八年級數學上冊第二章2平方根例題與講解北師大版

1、2平方根基礎知識班本技能生(1) 方根(i)平方根的概念：如是二ML_x_圾干方等工a?一即.xN_a_那勾I；個一數一x就叫假.a.聞壬 方根一(也一叫.他三女互恨).3 2=9,而以3是91平方本艮.(3)2=9,亦以3 M是9的平方根, 所以9畝千方前皂3一知3.(2)平方根的表示方法：正數a的平方根可記作“土 、/a”，讀作“正、負根號a”.讀作“根號”，“ a”是被開方數.例如：2的平方根可表示為土 甲(3)平方根的性質：若 x2=a,則有(一x)2=a,即一x也是a的平方根，因此正數a的平 方根有兩個，它們互為相反數；只有02=0,故0的平方根為0;由于同號的兩個數相乘得正，因此任

2、何數的平方都不會是負數，故負數沒有平方根.綜合上述：一個正數有兩個平方世左但良方如房燹;一.0月有二方慢二匕考一。主曳二型婺儀有壬方恨二處”屋而考祗 有神不了萬而二萬，二了田有萬植我明白了，一個數a的平方根可以表示成土 、/a.(2)式子ja只有當你可要小心哦！ (1)不是任何數都有平方根，負數可沒有平方根, a>0時才有意義，因為負數沒有平方根.【例1 1】 求下列各數的平方根:(1)81 ; (2)( 7)2； (3)1 459.分析：根據平方根的定義，求一個數a的平方根可轉化為求一個數的平方等于a的運算,更具體地說，就是找出平方后等于a的數.解：.(±9) 2=81,.8

3、1的平方根是土 9,即土 啊 =±9.(2) .(- 7)2 = 72 = 49,.( 7) 2的平方根是土 7,即土49= ± 7.15496449,又+ 827 16449,15、8的平方根是土 7,497口口158即 ±、/149=±7.求出它的平方根；若沒有，請說明理由.-22.【例1 2】 下列各數有平方根嗎？如果有,9不(2)0 ; (3) 9; (4)| 0.81 ; (5)分析:序號存在情況原因有2個正數后兩個平方根有2個無負數沒有平方根(5)無(2)有1個r0的平方根是它本身.9一 .9 . 一、,解：(1) ;才正數，'J兩個

4、平萬根.又: ± | 2=J的平方根是土 .2442(2)0只有一個平方根，是它本身.(3) .9是負數，.一 9沒有平方根.2(4) . | 0.81| =( ±0.9),是正數，.| 0.81|的平方根是土 0.9.(5) - 22=- 4,是負數，22沒有平方根2 .算術平方根(1)算術平方根的概念：如果一個正數x的平方等于a,即x2 = a,那么這個正數x就叫做a的算術平方根.(2)常采平萬根白勺表示方法：正數 a的算術平方根記作“?',讀作“根號 a” .(3)算術平方根的性質：正數有一個正的算術平方根；。的算術平方根是0;負數沒有平方根，當然也沒有算術平

5、方根.淡重點算術平方根的性質(1)只有正數和0(即非負數)才有算術平方根，且算術平方根也是非負數；(2) 一個正數a的正的平方根就是它的算術平方根.如果知道一個數的算術平方根，就 可以寫出它的負的平方根.【例2】求下列各數的算術平方根：(1)0.09 ； (2)121169分析：根據算術平方根的意義, 的數，寫出平方式；從平方式中確定 解：(1) ,-0.3 2= 0.09 , 0.09的算術平方根是 0.3 , 即“0.09 =0.3 ;11 2 121(2) ' 13 =169，12111右的算術平方根是-.16913析規(guī)律如何確定一個數的算求一個非負數a的算術平方根，首先要找出平

