帶電粒子在磁場中做圓運(yùn)動學(xué)生版

1、帶電粒子在磁場中做圓運(yùn)動一.確定帶電粒子在磁場中做圓運(yùn)動的圓心的方法帶電粒子在磁場中圓運(yùn)動的問題綜合性較強(qiáng)，是高中物理的一個(gè)難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)。解這類問題既要用到物理中的洛侖茲力、圓周運(yùn)動的規(guī)律，又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何的知識。其中關(guān)鍵是確定圓運(yùn)動的圓心，只有找到圓心的位置，才能正確運(yùn)用物理規(guī)律和數(shù)學(xué)知識。下面給出幾種找圓心常用的方法。方法一：利用兩個(gè)速度垂線的交點(diǎn)找圓心由于向心力的方向與線速度方向互相垂直，洛倫茲力（向心力）沿半徑指向圓心，知道兩個(gè)速度的方向，畫出粒子軌跡上兩個(gè)對應(yīng)的洛倫茲力，其延長線的交點(diǎn)即為圓心。例1 、如圖1所示，一個(gè)質(zhì)量為m電荷量為q的帶電粒子從x軸上的P（，0）點(diǎn)

2、以速度v，沿與x正方向成60°的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限。求勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和射出點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：分別由射入、射出點(diǎn)做兩條與速度垂直的線段，其交點(diǎn)O即為粒子做圓運(yùn)動的圓心，由圖可以看出，軌道半徑為 洛侖茲力是向心力 由解得.射出點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（r+rsin30°）=1.5r,因此射出點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）。方法二：利用速度的垂線與弦的中垂線的交點(diǎn)找圓心帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速運(yùn)動時(shí)，如果已知軌跡上的兩點(diǎn)的位置和其中一點(diǎn)的速度方向，可用聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)的弦的中垂線與一條半徑的交點(diǎn)確定圓心的位置。例2、電子自靜止開始經(jīng)M、N板間（兩板間的電壓為U）

3、的電場加速后從A點(diǎn)垂直于磁場邊界射入寬度為d的勻強(qiáng)磁場中，電子離開磁場時(shí)的位置P偏離入射方向的距離為L，如圖2所示，求：（1）正確畫出電子由靜止開始直至離開磁場時(shí)的軌跡圖；（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度.（已知電子的質(zhì)量為m，電量為e）解析：（1）聯(lián)結(jié)AP的線段是電子圓運(yùn)動軌道上的一條弦，做弦AP的中垂線，由于電子通過A點(diǎn)時(shí)的速度方向與磁場左邊界垂直，因此過A點(diǎn)的半徑與磁場的左邊界重合。AP弦的中垂線OC與磁場左邊界的交點(diǎn)O即是電子圓運(yùn)動的圓心，以O(shè)為圓心以O(shè)A為半徑畫圓弧，如圖3所示，（2）在M、N間加速后獲得的速度為v，由動能 電子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，設(shè)其半徑為r，則： 在AQP中： 在

4、ACO中 ： 由解得：B=方法三、利用速度的垂線與角的平分線的交點(diǎn)找圓心當(dāng)帶電粒子通過圓形磁場區(qū)后又通過無場區(qū)，如果只知道射入和射出時(shí)的速度的方向和射入時(shí)的位置，而不知道射出點(diǎn)的位置，應(yīng)當(dāng)利用角的平分線和半徑的交點(diǎn)確定圓心。例3、一質(zhì)量為m、帶電量為+q 的粒子以速度v 從O點(diǎn)沿y 軸正方向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場區(qū)域后，從B 處穿過x軸，速度方向與x 軸正方向的夾角為30°，同時(shí)進(jìn)入場強(qiáng)為E、方向沿與x軸負(fù)方向成60°角斜向下的勻強(qiáng)電場中，通過了B點(diǎn)正下方的C點(diǎn)。如圖示4所示，不計(jì)重力，試求： （1）圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小

5、面積； （2）C點(diǎn)到B點(diǎn)的距離h。解析：（1）反向延長vb交y軸于O2點(diǎn)，作BO2O的角平分線交x軸于O1，O1即為圓運(yùn)動軌道的圓心，OO1即為圓運(yùn)動軌道的半徑，其半徑為 畫出圓運(yùn)動的軌跡（圖5虛線圓）交B O2于A點(diǎn)，最小的圓形磁場區(qū)域是以O(shè)A為直徑的圓，如圖5陰影所示。設(shè)最小的磁場區(qū)域半徑為r,則 利用解得（2） B到C 受電場力作用，做類平拋運(yùn)動沿初速方向： 沿電場方向： 利用消去t解得.二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中勻速圓周運(yùn)動基本問題找圓心、畫軌跡是解題的基礎(chǔ)。帶電粒子垂直于磁場進(jìn)入一勻強(qiáng)磁場后在洛倫茲力作用下必作勻速圓周運(yùn)動，抓住運(yùn)動中的任兩點(diǎn)處的速度，分別作出各速度的垂線，則二垂線的交

