線性分組碼的編碼原理

1、第 8 章差錯控制編碼本章教學(xué)基本要求：掌握： 1. 差錯控制編碼的基本概念、基本原理2. 線性分組碼的 G、 H 矩陣3. 位同步理解：卷積碼了解：常用的簡單編碼本章核心內(nèi)容：一、差錯控制編碼的基本概念、原理二、常用的簡單編碼三、線性分組碼四、卷積碼一、差錯控制編碼的基本概念、原理1. 差錯編碼的基本概念差錯控制編碼屬信道編碼，要求在滿足有效性前提下，盡可能提高數(shù)字通信的可靠性。 差錯控制的目的是用信道編碼的方法檢測和糾正誤碼，降低誤比特率。數(shù)字信號在傳輸過程中受到干擾的影響，使信號波形變壞，發(fā)生誤碼，可以采用一些方法解決。同時設(shè)計系統(tǒng)時，還要合理地選擇調(diào)制、解調(diào)、發(fā)送功率等因素，采用上述措

2、施仍難以滿足性能要求，就要采用差錯控制措施了。從差錯控制角度來看，根據(jù)加性干擾引起的錯碼分布規(guī)律的不同，把信道分為三類，即隨機(jī)信道、突發(fā)信道和混合信道，對不同類型的信道，采用不同的差錯控制技術(shù)。差錯控制方法常用的有以下三種：（ 1）檢錯重發(fā)法（ ARQ）：檢錯重發(fā)方式只用于檢測誤碼，需具備雙向信道。收端在接收到的信碼中發(fā)現(xiàn)錯碼時，就通知發(fā)端重發(fā)，直到正確接收為止。（ 2）前向糾錯法（ FEC）：收端不僅能檢測誤碼，還能糾正錯碼。這種方法實(shí)時性好，不需要反向信道，但糾錯設(shè)備較復(fù)雜。（ 3）反饋校驗(yàn)法：接收端將接收到的信碼原封不動地轉(zhuǎn)發(fā)回發(fā)端，并與原發(fā)送信碼相比較，若發(fā)現(xiàn)錯誤，發(fā)端再重發(fā)。d0 ，

3、最小碼距是衡三種方法可以結(jié)合使用2. 糾錯編碼的基本原理在信息碼序列中加監(jiān)督碼就稱為差錯控制編碼，也叫糾錯編碼。不同的編碼方法， 有不同的檢錯和糾錯能力， 增加監(jiān)督碼元越多， 檢（糾）錯能力越強(qiáng)。差錯控制編碼原則上是降低Rb來換取可靠性提高。 （即Pe更?。?。信息碼元和監(jiān)督碼元之間有一種關(guān)系，關(guān)系不同，形成碼的類型也不同。信息碼元和監(jiān)督碼元用線性方程組聯(lián)系，所形成的碼稱為線性分組碼，包括漢明碼和循環(huán)碼。在線性分組碼中，兩個碼組對應(yīng)位上數(shù)字不同的位數(shù)稱為碼組距離，簡稱碼距，又稱漢明（Hamming）距離。編碼中各個碼組間距離的最小值稱為最小碼距量碼組檢錯和糾錯能力的依據(jù)，其關(guān)系如下:(1) 為檢

4、測 e 個錯碼，則要求最小碼距d0 e 1 ，(2) 為糾正 t 個錯碼，則要求最小碼距 d0 2t 1 ，(3) 為糾 正t 個錯碼 ，同時 為檢測e 個錯碼，則要求最小碼d 0et1, et 。二、常用的簡單編碼（ 1）奇偶監(jiān)督碼：可分為奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼兩種，原理和檢錯能力都相同。監(jiān)督碼只有一位，編碼后碼組中“1”的數(shù)目為奇數(shù)是奇監(jiān)督，“ 1”的數(shù)目為偶數(shù)是偶監(jiān)督，能夠檢測奇數(shù)個錯碼，適用于檢測隨機(jī)錯誤。（ 2）二維奇偶監(jiān)督碼：又稱為方陣碼，它是把上述奇偶監(jiān)督碼的若干碼組排成矩陣，每一碼組寫成一行，再按列的方向增加第二維監(jiān)督位。能檢測部分偶數(shù)個錯碼，適用于檢測突發(fā)錯碼，檢錯能力較強(qiáng)。

5、（ 3）恒比碼：在恒比碼中，每個碼組均含有相同數(shù)目的“1”（和“0”）。由于“ 1”和“ 0”的數(shù)目之比保持恒定，故得此名。在檢測時，只要計算接收碼組中的“1”的數(shù)目是否對，就知道有無錯誤。恒比碼編碼簡單，適用于傳輸字母和符號， 對二進(jìn)制隨機(jī)數(shù)字序列不適用。（ 4）正反碼：正反碼是一種簡單的能夠糾錯的編碼。編碼的監(jiān)督位數(shù)目與信息位數(shù)目相同，監(jiān)督碼元是信息碼的重復(fù)還是反碼，由信息碼中“ 1”的個數(shù)而定?！?1”為奇數(shù)時是重復(fù)，“ 1”為偶數(shù)時是反碼。三、線性分組碼1. 基本概念(1) 分組碼：先將信息碼分組，然后給每組信碼附加若干監(jiān)督碼的編碼稱為分組碼，用符號(n, k ) 表示， k 是信息碼

