(經(jīng)典)講義：等比數(shù)列及其前n項和

1、（經(jīng)典）講義：等比數(shù)列及其前n項和1等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示2等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，則它的通項ana1·qn1.3等比中項若G2a·b(ab0)，那么G叫做a與b的等比中項4等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anam·qnm，(n，mN)(2)若an為等比數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN)，則ak·alam·an.(3)若an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，an

2、83;bn，仍是等比數(shù)列(4)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.5等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項和為Sn，當(dāng)q1時，Snna1；當(dāng)q1時，Sn.【注意】6.利用錯位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和：Sna1a1qa1q2a1qn1，同乘q得：qSna1qa1q2a1q3a1qn，兩式相減得(1q)Sna1a1qn，Sn(q1) 7.1由an1qan，q0并不能立即斷言an為等比數(shù)列，還要驗證a10.7.2在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形導(dǎo)致解題

3、失誤8.等比數(shù)列的判斷方法有：(1)定義法：若q(q為非零常數(shù))或q(q為非零常數(shù)且n2且nN*)，則an是等比數(shù)列(2)中項公式法：在數(shù)列an中，an0且aan·an2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成anc·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列一、知識梳理1.等比數(shù)列前項和公式(1)探索導(dǎo)引: 求和說明：對于等比數(shù)列的前項和公式:從方程觀點看:由等比數(shù)列的前項和公式及通項公式可知,若已知中的三個即可建立方程組求其余兩個,即“知三求二”.在運用等比數(shù)列的前項和公式時，一定要注意討論公比是否為1.2. 與前項和有關(guān)的等

4、比數(shù)列的性質(zhì)(1)若等比數(shù)列中,公比為,依次項和成公比為的等比數(shù)列.(2)若等比數(shù)列的公比為,且項數(shù)為,則.探索導(dǎo)引: 等比數(shù)列中，已知，求，并考慮等式是否成立？ 說明：利用性質(zhì)(1)可以快速的求出某些和.但在運用此性質(zhì)時,要注意是成等比數(shù)列,而不是成等比數(shù)列.二、方法（一）等差數(shù)列前項和公式的應(yīng)用理解例題1:在等比數(shù)列中，（1）已知求；（2）已知求；（3）已知求和；（4）已知求；分析:在等比數(shù)列中有五個重要量只要已知任意三個，就可以求出其他兩個.其中和兩個最重要的量,通常要先求出和.解:(1) .(2)，(3) ， (4) （2）÷（1）得 或 當(dāng)時，當(dāng)時，知識體驗:已知等比數(shù)列的

5、五個量中的任意三個求其他兩個時,要用等比數(shù)列的通項公式以其及前項和公式.（二）與等差數(shù)列前項和有關(guān)的性質(zhì)的應(yīng)用理解例題2:等比數(shù)列中,求.分析: 在有關(guān)等比數(shù)列的問題中, 均可化成有關(guān)、的關(guān)系列方程求解.本題中注意下標的關(guān)系,可考慮用等差數(shù)列前項和的有關(guān)性質(zhì)來簡化運算.解法一: 由，可知（若） 解得， 解法二: 成等比數(shù)列 知識體驗: 在學(xué)習(xí)了等比數(shù)列前項和的有關(guān)性質(zhì)后，我們用其來求解有關(guān)等差數(shù)列的前項和問題.方法提煉:求解該類問題一般有兩種方法:可化成有關(guān)、的關(guān)系列方程組求解.可利用等比數(shù)列中連續(xù)等段和成等比的性質(zhì)即性質(zhì)(1)求解.三、 例題（一） 題型分類全析1等比數(shù)列前項和公式的基本運算

6、例1：在等比數(shù)列的中:求公比,及. 思路直現(xiàn):由已知兩個條件，可建立關(guān)于的方程組，分別解出的值，代入即可求出.解:由已知可得 總結(jié)：在求數(shù)列的基本量問題時,把條件轉(zhuǎn)化成基本量解方程是解決數(shù)列問題的基本方法.例2 已知數(shù)列是等比數(shù)列,其前項和,若,求該數(shù)列的公比.思路直現(xiàn):由已知兩個條件，可建立關(guān)于的方程組，分別解出的值，代入即可求出.解: 若,則, ,此時 , 即, 即 故.筆記：在使用等比數(shù)列的前項和公式時,一定要注意公式的條件.若題目中不明確,應(yīng)對進行討論.本題有關(guān)等比數(shù)列前項和的基本運算的考查.轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程組求解.本題考查了等比數(shù)列前項和公式的運用和分類討論的思想.因不知的值,故對進