6、方等于aa的算術平方根的值.術平方根求一個數的算術平方根與求一個數的平方根類似,先找到一個平方等于所求數的數，再求算術平方根，應特別注意數的符3 .開平方求一個數a(a>0)的平方根的運算，叫做開平方，其中 a叫做被開方數.開平方運算是 已知指數和哥求底數.(1)因為平方和開平方互逆，故可通過平方來尋找一個數的平方根，也可以利用平方驗 算所求平方根是否正確.(2)開平方與平方互為逆運算，正數、負數、 0可以進行“平方”運算，且“平方”的結果只有一個；但“開平方”只有正數和 0才可以，負數不能開平方，且正數開平方時有兩 個結果.(3)對于生活和生產中的已知面積求長度的問題，一般可用開平方加

7、以解決.【例3】 小明家計劃用80塊正方形的地板磚鋪設面積是20 m2的客廳，試問小明家需要購買邊長是多少的地板磚？解：設正方形的地板磚的邊長為 x ml由題意，得80x2= 20,則x2=0.25.x=±0.5.地板磚的邊長不能為負數，x=0.5.，小明家應購買邊長為 0.5 m的地板磚.4 .乖2與(、/a)2的關系平表示a的算術平方根，依據算術平方根的定義，(啊 =a(aR0).標表示a2的算術平方根，依據算術平方根的定義，若 a>0,則a2的算術平方根為a；若a<0,則a2的算術平方根為一a,即qa2=|a| =a, a>0,-a, a<0.(1)區(qū)別

8、：意義不同：(4a)2表示非負數a的算術平方根的平方； 乖2表示實數a的平 方的算術平方根.取值范圍不同：(、巧)2中的a為非負數，即a、。；、/#中的a為任意數. 運算順序不同：(/)2是先求a的算術平方根，再求它的算術平方根的平方；病是先求a的平方，再求平方后的算術平方根.寫法不同.在(、/a)2中，哥指數2在根號的外面；而在聲中，塞指數2在根號的里面.運算結果不同：(a)2=a；聲=| a戶a，a>0,”期" a, a<0.(2_)聯系：在運算時，都有平方和開平方的運算.兩式運算的結果都是非負數，即(/a)2>0, 而>0.僅當 a>0 時，有(/

9、)2=迎.點技巧巧用(、/a)2=a將(4)2=a反過來就是a= b7a)2,利用此式可使某些運算更為簡便.【例 4】 化簡：(aJ6) 2=; J - 7)2 =.解析：.(-7)2 =|7|=7.答案：6 7r基本方法玨本能力 一，*J II K N F 1、心 F A”1K ；V X M tf； J. J5 .平方根與算術平方根的關系(1)區(qū)別：概念不同平方根的概念：如果一個數 x的平方等于a,即x2=a,那么這個數x叫做a的平方根.算術平方根的概念：如果一個正數x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數 x叫做a的算術平方根.表示方法不同平方根：正數a的平方根用符號土 寸a表示. ,算術

10、平方根：正數 a的算術平方根用符號 /表示,正數a的負的平方根一 y可以看成 是正數a的虞術平方根的相反數.讀法不同3讀作“根號a” ； 士也讀作“正、負根號 a” .結果和個數不同一個正數的算術平方根只有一個且一定為正數，而一個正數的平方根有兩個，它們一正一負且互為相反數.(2)聯系：平方根中包含了算術平方根，就是說算術平方根是平方根中的一個， 即一個正數的平 方根有一正一負兩個，其中正的那一個就是它的算術平方根， 這樣要求一個正數 a的平方根， 只要先求出這個正數的算術平方根 Va,就可以直接寫出這個正數的平方根土 4a了.在平方根土 或和算術平方根，中，被開方數都是非負數，即a>0

