高考數(shù)學(xué)考前復(fù)習(xí)沖刺

1、2010屆高考數(shù)學(xué)考前大禮一考試說明再回顧：A級內(nèi)容：集合及其表示、冪函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等式（積化和差等）、平面向量的應(yīng)用、數(shù)列的概念、線性規(guī)劃、復(fù)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的概念、算法的概念、流程圖、算法基本語句、命題的四種形式、簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、分析法與綜合法、反證法、抽樣方法、總體分布的估計、變量的相關(guān)性、隨機事件與概率、幾何概型、互斥事件及其發(fā)生的概率、統(tǒng)計案例、柱、錐、臺、球及其簡單組合體、三視圖與直觀圖、柱、錐、臺、球的表面積與體積、空間坐標(biāo)系、中心在坐標(biāo)原點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、頂點在坐標(biāo)原點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)。共32個知識點。B級內(nèi)容：子集、交

2、并補集、函數(shù)的概念、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)模型及其應(yīng)用、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式、正余弦函數(shù)與正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二倍角的正弦余弦與正切、正余弦定理的應(yīng)用、平面向量的概念、平面向量的線性運算、平面向量的坐標(biāo)表示、平面向量的平行與垂直、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的四則運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用、充要條件、合情推理與演繹推理、總體特征數(shù)的估計、古典概型、線面平行與垂直的判定與性質(zhì)、面面行與垂直的判定與性質(zhì)、直線的斜率與傾斜角、直線的平行關(guān)系到與垂直關(guān)系、兩條直線的交點、兩

3、點間的距離點到直線的距離、直線與圓（圓與圓）的位置關(guān)系、中心在坐標(biāo)原點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何意義。共36個知識點。C級內(nèi)容：兩角和（差）的正弦、余弦和正切；平面向量的數(shù)量積；等差數(shù)列；等比數(shù)列；基本不等式；一元二次不等式；直線方程；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。共8個知識點。二數(shù)學(xué)填空題的解法：填空題的類型一般可分為：完形填空題、多選填空題、條件與結(jié)論開放的填空題. 這說明了填空題是數(shù)學(xué)高考命題改革的試驗田，創(chuàng)新型的填空題將會不斷出現(xiàn). 因此，我們在備考時，既要關(guān)注這一新動向，又要做好應(yīng)試的技能準(zhǔn)備.解題時，要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步驟都正確無誤，還要求將答案表達得準(zhǔn)確、完整. 合

4、情推理、優(yōu)化思路、少算、多思、畫圖將是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的基本要求。應(yīng)答時必須按規(guī)則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷。求解填空題的基本策略是要在“準(zhǔn)”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、數(shù)形結(jié)合法、等價轉(zhuǎn)化法等。一、直接法這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結(jié)果，可以說是一些送分題。1設(shè)其中為互相垂直的單位向量，又，則實數(shù)= 。 （）2如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，那么3若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則二、特殊值法當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化

5、的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果。4若動點在橢圓上， 且滿足，則橢圓中心到直線的距離等于 。 5已知雙曲線，則焦點到漸近線的距離為 分析：這是一個中心在的雙曲線，直接求解肯定較繁，但我們知道，雙曲線的平移并不改變雙曲線的焦點到漸近線的距離，所以我們直接求雙曲線的焦點到漸近線的距離就大大地減少了運算6過拋物線(0)的焦點作一直線交拋物線于、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是、，則 當(dāng)Q為通徑時求值為三、數(shù)形結(jié)合法對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果。7 如果不等式的解集為，且，那么實數(shù)的取值范圍是 。根據(jù)不等式解集的幾何意義，作函

6、數(shù)和函數(shù)的圖象（如圖），從圖上容易得出實數(shù)a的取值范圍是。8已知向量，向量，向量， 則向量與夾角的范圍是 9設(shè)向量滿足，則的最大值為 _。10設(shè)集合,分別從集合和中隨機取一個數(shù)和,確定平面上的一個點,記“點落在直線上”為事件,若事件的概率最大,則的可能值是_. 11橢圓上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，則當(dāng)m取最大值時，點P的坐標(biāo)是_.講解 記橢圓的二焦點為，有 則知 顯然當(dāng)，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.故應(yīng)填或12一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數(shù)解析式是，在杯內(nèi)放一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是_.講解 依拋物線的對稱性可知，大圓

