因式分解的常用方法 (2)

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介紹多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、運(yùn)用公式法. 在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使

2、用，即為因式分解中常用的公式，例如：  (1 )  (a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2 )  (a±b)2 = a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a±b)2；(3 )  (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3-  a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4 )  (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 下面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+

3、2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知 是 的三邊，且 ，則 的形狀是（  ）A.直角三角形   B等腰三角形  C 等邊三角形  D等腰直角三角形解：  三、分組分解法. （一）分組后能直接提公因式例1、分解因式： 分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a，后兩項(xiàng)都含有b，因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式=

4、         =            每組之間還有公因式！           =             例2、分解因式： 解法一：第一、二項(xiàng)為一組；     解法二：第一、四項(xiàng)為一

5、組；第三、四項(xiàng)為一組。              第二、三項(xiàng)為一組。解：原式=     原式=         =           =         =     &

6、#160;          =  練習(xí)：分解因式1、         2、        （二）分組后能直接運(yùn)用公式例3、分解因式： 分析：若將第一、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。      解：原式=    

7、60;                       =               =  例4、分解因式：       解：原式=      

8、0;        =               =  練習(xí)：分解因式3、    4、       綜合練習(xí)：（1）   （2）      （3）  （4）       （5）

9、             （6）      四、十字相乘法.（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式 進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1；      （2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。 思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例.已知0 5，且 為整數(shù)，若 能用十字相乘法分解因式，求符合條件的 .解析：凡是能十字相乘的二次三項(xiàng) 式ax2+b

10、x+c，都要求  >0而且是一個(gè)完全平方數(shù)。于是 為完全平方數(shù)，  例5、分解因式： 分析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5。      由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2×3的分解適合，即2+3=5。                  

11、;                1       2解： =         1       3               &#

12、160;=              1×2+1×3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。      例6、分解因式： 解：原式=       1       -1   =    &

13、#160;                1       -6   （-1）+（-6）= -7 練習(xí)5、分解因式(1)   (2)   (3)     練習(xí)6、分解因式(1)    (2)    (3)     

14、0;（二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式 條件：（1）                              （2）                  

15、60;             （3）                   分解結(jié)果： =       例7、分解因式： 分析：           

16、 1      -2                  3      -5                 （-6）+（-5）= -11解： = 練習(xí)7、分解因式：（1） 

17、0;       （2）                 （三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式 例8、分解因式： 分析：將 看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于 的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。                

18、        1      8b                        1      -16b         

19、;                 8b+(-16b)= -8b      解： =                          =  

20、;練習(xí)8、分解因式(1) (2) (3)        （四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例9、                例10、             1      -2y    

21、       把 看作一個(gè)整體  1       -1               2      -3y                &#

22、160;             1       -2              (-3y)+(-4y)= -7y              

23、0;             (-1)+(-2)= -3     解：原式=                 解：原式= 練習(xí)9、分解因式：（1）        （2）      

24、 綜合練習(xí)10、（1）             （2）       （3）             （4）       思考：分解因式：     五、換元法。例13、分解因式（1）   &#

25、160;       （2） 解：（1）設(shè)2005= ，則原式=                          =                

26、          = （2）型如 的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。     原式= 設(shè) ，則 原式= =       = = 練習(xí)13、分解因式（1）       （2）         （3）       例1

27、4、分解因式（1） 觀察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)是關(guān)于 的降冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對(duì)稱”。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”。方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式= = 設(shè) ，則 原式= =       = =       = =       = （2） 解：原式= =    設(shè) ，則   原式= =       &#

28、160; = = 練習(xí)14、（1）   （2）        六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法。 例15、分解因式（1）           解法1拆項(xiàng)。                       解法2添項(xiàng)

29、。原式=                   原式= =      =                            &#

30、160;            =         =  =                    = =          &#

31、160;              =  （2） 解：原式= = = =  練習(xí)15、分解因式（1）            （2）      （3）           （4）   

