第七章假設檢驗-SCNU

1、§7.4 一般總體均值的假設檢驗 般總體均值的大樣本假設檢驗1. 一個總體均值的大樣本假設檢驗設樣本(X1,X2,L ,Xn)取自非正態(tài)總體 X，記總體均值 E(X)。樣本均值及Xi , S2 匕n 11 n樣本方差分別為X 1n i 1如果我們要做雙側(cè)檢驗：n(Xi X)2。i 1n 30)下可選 Z似服從N(0,1)。檢驗的統(tǒng)計量Z的觀測值為H。：Hi :X 0為檢驗統(tǒng)計量，S / . nP值近似為2P(Z | zO |Zo x 0s/.n °0，在大樣本情況(樣本容量由中心極限定理知，它在H0成立時近0)2(1(|zol)，其中檢驗例 7.4.1一種機床加工的零件尺寸

2、絕對平均誤差為1.35mm。生產(chǎn)廠家現(xiàn)采用一種新的機床進行加工以期降低誤差。為檢驗新機床加工的零件平均誤差與舊機床相比是否有顯著降低，從某天生產(chǎn)的零件中隨機抽取50個進行檢驗。50個零件尺寸的絕對誤差數(shù)據(jù)(mm)如下所示:1.26 1.19 1.31 0.97 1.81 1.13 0.96 1.06 1.00 0.94 0.98 1.10 1.12 1.03 1.16 1.12 1.12 0.95 1.02 1.13 1.23 0.74 1.50 0.50 0.59 0.99 1.45 1.24 1.01 2.03 1.98 1.97 0.91 1.22 1.06 1.11 1.54 1.08

3、 1.10 1.64 1.70 2.37 1.38 1.60 1.26 1.17 1.12 1.23 0.82 0.86利用這些數(shù)據(jù)，檢驗新機床加工的零件尺寸的平均誤差是否顯著降低？(0.01)E(X)是否小于1.35,解：這里研究者所關心的是新機床加工的零件尺寸的平均誤差與舊機床相比是否有 顯著降低，也就是新機床加工的零件尺寸的誤差的數(shù)學期望因此屬于單左側(cè)檢驗。提出的假設如下:H。：現(xiàn)在n 50，檢驗統(tǒng)計量可選為1.35 H1 :Z X 1.35S/需1.351.35 N(0,1);Zo由數(shù)據(jù)得：x1.215 1.350.366/ .50P(Z2.6081.2152.608，1.35)0.3

4、66，故檢驗統(tǒng)計量Z的觀測值為所以檢驗的P值近似為(2.608)0.0046。因為P 0.01，應拒絕原假設，可認為新機床加工的零件尺寸的平均誤差與舊機床相比有顯著降低。注：本例也可以直接根據(jù)原始數(shù)據(jù)計算檢驗的P值，操作步驟如下:第1步：進入Excel表格界面，直接點擊“f(x)'(粘貼函數(shù))命令。第2步：在函數(shù)分類中點擊統(tǒng)計”，并在函數(shù)名菜單下選擇“ZTEST，然后確定。第3步：在所出現(xiàn)的對話 Array框中，輸入原始數(shù)據(jù)所在區(qū)域；在 X后輸入?yún)?shù)的 某一假定值(這里為1.35);在Sigma后輸入已知的總體標準差(若總體標準差未知則可忽略不填，系統(tǒng)將自動使用樣本標準差代替)，如下圖

5、所示。圖722此時給出的分布右側(cè)面積為 0.995421058，用1減去該值，即為左側(cè)檢驗的P值,即 P 1 0.9954 0.0046。兩個總體均值的大樣本假設檢驗 設兩獨立樣本X1,E(X) 1 和 E(Y),Xn1和Y1,Yn2分別取自非正態(tài)總體 X和丫.二1仏二(總體均值記2 ),它們的樣本均值分別為 X1 1如果我們要做雙側(cè)檢驗：樣本方差分別為S2ni22(Xi X) , S2i 11n21H1:1厲in2(Yjj 1Xi , Y12Y)。Z 為檢驗統(tǒng)計量，由中心極限定理知，它在Sj/nS；/n2N(0,1)。檢驗的P值近似為z Tf-X y?=為檢驗統(tǒng)計量 v'Si2/n1

6、 sf n2例一個隨機樣本由居民一區(qū)的1n2Yj , 門2 j 1在大樣本情況下可選H 0成立時近似服從2P(Z |zo| 12) 2(1(|z。|),其中Z的觀測值。100個家庭組成，另一隨機樣本由居民二區(qū)的150個家庭組成，這兩個樣本所給出的關于目前住房中居住了多長時間的信息如下：_ 2 2X 41個月，y 49個月，S1 900 , S2 1050。這些數(shù)據(jù)是否提供了充分的證據(jù)，說明一區(qū)家庭在目前住房中居住的時間平均來說比二區(qū)家庭短? 解：建立假設(設0.05)H。： 1本題的樣本容量足夠大， n1100 ,Z TS?X4149H1 ： 1 2150 ,檢驗統(tǒng)計量為Y2/n1 S2 /n