7、的圓心在y軸上，并且圓與拋物線切于拋物線的頂點，從而可設(shè)大圓的方程為 由 消去x，得 （*）解出 或要使（*）式有且只有一個實數(shù)根，只要且只需要即再結(jié)合半徑，故應(yīng)填13若方程在內(nèi)有唯一解，則實數(shù)的取值范圍為分析：原方程變形為 即：設(shè)曲線 , 和直線1，圖像如圖所示： 當(dāng)10時，有唯一解，1； 當(dāng)114時，有唯一解，即30, 故1或3014在平面直角坐標(biāo)中點集，則：（1）點集所表示的區(qū)域的面積為 。（2）點集所表示的區(qū)域的面積為 。解：（1）代入A得，于是面積，（2）作入A得 而在三角形區(qū)域內(nèi)運動。四、等價轉(zhuǎn)化法通過“化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的

8、結(jié)果。15 不等式的解集為，則 。解：設(shè)，則原不等式可轉(zhuǎn)化為：a 0，且2與是方程的兩根，由此可得：。所以16 不論為何實數(shù)，直線與曲線恒有交點，則實數(shù)的取值范圍是 。解：題設(shè)條件等價于點（0，1）在圓內(nèi)或圓上，或等價于點（0，1）到圓，。17已知函數(shù)，且滿足，則實數(shù)的范圍為 。 18設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)，若對任意不等式恒成立，則實數(shù)t取值范圍為_。 19設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，且，則不等式的整數(shù)解是 五 外形聯(lián)想20函數(shù)的最小值為 ；最大值為 分析：從所求式結(jié)構(gòu)特征思考，本題可等價變換為斜率公式，結(jié)合圖形解之表示過點與點的直線的斜率，而點的軌跡是圓，由圖可知：當(dāng)點位于切點時最小，；

9、當(dāng)點位于切點時最大，21解方程：的解為 分析：從外形結(jié)構(gòu)上可類比：平面上兩個兩點距離和為10，于是聯(lián)想到橢圓的定義，因此將原方程變形為：令，則方程表示點到兩定點、的距離和為10，符合橢圓的定義，那么點滿足橢圓方程：又因為，所以，于是，即原方程的解為：此外，還有一些填空題在形式上會有所不同，如：（一）多項選擇型1關(guān)于函數(shù)有下列結(jié)論：是奇函數(shù)，最大值是；時，恒成立；的最小值為。其中所有正確命題的序號為 。 2下列命題中,錯誤命題的序號有_(1)“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的必要條件；(2)“直線垂直平面內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線垂直平面”的充分條件；(3)已知為非零向量，則“”是“”的充要條件；(4)若，則

10、（1）、（2）、（3）3給出下列關(guān)于互不相同的直線和平面的四個命題：若是異面直線，且則若上有兩個點到的距離相等，則；若，則；若，則。其中為真命題的是 （二）開放型4在等差數(shù)列中，當(dāng)時，必定是常數(shù)數(shù)列，然而在等比數(shù)列中，對某些正整數(shù)，當(dāng)時，舉一個非常數(shù)數(shù)列的一個例子是 。 （）（三）思辨題5已知點在第三象限，則角的終邊在第象限 （二）6對任意的，函數(shù)的值總大于，則的取值范圍是 。 （或）7給出問題：是雙曲線的焦點，點在雙曲線上，若點到焦點的距離等于，求點到焦點的距離。某學(xué)生解答如下：雙曲線實軸長為，由，即，得或。該學(xué)生回答是否正確？若正確請將他的解答依據(jù)填在下面空格內(nèi)。若不正確，將正確結(jié)果填在下

11、面空格內(nèi)： 。因為最小值為8用紅、黃兩種顏色給正四面體的四個頂點隨機涂色，則“有一個面上三個頂點同色”的概率為_。 9如圖，為棱長為1單位的正方體，M、N分別為兩棱的中點，現(xiàn)有一動點P，隨機地在正方體內(nèi)部運動，則使MPN為鈍角的概率為 （四）探究型10設(shè)，利用課本推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的方法可求得：的值為 （）11平幾里有勾股定理：“設(shè)的兩邊互相垂直，則”。拓展到空間類比之，可研究三棱錐的側(cè)面積與底面積之間的關(guān)系，可得出的正確結(jié)論是“設(shè)三棱錐三個側(cè)面兩兩互相垂直，則 ”。（五）圖表型12已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，它們的定義域都為，當(dāng)時，它們的圖象如圖，則不等式的解集為 。 （六）新定義型13設(shè)，

12、規(guī)定兩向量之間的運算“”為，若已知則= 。 （）14設(shè)函數(shù)的定義域為D，若存在非零實數(shù)使得對于任意，有，且，則稱為M上的高調(diào)函數(shù)。15如果定義域為的函數(shù)為上的高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是 。16如果定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，且為R上的4高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是 。（）三數(shù)學(xué)解答題解析：（一）、向量三角類：三角類注意與角有關(guān)的求最值題、與圖象有關(guān)的求范圍題、與三角形有關(guān)的求三角函數(shù)題。1若為銳角，且。（1）求證：；（2）求的最大值。解：（1），化簡得，所以。（當(dāng)心條件）（2）因為，所以化得等號當(dāng)且僅當(dāng)時取到。2已知函數(shù)的部分圖象如圖所示。（1）、求的值；（2）、設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)遞境

