第8章-習(xí)題課-曲線積分與曲面積分-高數(shù)

1、習(xí)題課習(xí)題課1. 曲線積分的計算法曲線積分的計算法2. 曲面積分的計算法曲面積分的計算法線面積分的計算線面積分的計算一、曲線積分的計算法一、曲線積分的計算法1. 基本方法基本方法曲線積分曲線積分第一類第一類 ( 對弧長對弧長 )第二類第二類 ( 對坐標(biāo)對坐標(biāo) )(1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化定積分定積分用參數(shù)方程用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限確定積分上下限第一類第一類: 下小上大下小上大第二類第二類: 下始上終下始上終 (1)計算計算,sdyxL 22其中其中L為圓周為圓周.xayx 22提示提示: 利用極坐標(biāo)利用極坐標(biāo) ,)(c

2、osa:L22 dsd22原式原式 =sdxaL 2222dacosa22a說明說明: 若用參數(shù)方程計算若用參數(shù)方程計算,:L)t( 20 xaoyrda)tcos(xa 12tsinya2 t則則tyxsdd22 tda2 td)tcos(a 1, ydxxd)ya(L 2計計算算其中其中L為擺線為擺線,)tsint (ax )tcos(ay 1上對應(yīng)上對應(yīng) t 從從 0 到到 2 的一段弧的一段弧.提示提示: 202tdtsinta原式原式 202tsintcosta22 a)tcos(a 1tdtsina)tsint (a ydxxd)ya( 2tdtsinta2 (2)zoyx1其中其

3、中 由平面由平面 y= zy= z截球面截球面22yx 提示提示: : 因在因在 上有上有,yx1222 故故:原式原式 = = tdtsintcos 2022221t)tcos( tcosd142022221 221432212162 tcosx tsiny21 21tsinz )t( 20,zdzyx 計算計算從從 z z 軸正向看沿逆時針方向軸正向看沿逆時針方向. .,z所得所得12 (3)(3)(1) (1) 利用對稱性及重心公式簡化計算利用對稱性及重心公式簡化計算 ; ;(2) (2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價條件利用積分與路徑無關(guān)的等價條件; ;(3) (3) 利用格林公式利用格林

4、公式 ( (注意加輔助線的技巧注意加輔助線的技巧) ; ) ; (4) (4) 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式 ; ;(5) (5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 . .2. 2. 基本技巧基本技巧例例1 1 已知已知 L L的長度為的長度為a a，求，求,yx:L13422 Lds)xysin(yx2243解：解： 即即3x3x2 2+4y+4y2 2=12=12，所以，所以. adsds)yx(LL12124322 ,yx:L13422 又又L L關(guān)于關(guān)于x x軸對稱，而軸對稱，而sin(xysin(xy) )關(guān)于關(guān)于y y為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以 Lds)x

5、ysin(0于是于是 I = 12aI = 12a。 又如又如 .|y|x:|L,|y|x|ydxxdyIL1 逆時針方向，則逆時針方向，則 DLAdxdy)(ydxdyxI4211例例2. 2. 計算計算,d)(222szyxI其中其中 為曲線為曲線02222zyxazyx解解: : 利用輪換對稱性利用輪換對稱性 , , 有有szsysxddd222利用重心公式知利用重心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azoyx( ( 的的重心在原點重心在原點) )例例3. 3. 計算計算,d)(d)(22LyxyxyxI其中其中L L 是沿逆是沿逆時針方向以原點為中心時針方

6、向以原點為中心, ,CoyxABL解法解法1 1 令令,22xyQyxP則則xQ這說明積分與路徑無關(guān)這說明積分與路徑無關(guān), , 故故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa a 為半徑的上半圓周為半徑的上半圓周. .解法解法2 2 ,BA它與它與L L所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為D,D,CoyxABLDyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D( (利用格林公式利用格林公式) )思考思考: :(2) (2) 若若 L L 同例同例3 , 3 , 如何計算下述積分如何計算下述積分: :LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332

7、a(1) (1) 若若L L 改為順時針方向改為順時針方向, ,如何計算下述積分如何計算下述積分: :BALyxyxyxId)(d)(22則則添加輔助線段添加輔助線段思考題解答思考題解答: :LyxyxyxId)(d)(2213(1)(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0: t332aIDCoyxABL19422yx解：解：L L：即：即 。 所以所以 LyyLdy)yxyxe(dx)eyx(836133例例4 4

8、計算計算 Lyyyxdy)yxyxe(dx)eyx(223349819422 yx順時針方向順時針方向 L L： 注：注： 應(yīng)充分利用應(yīng)充分利用L L的方程簡化被積函數(shù)。的方程簡化被積函數(shù)。 Dyydxdy)exye(33361036133 Ddxdy)xy(例例5 5 設(shè)設(shè)L L是分段光滑的簡單閉曲線，取正向，點（是分段光滑的簡單閉曲線，取正向，點（2 2，0 0）和（和（2 2，0 0）不在）不在L L上。計算上。計算dyyxxyxxdxyxyyxyIL 22222222)2 (2)2 (2)2 ()2 (解：解：xQy)x(y)x(y)x(y)x(yP 22222222222222(x(