11、.嚴格地講，正數和0既有平方根，又有算術平方根，負數既沒有平方根，又沒有算術平方根.0的平方根和算術平方根都是 0.我的筆記 ：【例51 求(3)2的平方根；(2)計算折4;.2 .(3)求(兀一3.142)的算術平萬根；(4)求和的平方根.(力因為(一3)2=9,故(一3) 2的平方根是一3;(2)因為(±12) 2=144,所以產4=±12;錯解 (3)(兀一3.142) 2的算術平方根是 7(氏3.142) 2=兀一3.142 ;或士 (兀一3.142)(4)標的平方根是土 4.(1)一個正數的平方根是互為相反數的兩個數，而這里(3)2的平方根只有一個數，只表明兩個平

12、方根中的一個負的平方根，漏掉了一個正的平方根；(2)混淆了平方根與算術平方根的概念，小4表示144的算術平方根，它是一個訓始非負數，錯解中出現了增解一12;(3)錯在忽視了兀V 3.142，即兀一3.142 V0;或混淆了平方根與算術平方根的概 念；(4)這里錯誤地將 亞6的平方根當成16的平方根，其實這里是求16的算術平方根 的平方根，該題將兩個相近概念“算術平方根”和“平方根”含在一個小題中.(1) +-3)2=±79=±3;正解(2)產=12；2(3)寸(兀一3.142)=(兀3.142) = 3.142 兀；(4)麻=4,它的平方根是土 2.【例52求下列各式的值:

13、(2) ±<8i; (2) -V16; (3) y21; (4) <(-4)2.分析：士田表示81的一平方根，故其結果是一對相反數； #表示16的負平方根， 故其結果是負數； 俱表示冷的算術平方根，故其結果是正數；4(4)2表示(-4)2的算術2525平方根，故其結果必為正數.解：(1) ,-92=81, .,.± 81=±9.(3) -42=16, 爐= 4.3 2 9-93(4) 1 5 =25, 勺25=5.(5) /42=(-4)2,(-4)2=4.釋疑點與平方根相關的三種符號弄清與平方根有關的三種符號土、/a,2,-ya的意義是解決這類問題的

14、關鍵.±qa表示非負數a的平方根，表示非負數a的算術平方根，一 小表示非負數a的負平方根.注 意,才±«.在具體解題時，“廠”的前面是m十么符號，其計算結果就是什么符號，既不 能漏掉，也不能多添.思維拓展創(chuàng)新應用,，一6 .巧用算術平方根的兩個“非負性”眾所周知，算術平方根 乖具有雙重非負性：(1)被開方數具有非負性，即 a>0.(2)、/a本身具有非負性，即ya >。.這兩個非負性形象、全面地反映了算術平方根的本質屬性.在解決與此相關的問題時，若能仔細觀察、認真地分析題目中的已知條件，并挖掘出題目中隱含的這兩個非負性，就可避免用常規(guī)方法造成的繁雜運算

15、或誤解，從而收到事半功倍的效果.由于初中階段學習的非負數有三類，即一個數的絕對值，一個數的平方(偶次方)和非負數的算術平方根.關于算術平方根和平方數的非負性相關的求值問題，一般情況下都是它們的和等于0-的形式.此類問題可以分成以下幾種形式：(1)算術平方根、平方數、絕對值三種中的任 意兩種組成一題| |+( )2=0, | |十1=0, ()2+。= 0，甚至同一道題目中同時出現這三個內容|+()2+y-=°(2)題目中沒有直接給出平方數，而是需要先利用完全平方公式把題目中的某些內容進 行變形，然后再利用非負數的性質進行計算.【例 6-1 若.-x2 +y=6,貝U x=, y =.解析：由y- x2有意義.得x=0,故y = 6.答案：0 6【例 62 若| m- 1| +yjn 5 =0,貝U m=, n = 解析：根據題意，得m3- 1 = 0, n 5=0,所以mi= 1, n= 5. 答案：1 5注：若幾個非負數的和為0,則每個數都為0.【例63】 如果y= xX -4 + y4-x +2 013成立 求x2+y 3的值.x+ 2分析：由算術平方根被開方數的非負性知，x2-4>0, 4-x2>0,因此，x