32、0;  （5）       （6）      七、待定系數(shù)法。 例16、分解因式 分析：原式的前3項(xiàng) 可以分為 ，則原多項(xiàng)式必定可分為 解：設(shè) = = = 對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得 ，解得 原式=  例17、（1）當(dāng) 為何值時(shí)，多項(xiàng)式 能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。 （2）如果 有兩個(gè)因式為 和 ，求 的值。 （1）分析：前兩項(xiàng)可以分解為 ，故此多項(xiàng)式分解的形式必為 解：設(shè) =     則 = 比較對(duì)應(yīng)的

33、系數(shù)可得： ，解得： 或 當(dāng) 時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解；當(dāng) 時(shí)，原式= ；當(dāng) 時(shí)，原式=  （2）分析： 是一個(gè)三次式，所以它應(yīng)該分成三個(gè)一次式相乘，因此第三個(gè)因式必為形如 的一次二項(xiàng)式。解：設(shè) =      則 =   解得 ， =21 練習(xí)17、（1）     （2） （3） 已知： 能分解成兩個(gè)一次因式之積，求常數(shù) 并且分解因式。    （4） 為何值時(shí)， 能分解成兩個(gè)一次因式的乘積，并分解此多項(xiàng)式。    

34、60; 第二部分：習(xí)題大全經(jīng)典一：一、填空題1. 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的_的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。2分解因式： m3-4m=                         .3.分解因式： x2-4y2= _          

35、60;      _.4、分解因式： =_  _。5.將xn-yn分解因式的結(jié)果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則n的值為                . 6、若 ，則 =_， =_。二、選擇題7、多項(xiàng)式 的公因式是(      )A、     B、    C、  

36、60; D、 8、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是(       )A、       B、 C、     D、 10.下列多項(xiàng)式能分解因式的是（     ）(A)x2-y     (B)x2+1     (C)x2+y+y2    (D)x2-4x+411把（xy）2（yx）分解因式為（ 

37、）A（xy）（xy1）      B（yx）（xy1）C（yx）（yx1）      D（yx）（yx1） 12下列各個(gè)分解因式中正確的是（  ）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）B（ab）2（ba）2（ab）2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）D（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a） 13.若k-12xy+9x2是一個(gè)完全平方式，那么k應(yīng)為（    ）A.2 &#

38、160;   B.4      C.2y2         D.4y2三、把下列各式分解因式： 14、                       15、     16、  

39、60;               17、     18、                      19、 ；     五、解答題20、如圖，在一塊邊長(zhǎng) =6.67cm的正方形紙

40、片中，挖去一個(gè)邊長(zhǎng) =3.33cm的正方形。求紙片剩余部分的面積。      22、觀察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫出第(5)個(gè)等式。  經(jīng)典二：因式分解小結(jié)知識(shí)總結(jié)歸納    因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。  1. 因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；  2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式；  3. 分解因式，必須

41、進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止；  4. 公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；  5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式；  6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解；  7. 因式分解的一般步驟是：    （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解；    （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配

42、方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)（添項(xiàng)）等方法；    下面我們一起來回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。  1. 通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的  例1. 分解因式     分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把 分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把 ， ， 分別看成一組，此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。    解一：原式          

43、         解二：原式=                 2. 通過變形達(dá)到分解的目的    例1. 分解因式      解一：將 拆成 ，則有        解二：將常數(shù) 拆成 ，則有        3

44、. 在證明題中的應(yīng)用    例：求證：多項(xiàng)式 的值一定是非負(fù)數(shù)    分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全平方數(shù)。    證明：             設(shè) ，則      4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想    例：分解因式：     

45、 分析：本題若直接用公式法分解，過程很復(fù)雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。    解：設(shè)a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B        說明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式，對(duì)原式進(jìn)行“代換”是很重要的。中考點(diǎn)撥  例1.在 中，三邊a,b,c滿足     求證：     證明：         說明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類題不能丟分。  例2. 已知： _    解：