高中數(shù)學(人教版)第三章函數(shù)的極限無窮大量與無窮小量課件

1、一、無窮小量一、無窮小量 由于由于 等等同于同于 因此函因此函數(shù)極限的性質(zhì)與無窮小量的性數(shù)極限的性質(zhì)與無窮小量的性質(zhì)在本質(zhì)上是相同的質(zhì)在本質(zhì)上是相同的. . 所以有所以有人把人把 “數(shù)學分析數(shù)學分析” 也稱為也稱為 “無窮小分析無窮小分析”. . 5 無窮大量與無窮小量數(shù)學分析 第三章函數(shù)極限二、無窮小量階的比較二、無窮小量階的比較三、無窮大量三、無窮大量0lim( )xxf xA 0lim ( )0,xxf xA四、漸近線四、漸近線*點擊以上標題可直接前往對應(yīng)內(nèi)容定義1內(nèi)內(nèi)有有定定義義，的的某某鄰鄰域域在在點點設(shè)設(shè))(00 xUxf , 0lim0 xfxx若若.0時的無窮小量時的無窮小量為

2、為則稱則稱xxf為為類似地可以分別定義類似地可以分別定義f.時時的的無無窮窮小小量量和和有有界界量量.0時的有界量時的有界量xx 0fx若若在在點點的的某某個個空空心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有界界，則稱則稱 f 為為,0 xx x,0 xx, x,x后退 前進 目錄 退出無窮小量顯然，無窮小量是有界量顯然，無窮小量是有界量. .而有界量不一定是無窮而有界量不一定是無窮時時的的無無窮窮小小量量；為為11 xx例如例如:對于無窮小量與有界量，有如下關(guān)系：對于無窮小量與有界量，有如下關(guān)系：；時的無窮小量時的無窮小量為為 112xxsin;xxx 為時的無窮小量為時的無窮小量sin.xx 為為時時的的有有界界

3、量量小量小量. .無窮小量1. 兩個兩個(類型相同的類型相同的)無窮小量的和，差，積仍是無窮無窮小量的和，差，積仍是無窮2. 無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量.性質(zhì)性質(zhì)1 1可由極限的四則運算性質(zhì)直接得到可由極限的四則運算性質(zhì)直接得到. ,0lim, 00 xfxx因因為為的的 使得當使得當小量小量.下面對性質(zhì)加以證明下面對性質(zhì)加以證明.00|, |( )|,1xxf xM 時時從從而而).(,)(, 0)(lim00 xUxMxgxfxx 設(shè)設(shè)對于任意對于任意, 0 所所以以存存在在無窮小量|( ) ( )|.f x g x 0( ) ( ).f x g

4、xxx這這就就證證明明了了是是時時的的無無窮窮小小量量例如例如:時時的的無無窮窮小小量量，為為0 xx時時為為01sinxx的有界量，的有界量，.01sin時時的的無無窮窮小小量量為為那那么么xxx無窮小量xxy1sin 曲曲線線限密集的振動，限密集的振動，xy 所限制所限制. .y-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05O0.050.1xxy xxy1sin xy 從幾何上看，從幾何上看，其振幅被兩條直線其振幅被兩條直線在在 近旁發(fā)生無近旁發(fā)生無0 x.01sinlimlim1sinlim000 xxxxxxx應(yīng)當注意應(yīng)當注意, , 下面運算的寫法是錯誤的：下面運算的寫法是錯誤的：

5、兩個相同類型的無窮小量，它們的和兩個相同類型的無窮小量，它們的和、差差、積仍積仍00( )1.lim0( )( )( )xxf xxxfxg xg x若若， 則則稱稱時時是是關(guān)關(guān)于于0( ),( ).xxf xg x設(shè)設(shè)當當時時，均均是是無無窮窮小小量量出如下定義出如下定義.兩個無窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給兩個無窮小量之間趨于零的速度的快慢，我們給這與它們各自趨于零的速度有關(guān)這與它們各自趨于零的速度有關(guān).是無窮小量，但是它們的商一般來說是不確定的是無窮小量，但是它們的商一般來說是不確定的.為了便于考察為了便于考察無窮小量階的比較的的高高階階無無窮窮小小量量，記記作作. )()()(0

