yōu)著陸區(qū)域?yàn)椋?183,899）。 三、對于第三階段（精避障階段），利用附件4高程圖用matlab軟件分析得到矩陣數(shù)據(jù)避開障礙物。同理，將高程圖剖分為5m*5m的方格，根據(jù)海拔數(shù)據(jù)資料，計(jì)算以方格為單位的每塊區(qū)域的方差，方差最小的區(qū)域即為最平整的區(qū)域，即探 測器最佳位置為（544,280）四、對于第四階段（緩慢下降和自由下降），主要是消除水平速度，保證著陸器

14、姿態(tài)垂直月面，平穩(wěn)緩速下降，控制著陸月面的速度和姿態(tài)滿足要求自由下降到月面。五、軌道的確定通過之前對軌道六個階段的分析，上文對著陸軌道的六個階段進(jìn)行分析，主減速階段嫦娥衛(wèi)星的速度vx和質(zhì)量v1變化最大，對軌道的計(jì)算也最為重要。對于緩速下降和自由落體階段，由于發(fā)動機(jī)已經(jīng)關(guān)閉，則對于最優(yōu)控制和軌道設(shè)計(jì)不必過多分析。 最終確定著陸軌道。問題三：誤差分析與敏感度分析一，誤差分析誤差主要分為模型誤差和計(jì)算誤差。我們認(rèn)為誤差來自于月球自轉(zhuǎn)影響、發(fā)動機(jī)推力是否恒定、地球引力影響、數(shù)值求解過程中的約去項(xiàng)等。在問題一：確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號相應(yīng)速度的大小與方向中，運(yùn)用了能量守恒定律，

15、為了便于計(jì)算，把月球的重力g假設(shè)為恒力，造成了模型上的誤差。計(jì)算速度大小時(shí)四舍五入，造成了計(jì)算誤差。在問題二：確定嫦娥三號的著陸軌道和在6個階段的最優(yōu)控制策略中，嫦娥三號在距離月球面3000米到2400米之間，嫦娥三號進(jìn)行了快速的姿態(tài)調(diào)整，姿態(tài)調(diào)整期間所用的時(shí)間不計(jì)，所用燃燒的燃料不計(jì)，在嫦娥三號到達(dá)月球表面時(shí)為避障所產(chǎn)生的燃料誤差不計(jì)，這造成了模型誤差。由分析可知，嫦娥三號的燃料消耗與質(zhì)量有關(guān)系：比沖量的值越大，嫦娥三號的質(zhì)量變化越大，燃料消耗越大。二，敏感度分析在精確避障階段的避障原則下，嫦娥三號在降落時(shí)占地面積大小對軌道降落的敏感度有影響。通過實(shí)驗(yàn)可知，占地面積影響嫦娥三號的順利著陸，占

16、地面積越小，可順利著陸的概率越大。參考文獻(xiàn)：1 .開普勒定律,2015.04.202 趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).北京：高等教育出版社，第4版，2014.3 葉培建,彭兢.深空探測與我國深空探測展望.中國工程科學(xué)，2006.4 徐全智，楊晉浩.數(shù)學(xué)建模入門.成都：電子科技大學(xué)出版社，1996.附錄：function SM01(N)Z=imread(FJ3.tif);%讀取圖片（FJ3.tif）中的海拔高度 Z=double(Z);%把所讀取的海拔高度轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)，即把Z中的數(shù)值變?yōu)閷?shí)數(shù)M L=size(Z);%把Z矩陣的行和列讀出來for i=1:M-N for j=1:L-N A=Z(i:i+N-1,j:j+N-1); mu=sum(sum(A)/N/N;%計(jì)算均值 S(i,j)=sum(sum(abs(A-mu);%定義月面平整度函數(shù) endendm,n=find(S=min(min(S);% 搜尋S矩陣中最小值m+N/2,n+N/2 SM01(80)ans = 2183 889function SM02(N)Z=imread(FJ4.tif);%讀取圖片（FJ4.tif）中的海拔高度 Z=dou