6、點(diǎn)必為圓心；或者用垂徑定理及一處速度的垂線也可找出圓心；再利用數(shù)學(xué)知識求出圓周運(yùn)動的半徑及粒子經(jīng)過的圓心角從而解答物理問題。（天津）釷核發(fā)生衰變生成鐳核并放出一個(gè)粒子。設(shè)該粒子的質(zhì)量為、電荷量為q，它進(jìn)入電勢差為U的帶窄縫的平行平板電極和間電場時(shí)，其速度為，經(jīng)電場加速后，沿方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的有界勻強(qiáng)磁場，垂直平板電極，當(dāng)粒子從點(diǎn)離開磁場時(shí)，其速度方向與方位的夾角，如圖所示，整個(gè)裝置處于真空中。（1）寫出釷核衰變方程；（2）求粒子在磁場中沿圓弧運(yùn)動的軌道半徑R；（3）求粒子在磁場中運(yùn)動所用時(shí)間。三、帶電粒子在磁場中軌道半徑變化問題導(dǎo)致軌道半徑變化的原因有：帶電粒子速度變化

7、導(dǎo)致半徑變化。如帶電粒子穿過極板速度變化；帶電粒子使空氣電離導(dǎo)致速度變化；回旋加速器加速帶電粒子等。磁場變化導(dǎo)致半徑變化。如通電導(dǎo)線周圍磁場，不同區(qū)域的勻強(qiáng)磁場不同；磁場隨時(shí)間變化。動量變化導(dǎo)致半徑變化。如粒子裂變，或者與別的粒子碰撞；電量變化導(dǎo)致半徑變化。如吸收電荷等?？傊煽磎、v、q、B中某個(gè)量或某兩個(gè)量的乘積或比值的變化就會導(dǎo)致帶電粒子的軌道半徑變化。（全國）如圖所示，在x0與x0的區(qū)域中，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B1與B2的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，且B1B2。一個(gè)帶負(fù)電的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v沿x軸負(fù)方向射出，要使該粒子經(jīng)過一段時(shí)間后又經(jīng)過O點(diǎn)，B1與B2的比值應(yīng)滿足什

8、么條件？ 四、帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界問題和帶電粒子在多磁場中運(yùn)動問題帶電粒子在磁場中運(yùn)動的臨界問題的原因有：粒子運(yùn)動范圍的空間臨界問題；磁場所占據(jù)范圍的空間臨界問題，運(yùn)動電荷相遇的時(shí)空臨界問題等。審題時(shí)應(yīng)注意恰好，最大、最多、至少等關(guān)鍵字（全國）兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為x軸和y軸，交點(diǎn)O為原點(diǎn)，如圖所示。在y>0，0<x<a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，在y>0，x>a的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。在O點(diǎn)處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q（q>0）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場，

9、最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值已知速度最大的粒子在0<x<a的區(qū)域中運(yùn)動的時(shí)間與在x>a的區(qū)域中運(yùn)動的時(shí)間之比為2：5，在磁場中運(yùn)動的總時(shí)間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中作圓周運(yùn)動的周期。試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍（不計(jì)重力的影響）。五、帶電粒子在有界磁場中的極值問題尋找產(chǎn)生極值的條件：直徑是圓的最大弦；同一圓中大弦對應(yīng)大的圓心角；由軌跡確定半徑的極值。有一粒子源置于一平面直角坐標(biāo)原點(diǎn)O處，如圖所示相同的速率v0向第一象限平面內(nèi)的不同方向發(fā)射電子，已知電子質(zhì)量為m，電量為e。欲使這些電子穿過

10、垂直于紙面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場后，都能平行于x軸沿+x方向運(yùn)動，求該磁場方向和磁場區(qū)域的最小面積s。解析：由于電子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動的半徑Rmv0/Be是確定的，設(shè)磁場區(qū)域足夠大，作出電子可能的運(yùn)動軌道如圖所示，因?yàn)殡娮又荒芟虻谝幌笙奁矫鎯?nèi)發(fā)射，所以電子運(yùn)動的最上面一條軌跡必為圓O1，它就是磁場的上邊界。其它各圓軌跡的圓心所連成的線必為以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑的圓弧O1O2On。由于要求所有電子均平行于x軸向右飛出磁場，故由幾何知識有電子的飛出點(diǎn)必為每條可能軌跡的最高點(diǎn)。如對圖中任一軌跡圓O2而言，要使電子能平行于x軸向右飛出磁場，過O2作弦的垂線O2A，則電子必將從點(diǎn)A飛出，相當(dāng)于

