《實變函數(shù)與泛函分析基礎》試卷及答案

1、試卷一： 得 分 一、單項選擇題（3分×5=15分）1、1、下列各式正確的是（ ）（A）; （B）; （C）; （D）;2、設P為Cantor集，則下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列說法不正確的是（ ）(A) 凡外側度為零的集合都可測（B）可測集的任何子集都可測 (C) 開集和閉集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可測4、設是上的有限的可測函數(shù)列,則下面不成立的是( )（A）若, 則 (B) 是可測函數(shù) （C）是可測函數(shù);（D）若,則可測5、設f(x)是上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上幾乎處處存在導數(shù)（C）在上L可積

2、(D) 得 分二. 填空題(3分×5=15分)1、_2、設是上有理點全體，則=_,=_,=_.3、設是中點集，如果對任一點集都有_，則稱是可測的4、可測的_條件是它可以表成一列簡單函數(shù)的極限函數(shù). （填“充分”，“必要”，“充要”）5、設為上的有限函數(shù)，如果對于的一切分劃，使_,則稱為 上的有界變差函數(shù)。得 分三、下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則舉反例說明.(5分×4=20分)1、設，若E是稠密集，則是無處稠密集。2、若，則一定是可數(shù)集.3、若是可測函數(shù)，則必是可測函數(shù)。 4設在可測集上可積分，若，則得 分四、解答題（8分×2=16分）.1、（8分

3、）設 ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。考 生 答 題 不 得 超 過 此 線2、（8分）求得 分五、證明題（6分×4+10=34分）.1、（6分）證明上的全體無理數(shù)作成的集其勢為.2、（6分）設是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)是閉集?？?生 答 題 不 得 超 過 此 線3、（6分）在上的任一有界變差函數(shù)都可以表示為兩個增函數(shù)之差。 4、（6分）設在上可積，則.得 分閱卷人復查人5、（10分）設是上有限的函數(shù)，若對任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測函數(shù)。(魯津定理的逆定理)試卷一 答案：試卷一 （參考答案及評分標準）一、1. C 2 D 3. B 4

4、. A 5. D二、1 2、； ； 3、4、充要 5、成一有界數(shù)集。三、1錯誤2分例如：設是上有理點全體，則和都在中稠密 .5分2錯誤2分例如：設是集，則，但c ， 故其為不可數(shù)集 .5分3錯誤2分例如：設是上的不可測集，則是上的可測函數(shù)，但不是上的可測函數(shù).5分4錯誤2分5分四、1在上不是可積的，因為僅在處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集.3分因為是有界可測函數(shù)，在上是可積的6分因為與相等，進一步，8分2解：設，則易知當時， .2分又因，()，所以當時，4分從而使得6分但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的，故有8分五、1設 2分 .3分.5分6分2.2分.3分5分.6分3. 對，使對任意互不相交的有

5、限個當時，有2分將等分，使，對，有，所以在上是有界變差函數(shù).5分所以從而，因此，是上的有界變差函數(shù).6分4、在上可積2分據(jù)積分的絕對連續(xù)性，有.4分對上述，從而，即6分5存在閉集在連續(xù)2分令，則在連續(xù)4分又對任意,.6分故在連續(xù).8分又所以是上的可測函數(shù)，從而是上的可測函數(shù).10分試卷二：實變函數(shù)試卷二專業(yè)_班級_姓名 學號題號一二三四五總分得分 注 意 事 項1、本試卷共6頁。 2、考生答題時必須準確填寫專業(yè)、班級、學號等欄目，字跡要清楚、工整。得 分一.單項選擇題（3分×5=15分）1設是兩集合，則 =（ ） (A) (B) (C) (D) 2. 下列說法不正確的是( ) (A)

6、 的任一領域內都有中無窮多個點，則是的聚點 (B) 的任一領域內至少有一個中異于的點，則是的聚點 (C) 存在中點列，使，則是的聚點 (D) 內點必是聚點3. 下列斷言( )是正確的。（A）任意個開集的交是開集；(B) 任意個閉集的交是閉集； (C) 任意個閉集的并是閉集；(D) 以上都不對；4. 下列斷言中( )是錯誤的。（A）零測集是可測集； （B）可數(shù)個零測集的并是零測集；（C）任意個零測集的并是零測集；（D）零測集的任意子集是可測集； 5. 若，則下列斷言（ ）是正確的(A) 在可積在可積； (B) (C) ;(D) 得 分二. 填空題(3分×5=15分)得 分閱卷人復查人1

7、、設，則_。2、設為Cantor集，則 ，_，=_。3、設是一列可測集，則4、魯津定理：_5、設為上的有限函數(shù)，如果_則稱為上的絕對連續(xù)函數(shù)。得 分三.下列命題是否成立?若成立,則證明之;若不成立,則說明原因或舉出反例.(5分×4=20分)1、由于，故不存在使之間對應的映射。2、可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集。3、收斂的函數(shù)列必依測度收斂。4、連續(xù)函數(shù)一定是有界變差函數(shù)。得 分四.解答題(8分×2=16分)1、設 ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。2、求極限 .得 分五.證明題(6分×3+ =34分)1.(6分) 1、設f(x)是上的實值連續(xù)函數(shù)，

8、則對任意常數(shù) c， 是一開集.2.(6分) 設使，則E是可測集。 3. （6分）在上的任一有界變差函數(shù)都可以表示為兩個增函數(shù)之差。4.（8分）設函數(shù)列 在有界集上“基本上”一致收斂于，證明：收斂于。得 分閱卷人復查人5.（8分）設在上可積，則對任何，必存在上的連續(xù)函數(shù)，使.試卷二（參考答案及評分標準）一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A二、1， 2，c ；0 ； 3， 4，設是上有限的可測函數(shù)，則對任意，存在閉子集，使得在上是連續(xù)函數(shù)，且。5，對任意，使對中互不相交的任意有限個開區(qū)間只要，就有三、1錯誤2分記中有理數(shù)全體顯然。5分2正確2分設為零測度集， ，所以，因此，是零測度集

9、。5分3錯誤2分例如：取作函數(shù)列：顯然當。但當時，且這說明不測度收斂到1.5分4錯誤2分例如：顯然是的連續(xù)函數(shù)。如果對取分劃，則容易證明，從而得到5分四、1在上不是可積的，因為僅在處連續(xù)，即不連續(xù)點為正測度集3分因為是有界可測函數(shù)，所以在上是可積的. .6分因為與相等, 進一步，8分2設，則易知當時，2分又4分但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的6分故有8分五、1.1分在點連續(xù)，對當時，有3分 ，5分因此，從而為開集.6分2對任何正整數(shù)，由條件存在開集使1分令，則是可測集3分又因對一切正整數(shù)成立，因而，即是一零測度集，所以也可測.5分由知，可測。6分3、易知是上的增函數(shù)2分令, 則對于有所以是上的增函數(shù)4分因此，其中與均為上的有限增函數(shù). .6分4、因為在上“