高二數(shù)學(xué)空間向量導(dǎo)學(xué)案

1、高二數(shù)學(xué) 導(dǎo)學(xué)案授課教師姚智鑫授課對(duì)象徐梓瑩授課時(shí)間2013.02.03授課題目空間向量與立體幾何課型復(fù)習(xí)使用課時(shí)4課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1、了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。2、掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。3、掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。4、理解直線的方向向量與平面的法向量。5、能用向量語言表述直線與直線，直線與平面，平面與平面的垂直、平行關(guān)系。6、能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）。7、能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量

2、方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)空間向量及其運(yùn)算，空間向量的應(yīng)用。參考教材高中數(shù)學(xué)1、空間向量的加法和減法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法：在空間以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點(diǎn)的對(duì)角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵循三角形法則即：在空間任取一點(diǎn)，作，則2、實(shí)數(shù)與空間向量的乘積是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算當(dāng)時(shí)，與方向相同；當(dāng)時(shí)，與方向相反；當(dāng)時(shí)，為零向量，記為的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍3、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量

3、都共線4、向量共線充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使5、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量6、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使；或?qū)臻g任一定點(diǎn)，有；或若四點(diǎn)，共面，則7、已知兩個(gè)非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，則稱為向量，的夾角，記作兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：8、對(duì)于兩個(gè)非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作9、已知兩個(gè)非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作即零向量與任何向量的數(shù)量積為10、等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積11、若，為非零向量，為單位向量，則有；，；12、空間向量基本定理：若三個(gè)向量，不共面，則對(duì)空間任一向量，存在實(shí)數(shù)組，使得

4、13、若三個(gè)向量，不共面，則所有空間向量組成的集合是這個(gè)集合可看作是由向量，生成的，稱為空間的一個(gè)基底，稱為基向量空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底14、設(shè)，為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系則對(duì)于空間任意一個(gè)向量，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量存在有序?qū)崝?shù)組，使得把，稱作向量在單位正交基底，下的坐標(biāo)，記作此時(shí)，向量的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)15、設(shè)，則 若、為非零向量，則若，則，則16、空間中任意一條直線的位置可以由上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定點(diǎn)是直線

5、上一點(diǎn)，向量表示直線的方向向量，則對(duì)于直線上的任意一點(diǎn)，有，這樣點(diǎn)和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示出直線上的任意一點(diǎn)17、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別為，為平面上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得，這樣點(diǎn)與向量，就確定了平面的位置18、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量19、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，則，20、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則，21、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為，則，22、設(shè)異面直線，的夾角為，方向向量為，其夾角為，則有23、設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，

6、與所成的角為，與的夾角為，則有24、設(shè)，是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則向量，的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大小若二面角的平面角為，則25、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量的模計(jì)算26、在直線上找一點(diǎn)，過定點(diǎn)且垂直于直線的向量為，則定點(diǎn)到直線的距離為27、點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為要點(diǎn)考向1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系考情聚焦：1平行與垂直是空間關(guān)系中最重要的位置關(guān)系，也是每年的必考內(nèi)容，利用空間向量判斷空間位置關(guān)系更是近幾年高考題的新亮點(diǎn)。2題型靈活多樣，難度為中檔題，且?？汲Ｐ隆？枷蜴溄樱?空間中線面的平行與垂直是立體幾何中經(jīng)常考

7、查的一個(gè)重要內(nèi)容，一方面考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；另一個(gè)方面考查“向量法”的應(yīng)用。2空間中線面的平行與垂直的證明有兩個(gè)思路：一是利用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理去解決；二是利用空間向量來論證。例1：（2010·安徽高考理科·18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，為的中點(diǎn)。 (1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求二面角的大小。【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。 【思路點(diǎn)撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明。【規(guī)范解答】AEFBCDHGXYZ(1)(2)

8、(3) 【方法技巧】1、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行；2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個(gè)合適的三角形中進(jìn)行求解。4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問題進(jìn)行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡(jiǎn)單，易于操作，推薦使用。要點(diǎn)考向2：利用空間向量求線線角、線面角考情聚焦：1線線角、線面角是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，幾乎每年都考。2在各類題型中均可出現(xiàn)，特別以解答題為主，屬于低、中檔題?？枷蜴溄樱?利用空間向量求兩異面直線所成的角,直線與平面所成的角的方法及公

9、式為:（1）異面直線所成角設(shè)分別為異面直線的方向向量，則（2）線面角設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則2運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟為：（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)。（2）求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）寫出向量坐標(biāo)。（4）結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算。（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。例2：（2010·遼寧高考理科·19）已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).（）證明：CMSN；（）求SN與平面CMN所成角的大小.【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計(jì)算問題，考查

10、了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。【思路點(diǎn)撥】建系，寫出有關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，計(jì)算的數(shù)量積，寫出答案；求平面CMN的法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案。【規(guī)范解答】設(shè)PA1，以A為原點(diǎn)，射線AB、AC、AP分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖。則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, )，N(,0,0)，S(1,0)（I）【方法技巧】（1）空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。 （2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決。 （3）線面角的范圍是0°90°，因此直線的方向向量與平面法

11、向量的夾角的余弦是非負(fù)的，要取絕對(duì)值。要點(diǎn)考向3：利用空間向量求二面角考情聚焦：1二面角是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容，是年年必考的知識(shí)點(diǎn)。2常以解答題的形式出現(xiàn)，屬中檔題或高檔題?？枷蜴溄樱呵蠖娼亲畛Ｓ玫霓k法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。其計(jì)算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補(bǔ)或相等， 例3：（2010·天津高考理科·9）如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是棱,上的點(diǎn)，,求異面直線與所成角的余弦值；證明平面求二面角的正弦值?！久}立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂

12、直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系或常規(guī)方法處理問題。【規(guī)范解答】方法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè),依題意得,易得,，于是，所以異面直線與所成角的余弦值為。證明：已知,于是·=0，·=0.因此，,又所以平面(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為課后作業(yè)：一、選擇題(每小題6分，共36分)1.已知點(diǎn)A（-3,1,-4），則點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱

13、點(diǎn)的坐標(biāo)為( )(A)（-3,-1,4）(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)2.在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AB1BC1，則平面DBC1與平面CBC1所成的角為( )(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3. 設(shè)動(dòng)直線與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點(diǎn)，則的最大值為（ ） A B C2 D34. 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)，沿軸把坐標(biāo)平面折成的二面角后，的長(zhǎng)為（ ）A B C D5. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（

14、 ）ABCD6. 如圖：在平行六面體中，為與的交點(diǎn)。若，則下列向量中與相等的向量是（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空題（每小題6分，共18分）7，是空間交于同一點(diǎn)的互相垂直的三條直線，點(diǎn)到這三條直線的距離分別為,，則,則_ _。8平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1兩兩之間夾角均為600，則= 9將正方形沿對(duì)角線折成直二面角后，有下列四個(gè)結(jié)論：（1）； （2）是等邊三角形；（3）與平面成60° ；（4）與所成的角為60°其中正確結(jié)論的序號(hào)為_（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題（共46分）10. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長(zhǎng)為 2的菱形，BAD=60°，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，,E、F分別是BC、AP的中點(diǎn) （1）求證：EF平面PC