11、將此軌跡的圓心O2沿y方向平移了半徑R即為此電子的出場位置。由此可見我們將軌跡的圓心組成的圓弧O1O2On沿y方向向上平移了半徑R后所在的位置即為磁場的下邊界，圖中圓弧OAP示。綜上所述，要求的磁場的最小區(qū)域?yàn)榛AP與弧OBP所圍。利用正方形OO1PC的面積減去扇形OO1P的面積即為OBPC的面積；即R2-R2/4。根據(jù)幾何關(guān)系有最小磁場區(qū)域的面積為S2（R2-R2/4）（/2 -1）（mv0/Be）六、帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動問題復(fù)合場包括：磁場和電場，磁場和重力場，或重力場、電場和磁場。有帶電粒子的平衡問題，勻變速運(yùn)動問題，非勻變速運(yùn)動問題，在解題過程中始終抓住洛倫茲力不做功這一特點(diǎn)。粒子

12、動能的變化是電場力或重力做功的結(jié)果。（四川）如圖所示，在坐標(biāo)系Oxy的第一象限中存在沿y軸正方形的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E。在其它象限中存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里。A是y軸上的一點(diǎn)，它到座標(biāo)原點(diǎn)O的距離為h；C是x軸上的一點(diǎn)，到O點(diǎn)的距離為l，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電的粒子以某一初速度沿x軸方向從A點(diǎn)進(jìn)入電場區(qū)域，繼而通過C點(diǎn)進(jìn)入大磁場區(qū)域，并再次通過A點(diǎn)。此時(shí)速度方向與y軸正方向成銳角。不計(jì)重力作用。試求：（1）粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度的大小合方向；（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B。七、帶電粒子在磁場中的周期性和多解問題多解形成原因：帶電粒子的電性不確定形成多解；磁場方向不確定形成多解；臨界

13、狀態(tài)的不唯一形成多解，在有界磁場中運(yùn)動時(shí)表現(xiàn)出來多解，運(yùn)動的重復(fù)性形成多解，在半徑為r的圓筒中有沿筒軸線方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；一質(zhì)量為m帶電+q的粒子以速度V從筒壁A處沿半徑方向垂直于磁場射入筒中；若它在筒中只受洛倫茲力作用且與筒壁發(fā)生彈性碰撞，欲使粒子與筒壁連續(xù)相碰撞并繞筒壁一周后仍從A處射出；則B必須滿足什么條件帶電粒子在磁場中的運(yùn)動時(shí)間分析：由于粒子從A處沿半徑射入磁場后必作勻速圓周運(yùn)動，要使粒子又從A處沿半徑方向射向磁場，且粒子與筒壁的碰撞次數(shù)未知，故設(shè)粒子與筒壁的碰撞次數(shù)為n（不含返回A處并從A處射出的一次），由圖可知其中n為大于或等于2的整數(shù)（當(dāng)n1時(shí)即粒子必沿圓O的直徑

14、作直線運(yùn)動，表示此時(shí)B0）；由圖知粒子圓周運(yùn)動的半徑R，再由粒子在磁場中的運(yùn)動半徑可求出。粒子在磁場中的運(yùn)動周期為，粒子每碰撞一次在磁場中轉(zhuǎn)過的角度由圖得，粒子從A射入磁場再從A沿半徑射出磁場的過程中將經(jīng)過n+1段圓弧，故粒子運(yùn)動的總時(shí)間為：，將前面B代入T后與共同代入前式得。練習(xí)1一質(zhì)量為m，電量為q的負(fù)電荷在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中繞固定的正電荷沿固定的光滑軌道做勻速圓周運(yùn)動，若磁場方向垂直于它運(yùn)動的平面，且作用在負(fù)電荷的電場力恰好是磁場力的三倍，則負(fù)電荷做圓周運(yùn)動的角速度可能是（）ABCD2（寧夏）在半徑為R的半圓形區(qū)域中有一勻強(qiáng)磁磁場的方向垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一質(zhì)量為m，帶有電量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經(jīng)P點(diǎn)（APd）射入磁場（不計(jì)重力影響）。如果粒子恰好從A點(diǎn)射出磁場，求入射粒子的速度。如果粒子經(jīng)紙面內(nèi)Q點(diǎn)從磁場中射出，出射方向與半圓在Q點(diǎn)切線方向的夾角為（如圖）。求入射粒子的速度。3（新題）如圖以ab為邊界的二勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B12B2，現(xiàn)有一質(zhì)量為m帶電+q的粒子從O點(diǎn)以初速度V0沿垂直于ab方向發(fā)射；在圖中作出粒子運(yùn)動軌跡，并求出粒子第6次穿過直線ab所