7、21 2N(0,1)其樣本觀測值為zO2。此題屬于左側(cè)檢驗，檢驗的P900 100 1050150值近似為P(Z 2 12)( 2)0.02275，故拒絕H 0，接受H1，即說明一區(qū)家庭在目前住房的時間平均來說比二區(qū)家庭短?？傮w比率的假設檢驗1.單個總體比率的大樣本假設檢驗設樣本(X1,X2,L ,Xn)取自0-1分布總體X B(1, p)，總體均值E(X) p。樣 n本均值為X Xi。n i 1如果我們要做雙側(cè)檢驗：H0 ： pmin(n p°, n(1 p。)5)下可選- XP0_ 或 Z* _XP0X)/n, P0(1由中心極限定理知(P0 H 1: p P0，在大樣本情況(n

8、 30且Z X(1為檢驗統(tǒng)計量,p°)/nP99,N(0,1)。所以驗的 P值近)，它們在H。成立時都近似服從2P(Z |Zo|H°)2(1 (I Zo I)或 *I2P(Z |Zo I H0)2(1 (I Zo I)其 中Zox P0x(1 x)/nxP0zo 分別為檢驗統(tǒng)計量、呱(1 p°)/ nZ和Z的觀測值。50%是例某企業(yè)的產(chǎn)品暢銷于國內(nèi)市場。據(jù)以往調(diào)查，購買該產(chǎn)品的顧客有歲以上的男子。該企業(yè)負責人關心這個比例是否發(fā)生了變化(無論是增加還是減少于是委托一家咨詢公司進行調(diào)查，這家咨詢機構從眾多的購買者中隨機抽選了名進行調(diào)查，結(jié)果有210名為30歲以上的男子

9、。該廠負責人希望在顯著性水平30)?4000.05下檢驗解：提出假設：H。由于樣本容量n“50的顧客是30歲以上的男子”這個假設。:P P050% H1 : p P0400 30，且 min(np°, n(1 p°)2005，所以可以使用正態(tài)分布進行檢驗。檢驗統(tǒng)計量為XP0Z0或 Z*,X(1 X)/n它們在H。成立時都近似服從XP0.P0(1 P°)/nN(0,1)?，F(xiàn)在 X 210/400 0.525，0.525 0.5檢驗統(tǒng)計量1.001 和 zOZ和Z的樣本觀測值分別為0.525 0.51。 0.5(1 0.5)/400(1.001)2(1 0.8416)

10、0.3168ZO <0.525(1 0.525)/400檢驗的P值近似為2P(Z 1.001 H0)2(11H0)2(1(1)0.3174。因為檢驗的P值都大于顯著性水平 0.05，故不拒絕 H0，即沒有充分理由認為比例或 2P(Z發(fā)生了變化。2 .兩個總體比率的大樣本假設檢驗設兩獨立樣本 X1, ,Xn1和丫1, ，丫n2分別取自0-1分布總體(總體均值記為 E(X) p1 和 E(Y)P2),樣本均值分別為Xni如果我們要做雙側(cè)檢驗:H0 ： P1P2H1:X Y?(1 P)(1/ n伽2)niP1)為檢驗統(tǒng)計量,n1 n2在H。成立時近似服從N(0,1)n2Y。j 1Xi ,i 1

11、P2，在大樣本情況下可選n2由中心極限定理知(P99, ),它所以檢驗的 P 值近似為2P(Z |zo | H。)2(1(|Zo I)，其中 Zo.?(1?)(1/n1 1/n2)為檢驗統(tǒng)計量Z的觀測值。例甲、乙2公司屬于同一行業(yè)，有人問這福利費，還是愿意得到特定增加的基本工資。在甲公司2個公司的工人是愿意得到特定增加的150名工人的簡單隨機樣本中，有75人愿意得到增加基本工資；在乙公司200名工人的隨機樣本中,意得到增加的基本工資。在每個公司，樣本容量占全部工人數(shù)的比率不超過 試問：可以判定這2個公司中愿意增加基本工資的工人所占比例不同嗎？120人愿5%。=0.05)解：建立假設Ho : P

12、1 P2 H1 : P1P2現(xiàn)在是大樣本情形，檢驗統(tǒng)計量為Z j?(1 ?)(1 / n ? gX n2Y)/(n1n?),它在H°成立時近似服從 N(0,1)。由樣本觀測值知，x 75/150 0.5, y 120/200 0.6 ,?751200.5 0.6?0.557 , Zo.150 200, 0.557(1 0.557)(1/150 1 / 200)所以檢驗的P值近似為2P(Z 1.864 H 0) 2(1(1.864) 2(1由于P 0.05，所以不拒絕原假設 H°，即沒有充分理由認為這1/壓)加基本工資的工人所占比例不同。有時我們要檢驗兩個總體比率之差是否為某