6、 xxxgoxf .)()1()(0 xxoxf .)0, 0()(1 kxxoxkk;)0()1(sin xox例如：例如：;)0()(cos1 xxox0( )f xxx當當為為時時的的無無窮窮小小量量時時， 我我們們記記無窮小量階的比較2. 若存在正數(shù)若存在正數(shù) M 和和 L，使得在，使得在 x0 的某一空心鄰域的某一空心鄰域)(0 xU內(nèi)，有內(nèi)，有,)()(MxgxfL 根據(jù)函數(shù)極限的保號性，特別當根據(jù)函數(shù)極限的保號性，特別當0)()(lim0 cxgxfxx時時,例如例如: ,0時時當當xxcos1 與與2x是同階無窮小量是同階無窮小量;則稱則稱 與與 是是0 xx 時的同階無窮小量

7、時的同階無窮小量.)(xf)(xg無窮小量階的比較這兩個無窮小量一定是同階的這兩個無窮小量一定是同階的.當當0 x時，時，x 與與 xx1sin2是同階無窮小量是同階無窮小量.3. 若兩個無窮小量在若兩個無窮小量在)(0 xU內(nèi)滿足內(nèi)滿足:,)()(Lxgxf 則記則記).() )()(0 xxxgOxf ,)(0時的有界量時時的有界量時為為xxxf我們記我們記.)()1()(0 xxOxf 應(yīng)當注意，若應(yīng)當注意，若)(,)(xgxf為為0 xx 時的同階無時的同階無窮小量，窮小量，無窮小量階的比較. )() )()(0 xxxgOxf 反之不一定成立反之不一定成立, 例如例如. )0()(1

8、sin xxOxx但是這兩個無窮小量不是同階的但是這兩個無窮小量不是同階的.當然有當然有注意：注意：這里的這里的) )()() )()(xgOxfxgoxf 與與)(0 xx 和通常的等式是不同的和通常的等式是不同的,右邊右邊, 本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)本質(zhì)上只是表示一類函數(shù)表示表示 的所有高階無窮小量的集合的所有高階無窮小量的集合)(xg)(0 xx ) )(xgo例如例如也就是說，這里的也就是說，這里的 “=” 類似于類似于.”“ 無窮小量階的比較這兩個式子的這兩個式子的. )( )()( 0 xxxgxf , 1sinlim0 xxx因為因為 , 1arctanlim 0 xxx因為因為則

9、稱則稱若若 , 1)()(lim . 40 xgxfxx時時的的為為與與0 )( )( xxxgxf等價無窮小量，記作等價無窮小量，記作);0(sinxxx所以所以);0(arctanxxx所以所以無窮小量階的比較.0)(21cos12 xxx同同樣樣還還有有根據(jù)等價無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)：根據(jù)等價無窮小量的定義，顯然有如下性質(zhì)：),( )()( ),( )()( 00 xxxhxgxxxgxf若若00( )( ) limlim( )( )xxxxf xf xh xg x 前面討論了無窮小量階的比較前面討論了無窮小量階的比較, 值得注意的是值得注意的是, 并并.)( )()( 0 xx

10、xhxf那么那么這是因為這是因為不是任何兩個無窮小量都可作階的比較不是任何兩個無窮小量都可作階的比較. 例如例如無窮小量階的比較0( )lim1 .( )xxg xh x xxsin與與21x均為均為 x時的無窮小量時的無窮小量, 按照前面討論的方式進行階的比較按照前面討論的方式進行階的比較. 這是因為這是因為)(sin1sin2 xxxxxx是一個無界量，并且是一個無界量，并且(2 )sin(2 )0 .nn下面介紹一個非常有用的定理：下面介紹一個非常有用的定理：無窮小量階的比較卻不能卻不能定理3.12設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f, g, h 在在)(0 xU內(nèi)有定義內(nèi)有定義, 且且. )()()(0

11、xxxgxf;)()(lim,)()(lim)1(00AxhxgAxhxfxxxx 則則若若.)()(lim,)()(lim)2(00AxgxhAxfxhxxxx 則則若若.)()()()(lim)()(lim00Axhxfxfxgxhxgxxxx 證證0(1)lim( ) ( ),xxf x h xA 因因為為所以所以(2) 可以類似地證明可以類似地證明.無窮小量階的比較0( )lim1,( )xxf xg x 定理定理 3.12 告訴我們，在求極限時，乘積中的因子告訴我們，在求極限時，乘積中的因子例例1.2sinarctanlim0 xxx計算計算0arctanlimsin2xxx解解),

12、0(22sin,arctanxxxxx因因為為所以所以可用等價無窮小量代替，這是一種很有用的方法可用等價無窮小量代替，這是一種很有用的方法.無窮小量階的比較01lim.22xxx例例2.sinsintanlim30 xxxx 計計算算解解30tansinlimsinxxxx 30)1cos1(sinlimxxxx xxxxxcos)cos1(sinlim30 3202limxxxx .21 無窮小量階的比較30tansinlimxxxx 定義定義2 2|( )|,f xG.)(lim0 xfxx存在存在 0，則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x) 當當 x x0 時為無窮大量時為無窮大量,記作記作有有無