9、x，y)(y)(2 2，0)0)或或(2(2，0)0) （2 2）當(dāng)點）當(dāng)點( (2 2，0)0)和和(2(2，0)0)一個在一個在D D內(nèi)一個在內(nèi)一個在D D外時外時 不妨設(shè)不妨設(shè)(2(2，0)0)在在D D內(nèi)而內(nèi)而( (2 2，0)0)在在D D外。外。 （1 1）當(dāng)點）當(dāng)點( (2 2，0)0)和和(2(2，0)0)均在均在 L L所圍區(qū)域所圍區(qū)域D D外時外時 0 LI2 22 2O Ox xD DL L以以(2(2，0)0)為圓心，充分小的正數(shù)為圓心，充分小的正數(shù)為半徑作圓為半徑作圓L L1 1，取正向，取正向，則有：則有： 12212222122222LLLLy)x(dy)x(yd

10、xdyy)x(xdxy)x(y 12021Ldy)x(ydx 221111222)(dxdy)(D 1)2(12Ldyxydx .4)2(122 dyxydxL2 22 2x xl l1 1L L（3 3）當(dāng)點）當(dāng)點( (2 2，0)0)和和(2(2，0)0)均在均在D D內(nèi)時內(nèi)時 12LLL2 22 2x xL L1 1L LO OL L2 2例例10 10 設(shè)設(shè)Q(xQ(x，y)y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分 與路徑無關(guān)，且對任意的實數(shù)與路徑無關(guān)，且對任意的實數(shù)t t，恒有，恒有 ，求，求Q(xQ(x，y)y)。 LdyyxQxydx),(2 ), 1()

11、0, 0()1 ,()0, 0(),(2),(2ttdyyxQxydxdyyxQxydx解：由積分與路徑無關(guān)知解：由積分與路徑無關(guān)知 xxQyP2故故 )(),(2yxyxQ其中其中 為待定函數(shù)。為待定函數(shù)。 )(y取折線作為積分路徑取折線作為積分路徑1020) 1 ,()0 , 0(2)(0 )(2dyytdxdyyxxydxtt102)(dyyt先積先積x x(t(t，1) 1) (t(t，0) 0) (0(0，0) 0) 左端左端由題設(shè)有由題設(shè)有 1002)()(tdyytdyyt兩端對兩端對t t求導(dǎo)求導(dǎo) 12)(),(12tttt所以所以 12)(),(22yxyxyxQ右端右端td

12、yyt0)(ttdyydxdyyxxydx010), 1 ()0 , 0(2)(1 0 )(2先積先積x x(1(1，t) t) (1(1，0) 0) (0(0，0) 0) sin)cos1 (:taytaxLDyaLxo計算計算,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中其中L L為上半圓周為上半圓周, 0,)(222yayax提示提示: :LxxyyexyeId)2cos(dsinLxyd2Lxyd2BAyxDdd0ax20d0022dsin2tta0: t2a沿逆時針方向沿逆時針方向. .ABABL(4).(4).設(shè)在右半平面設(shè)在右半平面 x 0 x 0 內(nèi)內(nèi), , 力力構(gòu)成

13、力場構(gòu)成力場, ,其中其中k k 為常數(shù)為常數(shù), , ,22yx 證明在此力場中證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān)場力所作的功與所取的路徑無關(guān). .提示提示: :)dd(3yyxxkWL令令33,ykQxkP易證易證53yxkyPxQ)0(x),(3yxkFF F 沿右半平面內(nèi)任意有向路徑沿右半平面內(nèi)任意有向路徑 L L 所作的功所作的功為為(5)(6)(6)求力求力沿有向閉曲線沿有向閉曲線 所作的所作的功功, ,其中其中 為平面為平面x + y + z = 1被三個坐標(biāo)面所截成三被三個坐標(biāo)面所截成三提示提示: : BAzyxCozxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd3

14、10d)1 (3zz23方法方法1 1從從 z 軸正向看去沿順時針方向軸正向看去沿順時針方向. .利用對稱性利用對稱性角形的整個邊界角形的整個邊界, ,),(xzyF 設(shè)三角形區(qū)域為設(shè)三角形區(qū)域為 , ,方向向上方向向上, , 則則zxyzxyWdddzyxSd313131yzx1:zyxSd)3(31) 1, 1, 1 (31n方法方法2 2nBAzyxCo23yxDyxdd33利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式的單位切向量的單位切向量是曲線是曲線式中式中及一常量及一常量線線平面上的任意簡單閉曲平面上的任意簡單閉曲證明：對于證明：對于例例LtdstkbakLxoyL0)cos(, ),(.0)