13、區(qū)間。解：（1）；（2）由（1）知，所以，即所以的單調(diào)增區(qū)間為3在中，已知內(nèi)角，邊設(shè)內(nèi)角，周長為，面積為。（1）求函數(shù)的解析式和定義域，并求出的最大值（2）求函數(shù)的解析式和定義域，并求出的最大值高考資源網(wǎng) 解：（1）的內(nèi)角和，由得應(yīng)用正弦定理，知，因為，高考資源網(wǎng)所以，因為，所以，當(dāng)，即時，取得最大值高考資源網(wǎng) （2） ， 4在中， ()、求； (11)、設(shè)的外心為，若，求，的值解：（）,.()由,知 為的外心，.同理.即， 解得:（二）、幾何類解析幾何當(dāng)心橢圓中的幾何性質(zhì)的挖掘。5若橢圓過點，離心率為，圓O圓心為原點，直徑為橢圓的短軸長，圓M方程為，過圓M上任一點P作圓O的切線，切點為A,B

14、(1) 求橢圓方程；（2）若直線PA與圓M另一個交點為Q，當(dāng)弦PQ最大時，求直線PA的直線方程。（3）求的取值范圍。解：（1）由又由兩式解得（2）當(dāng)弦PQ為圓M的直徑時，PQ最大。此時直線PA方程可設(shè)為則圓心O到直線PA的距離為解得k=故直線PA方程為(3) =cos()=-cos(2AOP)=-2cos=(-+1)=-12+又所以當(dāng)=4時有最小值為6，當(dāng)=6時有最大值為24所以6已知半橢圓和半圓組成曲線，其中；如圖，半橢圓內(nèi)切于矩形，且交軸于點，點是半圓上異于的任意一點，當(dāng)點位于點時，的面積最大。（1）求曲線的方程；（2）連、交分別于點，求證：為定值。解：（1）已知點在半圓上，所以，又，所以

15、，當(dāng)半圓在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離最大，此時的面積取得最大值，故半圓在點處的切線與直線平行，所以，又，所以，又，所以， 所以曲線的方程為或。 （2）點，點，設(shè)，則有直線的方程為，令，得，所以；直線的方程為，令，得，所以； 則，又由，得，代入上式得，所以為定值。7已知若過定點、以為法向量的直線與過點以為法向量的直線相交于動點(1)求直線和的方程;(2)求直線和的斜率之積的值，并證明必存在兩個定點使得恒為定值；(3)在（2）的條件下，若是上的兩個動點，且，試問當(dāng)取最小值時，向量與是否平行，并說明理由。解（1）直線的法向量，的方程：，即為直線的法向量，的方程：，即為。 （2）。 （6分

16、）設(shè)點的坐標(biāo)為，由，得。由橢圓的定義的知存在兩個定點，使得恒為定值4。此時兩個定點為橢圓的兩個焦點。（10分）（3）設(shè)，則，由，得。；當(dāng)且僅當(dāng)或時，取最小值。，故與平行。8已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓的右焦點，為橢圓上一點，以為圓心，為半徑作圓。問點滿足什么條件時，圓與軸有兩個交點？（3）設(shè)圓與軸交于兩點，求的最大值（1）（2）（3）當(dāng)時的最大值為9如圖，過拋物線的頂點作兩點互相垂直的弦，再以為鄰邊作矩形，（1）求點的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與拋物線交于，與的軌跡交于，若|，求的取值范圍（三）、函數(shù)類10已知函數(shù)，在區(qū)間上有最大值4，最小值1，設(shè)（）求的值；（

17、）不等式在上恒成立，求實數(shù)的范圍；（）方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的范圍解:（）(1) 當(dāng)時，上為增函數(shù) 故 當(dāng)上為減函數(shù) 故 即. .（）方程化為，令， 記。 （）方程化為，令， 則方程化為 （）方程有三個不同的實數(shù)解， 由的圖像知，有兩個根、， 且 或 ， 記則 或 .m11已知函數(shù)的圖像過坐標(biāo)原點，且在點處的切線的斜率是。（1）求實數(shù)的值；（2）求在區(qū)間上的最大值；（3）對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點P、Q使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由。解：（1）當(dāng)時，依題意得 得（2）由（1）知，當(dāng)時，令得減極小值增極大值減所以當(dāng)時最大值為當(dāng)時，時，所以