13、窮大量|( )|( )( ),f xGf xGf xG 若若定定義義中中的的改改為為或或記作記作00lim( )lim( ).xxxxf xf x 或或若對于任給若對于任給G 0, 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f 在在有定義有定義, )(0 xU無窮大量)();(00 xUxUx 使得當使得當時時, ,請讀者自行寫出它們的定義請讀者自行寫出它們的定義.;)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxxx;)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxxx.)(lim,)(lim,)(lim xfxfxfxxx0( )f xxx相相應(yīng)應(yīng)地地稱稱為為時時的的正正無窮大量和負無無窮大量和負無類似地可以定義

14、如下的無窮大量類似地可以定義如下的無窮大量: :窮大量窮大量. .無窮大量例例3.1lim20 xx證證明明,|0時時當當 x,12Gx .1lim20 xx所以所以例例4 當當 a 1 時，證明時，證明.lim xxa這就證明了這就證明了.lim xxaxalog函數(shù)函數(shù)的嚴格遞增性，的嚴格遞增性，,Gax 當當 x M 時，時，由對數(shù)由對數(shù)log,aMG 取取證證 G 0 ( 不妨設(shè)不妨設(shè) G 1 ), 證證, 0 G,1G 取取無窮大量,0Gaann .lim nna即即例例6 6設(shè)設(shè) 遞增，無上界遞增，無上界. 證明證明.lim nnana證證 因為因為 無上界，所以任給無上界，所以任

15、給 G 0，存在，存在na,0n例例50lim ln.xx 證證明明ln.xG lne0.Gx 由由于于單單調(diào)調(diào)增增, ,只只要要取取即即可可0nn 又因又因 遞增，遞增，na故當故當 時，時，.0Gan 使使0,0,G 對對要要找找到到,0 x使得使得證證無窮大量有有有有從無窮大量的定義與例從無窮大量的定義與例3、例、例4和例和例5可以看出：可以看出：無窮大量不是很大的一個數(shù)，而是具有非正常極限無窮大量不是很大的一個數(shù)，而是具有非正常極限的變量的變量 .的任何一個鄰域內(nèi)無界的任何一個鄰域內(nèi)無界. 例如：例如：xxxfsin)( 在在 的任何鄰域內(nèi)無界，但的任何鄰域內(nèi)無界，但卻不是卻不是 x

16、時的無窮大量時的無窮大量. 事實上事實上, 對對界量界量) , 在在 x0 的任何鄰域內(nèi)無界的任何鄰域內(nèi)無界 (稱稱 f (x) 是是 x x0 時的無時的無那么那么 f (x) 在在 x0 很明顯很明顯, 若若,)(lim0 xfxx但值得注意的是但值得注意的是: : 若若 f (x)無窮大量并不能保證并不能保證 f (x) 是是 x x0 的無窮大量的無窮大量.2 ,2 ,1, 2 ,2nnxnynn 因而因而 f (x)不是不是 x 時的無窮大量時的無窮大量.有有.0)(,)( nnyfxf兩個無窮大量也可以定義階的比較兩個無窮大量也可以定義階的比較 .無窮大量的的高高階階是是關(guān)關(guān)于于則

17、則稱稱若若)()(,0)()(lim. 10 xfxgxgxfxx 無窮大量無窮大量.使使和和正正數(shù)數(shù)若若存存在在正正數(shù)數(shù),. 2 KL,),(0時時 xUx ,)()(KxgxfL 則稱則稱 f (x) 與與 g (x) 是當是當 x x0 時的一個同階無窮時的一個同階無窮大量大量.00lim( )lim( ).xxxxf xg x 設(shè)設(shè)無窮大量定理3.13的等價無窮大量，的等價無窮大量，記為記為., )()(0 xxxgxf下述定理反映了無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系下述定理反映了無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系,直觀地說：無窮大量與無窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系直觀地說：無窮大量與無窮小量構(gòu)成倒數(shù)關(guān)系.