6、的位數(shù)，n是編碼組總位數(shù)，又稱為碼長，rnk 為監(jiān)督位數(shù)。(2) 代數(shù)碼：建立在代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的編碼稱為代數(shù)碼。(3) 線性碼：線性碼中信息位和監(jiān)督位是按一組線性方程構(gòu)成的。線性碼是一種代數(shù)碼。(4) 線性分組碼：信息碼分組后，附加的監(jiān)督碼和信息碼由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著的編碼稱為線性分組碼。(5)編碼效率：指碼組中的信息碼元個數(shù)與碼組長度的比值k1r 。n n2. 線性分組碼的編碼原理一般說來，若碼長為 n ，信息位為 k ，則監(jiān)督位為 r n k ，如果希望用 r 個監(jiān)督位構(gòu)造出 r 個監(jiān)督關(guān)系式來指示一位錯碼的 n 種可能位置，則要求：2r1n 或2rrk1以漢明碼為例來說明編碼原理。漢明

7、碼是一種能夠糾正一位錯碼且編碼效率較高的線性分組碼。（7，4）漢明碼的編碼效率：1r4 , n 很大時，1。n7（1）監(jiān)督矩陣：（7，4）漢明碼碼位之間滿足下式，其中a6 a5 a4a3為信息碼， a2 a1 a0 為監(jiān)督位。1 a61 a51 a40 a31 a20 a10 a001 a61 a50 a41 a30 a21 a10 a001 a60 a51 a41 a30 a20 a11 a00式中的“ +”指模 2加，改寫為矩陣形式：a6a51110100a40110101 0a30 (模2)1011001a20a1a0上式還可以簡記為HAT0T或A HT0其中1110100H110101

8、01011001Aa6a5a4a3a2a1a00000H 稱為監(jiān)督矩陣，只要H給定，編碼時監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就完全確定了，H 的行數(shù)是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目，等于r。 H矩陣的各行應(yīng)是線性無關(guān)的。H 可化為典型監(jiān)督矩陣，包含兩部分：1110100H1101010PI r1011001（2）生成矩陣： a6a5a4 a3 a2 a1a碼位之間還可以改寫成下式：0a2a1a0a6a5a4a3Q式中， Q 為一 kr 階矩陣，它為p的轉(zhuǎn)置111QPT110101011上式表明，信息位a6 a5 a4 a3給定后，用信息位的行矩陣乘矩陣Q就產(chǎn)生出監(jiān)督位。將Q的左邊加上一kk階單位方陣就構(gòu)成一矩陣G :10

9、00111G I k0100110Q01010100001011G 稱為生成矩陣，可以由此產(chǎn)生整個碼組，即Aa6a5a4a3G所以如果給出碼的生成矩陣，則編碼方法就完全確定了。 具有 I k Q形式的生成矩陣稱為典型生成矩陣，得到的碼組信息位不變，監(jiān)督位附加其后，這種碼稱為系統(tǒng)碼。線性碼具有封閉性，因此線性碼的最小距離即是碼的最小重量（除全“ 0”外）。四、循環(huán)碼1. 循環(huán)碼的編碼原理循環(huán)碼是一種重要的線性分組碼。這種碼的編碼和解碼設(shè)備都不太復(fù)雜，且有較強(qiáng)的檢（糾）錯能力。循環(huán)碼具有循環(huán)性，即碼中任一碼組循環(huán)一位以后，仍為該碼中的一個碼組。討論循環(huán)碼時，用多項(xiàng)式代表許用碼組，碼組中各碼元當(dāng)作是

10、多項(xiàng)式的系數(shù)，這種多項(xiàng)式有時稱為碼多項(xiàng)式，用T (x)表示。T ( x)可以按模運(yùn)算，且運(yùn)算規(guī)律符合循環(huán)性。如T ( x)是長為n的許用碼組，則T (x)xiT (x)在按模x n 1 運(yùn)算下，也是一個許用碼組。生成矩陣G ：在循環(huán)碼中，一個( n, k)碼有 2k個不同碼組，若用g( x)表示其中前k1 位皆為“ 0”的碼組，則g( x), xg (x),xk 1 g( x)都是碼組，且線性無關(guān)。找出任一(n, k )循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式，就可以構(gòu)成此循環(huán)碼的生成矩陣G。k 1xg( x)G( x)xg( x)g( x)G 不是典型矩陣，可以通過初等變換，將其化為典型陣。2. 循環(huán)碼的編碼方法和編碼器的構(gòu)造編碼方法：由循環(huán)碼的構(gòu)造可知，所有碼多項(xiàng)式 T ( x) 都可被 g (x) 整除。即若某多項(xiàng)式能被 g(x) 整除，且商的次數(shù)不大于 k 1 ，則其必為碼多項(xiàng)式。根據(jù)上述原理，編碼步驟歸納如下：（1）設(shè)m( x)為信息碼多項(xiàng)式，用xn k 乘 m( x) 。（2）用g( x)除 xn k m( x) ，即x n k m( x)r (x)g (x)Q( x)g( x)其中， r ( x)是余式。（3） xn k m( x)r ( x