18、的最大值為所以，當(dāng)時，在上的最大值為當(dāng)時，在上的最大值為（3）假設(shè)曲線上存在兩點P、Q滿足題意，則點P、Q只能在軸的兩側(cè)。不妨設(shè)，顯然，因為為直角三角形，所以即 是否存在P、Q等價于方程是否有解。當(dāng)，所以式可化為，而此式無實數(shù)解。當(dāng)，所以式可化為即 考察函數(shù)，因為所以在上單調(diào)增，所以，且當(dāng)時，所以當(dāng)時，方程總有解。即方程總有解，因此對任意給定的正實數(shù)，曲線上總存在兩點P、Q使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上。（四）數(shù)列類 江蘇高考還是要關(guān)注等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用。12已知公差大于零的等差數(shù)列的通項公式為，定義為滿足不等式的的個數(shù)、若求；、若，求證為等差數(shù)列； 、若，

19、求的取值范圍13已知向量，其中，把其中所滿足的關(guān)系式記為，若函數(shù)為奇函數(shù)。（1）求函數(shù)的表達式；（2）已知數(shù)列的 各項都是正數(shù)，為數(shù)列的前項和 ，且對于任意的，都有數(shù)列的前項和，求數(shù)列的首項和通項公式；（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的最小項。解：（1），為奇函數(shù)，（2）由題意：，相減得：（3）令當(dāng)最小項為，當(dāng)時，若，最小項為，若，最小項為或，=若，最小項為，若 ，最小項為，14已知數(shù)列滿足。（1）求；（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；（3）對任意的，在數(shù)列中是否存在連續(xù)的項構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，寫出這項，并證明這項構(gòu)成等差數(shù)列；若不存在，說明理由。解：（1）可求得；（1） 由題意，對于

20、任意的正整數(shù)，所以，又所以（2） 存在，事實上對任意的，在數(shù)列中這連續(xù)的項就構(gòu)成一個等差數(shù)列。先證明“對任意的有”由（2）知，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時，記，因此要證，只要證其中 如此下去，我們只要證明即，這個顯然成立，所以對任意的，其中所以，又，所以即這連續(xù)的項構(gòu)成等差數(shù)列（五）應(yīng)用類注重讀題，分析題中的有效信息，列式當(dāng)心定義域。15冰島南部一冰川火山口當(dāng)?shù)貢r間2010年3月20日發(fā)生大規(guī)模爆發(fā)性噴火，周邊飛揚了大量火山灰.火山噴發(fā)停止后，為測量的需要，距離噴口中心50m內(nèi)的圓環(huán)面為第1區(qū)、50m至100m的圓環(huán)面為第2區(qū)、100m至150m的圓環(huán)面為第3區(qū)、第m至m的圓環(huán)面為第n區(qū)，.現(xiàn)

21、測得第1區(qū)火山灰平均每平方米為1t、第2區(qū)每平方米的平均重量較第1區(qū)減少2%、第3區(qū)較第2區(qū)又減少2%，以此類推.若第區(qū)每平方米的重量為kg，請寫出的表達式；第幾區(qū)內(nèi)的火山灰總重量最大？該火山前區(qū)這次噴發(fā)出的火山灰的總重量為多少萬噸？16汶川大地震后，為了消除某堰塞湖可能造成的危險，救援指揮部商定，給該堰塞湖挖一個橫截面為等腰梯形的簡易引水槽（如圖）進行引流，已知等腰梯形的下底與腰的長度都為，且水槽的單位時間內(nèi)的最大流量與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)，（1）、試將水槽的最大流量表示成關(guān)于的函數(shù)；（2）、為確保人民的生命財產(chǎn)安全，請你設(shè)計一個方案，使單位時間內(nèi)水槽的流量最大（即當(dāng)為多大時，單位時間內(nèi)水槽的流量最大）。解：（1）、設(shè)水槽的橫截面面積為，則所以（2）、，令，則，得或由知，所以當(dāng)時，即在上遞增，當(dāng)時，即在上遞減，所以當(dāng)時，水槽的流量最大，即設(shè)計成的等腰梯形引水槽，可使單位時間內(nèi)水槽的流量最大。17從一副撲克牌的紅桃花色中取5張牌，點數(shù)分別為1、2、3、4、5。甲乙兩人玩一種游戲：甲先取一張牌，記下點數(shù)，放回后乙再取一張牌，記下點數(shù)。如果兩個點數(shù)的和為偶數(shù)就算甲勝，否則算乙勝。（1） 求甲勝且點數(shù)的和為6的事件發(fā)生的