18、(1) 若若 f 為為 xx0 時的無窮小量時的無窮小量, 且不等于零，且不等于零，為為f1.0時的無窮大量時的無窮大量xx 是是與與則則稱稱若若)()(,1)()(lim. 30 xgxfxgxfxx 當當 x x0 時時則則時時為為則則時時的的無無窮窮大大量量為為若若001,)2(xxgxxg的無窮小量的無窮小量.無窮大量證證 這里僅證明定理的這里僅證明定理的 (1) . 有有時時當當,|00 xx這就證明了這就證明了.)(1lim0 xfxxf 為為 x x0 時的無窮小量，時的無窮小量，所以存在所以存在,0 使得使得(1) 若若 f 為為 xx0 時的無窮小量時的無窮小量, 且不等且不

19、等于零，于零，為為f1.0時的無窮大量時的無窮大量xx 無窮大量則則對于任意正數(shù)對于任意正數(shù)G , 因為因為1( ) ( )Gf x即即.)()(lim0 xgxfxx.2| )(|bxf 又因為又因為,)(lim0 xgxx所以對于任意正數(shù)所以對于任意正數(shù)G，,|020時時當當 xx.|2| )(|Gbxg 由極限的保號性由極限的保號性,證證,0)(lim0 bxfxx因為因為存在存在有有時時當當,|010 xx,01 例例7,)(lim,0)(lim00 xgbxfxxxx設(shè)設(shè)證明證明存在存在, 02 無窮大量12min, 取取.)()(lim0 xgxfxx注注 對于函數(shù)對于函數(shù)有有時時

20、當當,0,1)(,)( xxxgxxf.1)()(lim0 xgxfx這就說明了當這就說明了當 b = 0 時結(jié)論不一定成立時結(jié)論不一定成立.即即無窮大量00|,xx 當當時時 就就有有|( ) ( )|f x g x|2=2|bG Gb例例8存在存在證明證明時的無界量時的無界量為為設(shè)設(shè):.)(0 xxxf使使得得,00 xxxxnn ,x 存存在在00|xx ， 使使得得.| )(|Gxf 110, 0|1 ,xxx ;1| )(|1 xf.)(lim nnxf證證，為無界量為無界量時時因為因為)(0 xfxx 所以所以,0 G，對對111,1 G, 0 無窮大量2201, 0|,2xxx2

21、,1122G 對對，于是于是;2| )(|2 xf. . . . . . . . . . . .;| )(|nxfn .)(lim nxxf由此得到一列由此得到一列 ，滿足，滿足 且且,00 xxxxnn nx. . . . . . . . . . . .,1, nnGnN 對對無窮大量n01, 0|,nxxxn 注注 例例8的證明提供了選取符合要求的點列的一種的證明提供了選取符合要求的點列的一種益處的益處的.方法方法. 熟練地掌握這種方法熟練地掌握這種方法, 對提高解題能力是有對提高解題能力是有作為函數(shù)極限的一個應(yīng)用，我們來討論曲線的漸作為函數(shù)極限的一個應(yīng)用，我們來討論曲線的漸在中學里我們已

22、經(jīng)知道雙曲線的在中學里我們已經(jīng)知道雙曲線的標準方程為標準方程為, 12222byax它的漸近線方程為它的漸近線方程為.xabyxaby xaby 12222 byaxoxy近線問題近線問題.漸近線定義4下面給出漸近線的一般定義下面給出漸近線的一般定義.設(shè)設(shè) L 是一條直線是一條直線. 若曲線若曲線 C 上的動點上的動點 P 沿曲線沿曲線無限遠離原點時無限遠離原點時, 點點 P 與與 L 的距離趨于零，的距離趨于零，則則稱直線稱直線 L 為曲線為曲線 C 的一條漸近線的一條漸近線(如圖如圖).bkxy PNML L)(xfy C CxyO漸近線.1)(|cos|2kbkxxfPMPN 由漸近線的

23、定義，由漸近線的定義，或或時時 (x xx,01)(lim2 kbkxxfx即即時時）,0,PN首先首先, 我們來看如何求曲線我們來看如何求曲線 的斜漸近線的斜漸近線.)(xfy 如圖所示如圖所示, 設(shè)斜漸近線設(shè)斜漸近線 L 的方程為的方程為.bkxy 曲曲線上的動點線上的動點 至直線至直線 L 的距離為的距離為),(yxPbkxy PNML L)(xfy C CxyO漸近線,01)(lim2 kbkxxfx從而從而. )(limkxxfbx 又又xkxxfkxxfxx )(lim)(lim,0lim xbx所以，所以，.)(limxxfkx bkxy PNML L)(xfy C CxyO漸近線這樣就確定了斜漸近線的兩個參數(shù)：這樣就確定了斜漸近線的兩個參數(shù)：,)(limxxfkx . )