15、(coscos|.,coscos)cos(cos2222dxdyyPxQbabdyadxdsbabadsktkIyxtDLLL 軸的方向余弦軸的方向余弦是切線對是切線對，證明：證明：222227.1( , , ),Fyzizx jxykyzMabc 2在變力的作用下，質(zhì)點由原點沿直線運動到x 橢球面上第一卦限的點問 ， ， 取何 值時，力所作的功最大，并求出這個最大值.如何？如何？問取問取（逆時針方向繞行）（逆時針方向繞行）圓周）圓周（逆時針方向繞行）（逆時針方向繞行）圓周）圓周（逆時針方向繞行）（逆時針方向繞行）圓周）圓周（為為，其中，其中計算計算練習(xí)：練習(xí)：1)1(,4)1(31)1()1

16、(21)()(1.222222222L22yxyxyxayxLyxdyyxdxyx二、曲面積分的計算法二、曲面積分的計算法1. 1. 基本方法基本方法曲面積分曲面積分第一類第一類( ( 對面積對面積 ) )第二類第二類( ( 對坐標(biāo)對坐標(biāo) ) )轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化二重積分二重積分(1) (1) 統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量 代入曲面方代入曲面方程程(2) (2) 積分元素投影積分元素投影第一類第一類: : 始終非負(fù)始終非負(fù)第二類第二類: : 有向投影有向投影(3) (3) 確定二重積分域確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面思思 考考 題題1) 1) 二重積分是哪一類積分二

17、重積分是哪一類積分? ? 答答: : 第一類曲面積分的特例第一類曲面積分的特例. .2) 2) 設(shè)曲面設(shè)曲面,),( ,0:Dyxz問下列等式是否成立問下列等式是否成立? ?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不對不對 ! ! 對坐標(biāo)的積分與對坐標(biāo)的積分與 的的側(cè)側(cè)有關(guān)有關(guān) Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(2. 2. 基本技巧基本技巧(1) (1) 利用對稱性及重心公式簡化計算利用對稱性及重心公式簡化計算(2) (2) 利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用條件注意公式使用條件添加輔助面的技巧添加輔助面的技巧( (輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面

18、) )(3) (3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化zyxo練習(xí)練習(xí): :,ddddddyxzxzyzyx其中其中 為半球面為半球面222yxRz的上側(cè)的上側(cè). .且取下側(cè)且取下側(cè) , , 提示提示: : 以半球底面以半球底面0原式原式 = =3323R032R0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx記半球域為記半球域為 , ,高斯公式有高斯公式有(1)(1)計算計算為輔助面為輔助面, , 利用利用例例1.1.證明證明: : 設(shè)設(shè)( (常向量常向量) )則則單位外法向向量單位外法向向量, , 試證試證Sdcoscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos

19、(zyddcosxzddcosyxddcos設(shè)設(shè) 為簡單閉曲面為簡單閉曲面, , a a 為為任意固定任意固定向量向量, ,n n 為為 的的 . 0d)cos(Sa,nSa ,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0a例例2. 2. 計算曲面積分計算曲面積分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中其中, ,222zyxr.:2222取外側(cè)Rzyx解解: :yxzxzyzyxRIdddddd13zyxRddd3134思考思考: : 本題本題 改為橢球面改為橢球面1222222czbyax時時, ,應(yīng)如何應(yīng)如何計算計算 ? ?提示提示: : 在橢球

20、面內(nèi)作輔助小球面在橢球面內(nèi)作輔助小球面取2222zyx內(nèi)側(cè)內(nèi)側(cè), , 然后用高斯公式然后用高斯公式 . .2121I例例3. 3. 設(shè)設(shè) 是曲面是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(ddddddzyxyxzxzyzyxI2221:yxz解解: : 取足夠小的正數(shù)取足夠小的正數(shù) , ,作曲面作曲面取下側(cè)取下側(cè) 使其包在使其包在 內(nèi)內(nèi), , 2為為xoy平面上夾于平面上夾于之間的部分之間的部分, ,且取下側(cè)且取下側(cè) , ,1與21ozyx取上側(cè)取上側(cè), ,計算計算, )0( z則則21ozyx)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yx

21、yx2第二項添加輔助面第二項添加輔助面, , 再用高斯公式再用高斯公式計算計算, , 得得例例6.6.計算曲面積分計算曲面積分其,d2)(22SzyzyxI中中 是球面是球面.22222zxzyx解解: : Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用對稱性利用對稱性用重心公式用重心公式xzoy例例7.7.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222設(shè)設(shè)L L 是平面是平面與柱面與柱面1 yx的交線的交線從從 z z 軸正向看去軸正向看去, , L L 為逆時針方向為逆時針方向, , 計算計算 解解: : 記記 為平面為平面2zyx上上 L L 所圍部分的上所圍部分的上側(cè)側(cè), , D D為為 在在 xoy 面上的投影面上的投影. .I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdLD由由斯托克斯公式斯托克斯公式Dyxyxdd)6(2Dxyo11D D 的形心的形心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxD(1)(1)在任一固定時刻在任一固定時刻 , ,此衛(wèi)星能監(jiān)視的