13、一個不為Ho : P1 P2 do H1 : P1P2do,在大樣本情況下可選-X Y d0Z X(1為檢驗統(tǒng)計量,Zo1.864，0.969)0.062。2個公司中愿意增0的常數(shù)d。,即要檢驗假設:X)/n1 Y(1 Y)/n2由中心極限定理知，它在H0成立時近似服從 N(0,1)。所以檢驗的似 為 2P(Z |Zo|H。) 2(1(| Zo |), 其 中y d°、x(1 x)/n1 y(1 y)/n2為檢驗統(tǒng)計量Z的觀測值。的比率大5%。現(xiàn)從一車間和二車間分別抽出 口 150，其中一級品數(shù)為檢驗質(zhì)量研究人員的觀點。(設0.05)解：建立假設H。： P1P2 0.05 H1 :

14、P1P20.05例745某廠質(zhì)量檢驗人員認為該廠一車間的產(chǎn)品一級品的比率比二車間產(chǎn)品一級品2個獨立隨機樣本，得到如下數(shù)據(jù)：113； n2 160，其中一級品為104。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)檢驗統(tǒng)計量為X Y 0.05VX(1X)/rd它在P1P20.05成立時近似服從N(0,1)。由觀測值可知，X 113/150 0.753，y0.753 0.650.05Y(1Y)/ri2104/1600.65，于是檢驗統(tǒng)計量Z的觀測值為zO0.753(10.753)/1500.65(10.65)/1601.027。這是右側(cè)檢驗，所以檢驗的P值近似為P(Z 1.027 p1 p20.05)1(1.027)1 0.84

15、8 0.152。因為P 0.05，故不拒絕原假設，即現(xiàn)有數(shù)據(jù)不足以支持該廠質(zhì)量檢驗人員的觀點。3.單個總體比率的精確檢驗上面討論的都是大樣本情形下的近似檢驗。事實上，在實際工作中，只要知道總體的分布類型，我們就完全有能力利用計算機強大的計算功能或直接應用統(tǒng)計軟件考慮精 確的檢驗方法，下面以單個總體比率的檢驗為例。設樣本(X1,X2,L ,Xn)取自0-1分布總體 X B(1, p)，對右單側(cè)檢驗問題：H 0 : p P0 H 1 : pP0 ,檢驗統(tǒng)計量我們可以選為nT Xi ,i 1它在p P0時服從B(n, p°)( P67 , -8 )。所以檢驗的P值為nP(TtOpp0)1

16、P(TtO1 pp0)，其中t。Xi為檢驗統(tǒng)計量T的樣本i 1觀測值。這是單個總體比率的精確檢驗方法，大小樣本都適合！ 例某地區(qū)主管工業(yè)的負責人收到一份報告，該報告中說他主管的工廠中執(zhí)行環(huán)境保護條例的廠家不足 60%,這位負責人認為應不低于60%,于是他在該地區(qū)眾多的工廠中隨機抽查了 60個廠家，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有33家執(zhí)行了環(huán)境條例，那么由他本人的調(diào)查結(jié)果能否證明那份報告中的說法有問題(0.05)?解：這位負責人想知道真正的比率p是否少于60%，這是一個左側(cè)檢驗問題:H 0 : p P060% H1 : p P0法一：由于n 60 30,而且min(np0, n(1 p0) 24 5，可以用正態(tài)分布

17、進行檢驗。檢驗統(tǒng)計量為X P0 ,X(1 X)/n它們在PP0時都近似服從X P0.P0(1P0)/ nN(0,1)。Zo現(xiàn)在 X 33/600.55，0.55 0.6.0.55(1 0.55)/60值近似為P(Z0.778 H0)P值都大于顯著性水平因為檢驗的檢驗統(tǒng)計量Z和Z的樣本觀測值分別為*0.55 0.60.778和 zO 0.791。檢驗的 PJO.6(1 0.6)/600.218或 P(Z*0.791 H0)0.214。0.05，故不拒絕H。，即沒有充分理由認為遵守法則的工廠的比率不足 60%。盡管觀察的樣本比率小于 60%，但它并未顯著地低于 60%。n法二：采用單個總體比率的精確檢驗方法。檢驗統(tǒng)計量為Xi nX，它1在 p P0時服從 B(60,0.6)。現(xiàn)在T的樣本觀測值為to 33，故檢驗的P值為P(T 33 p p。)0.254。因為檢驗的P值大于顯著性水平 0.05，故不拒絕Ho,結(jié)論與法一同。例某廠生產(chǎn)的產(chǎn)