7、行討論.2利用等差數(shù)列的性質(zhì)求和例3：等比數(shù)列中，求?思路直現(xiàn):注意到,下標的關(guān)系,可考慮利用等比數(shù)列的性質(zhì)解決.解: 是等比數(shù)列， 成等比 ，故故或注意到，同號,筆記：遇到類似下標成倍數(shù)關(guān)系的前項和問題,一般可考慮用等比數(shù)列中依次項和成等比數(shù)列來解決,可簡化計算量.在已知,利用這一性質(zhì)求時,要考慮是否會出現(xiàn)增根的問題.例4 已知一個項數(shù)為偶數(shù),首項為1的等比數(shù)列,其奇數(shù)項的和為85,偶數(shù)項的和為170,求這個數(shù)列的公比及項數(shù).思路: 本題涉及到項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列,且奇數(shù)項和與偶數(shù)項和都已知,由此利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出公比,進而求其通項.解：該數(shù)列是一項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列 ，又故閱題筆記

8、：利用等比數(shù)列奇、偶項數(shù)和的性質(zhì)簡單明了，運算量較低.本題考查了等比數(shù)列連續(xù)等段和成等比的性質(zhì).利用等比數(shù)列分段和成等比.考慮是否兩解都滿足條件.建議：已知求時，盡量列方程求解，若用性質(zhì)應(yīng)考慮是否會出現(xiàn)增根.本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì).注意這個性質(zhì)是在項數(shù)為偶數(shù)這一前提下成立的.建議：巧用特例，熟記等差等比數(shù)列奇偶項的一些性質(zhì).3某些特殊數(shù)列的求和例5: (1)已知數(shù)列的通項公式，求該數(shù)列的前項和； (2)已知數(shù)列的通項公式，求該數(shù)列的前項和.解:(1) (2) =筆記:分組求和法適用于某些特殊數(shù)列的求和,這些特殊數(shù)列的通項是可寫成幾個等比數(shù)列或等差數(shù)列的和的形式.例6：已知數(shù)列的通項公式，求該

9、數(shù)列的前項和；思路:寫出數(shù)列的前項和注意其與等比數(shù)列形式類似，考慮用推導(dǎo)等比數(shù)列求和的方法來求其前項和.解： 筆記:錯位相減法適用與求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積組成的新數(shù)列的前項和.考查數(shù)列的分組求和問題.等差等比數(shù)列各自分組求和.不同公比的等比數(shù)列按公比各自分組求和建議：熟記幾種常見的數(shù)列求和類型及其對應(yīng)方法.考查數(shù)列的錯位相減法求和的問題。建議：錯位相減法是高考的一個常考點，平時訓(xùn)練給予重視.（二）重點突破例7:（2007天津）在數(shù)列中，（）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項和；（）證明不等式，對任意皆成立思路直現(xiàn): (1)由遞推關(guān)系式構(gòu)造出數(shù)列,并證明其是等比數(shù)列. (2)利用分組

10、求和法求出的前項和. (3)考慮用作差法證明.()證明：由題設(shè)，得， 所以數(shù)列是首項為，且公比為的等比數(shù)列()解：由（）可知， ()證明：對任意的， 所以不等式，對任意皆成立筆記: 本題實際上第一步的證明起到一個提示的作用,即應(yīng)從遞推關(guān)系出發(fā)構(gòu)造出的形式,并證明其為等比數(shù)列.例8: （2007遼寧）已知數(shù)列，滿足，且,（I）令，求數(shù)列的通項公式；（II）求數(shù)列的通項公式及前項和公式思路:(1)由于要構(gòu)造,故把已知兩式相加,即可得出規(guī)律. (2)由（I）提示,可考慮兩式相減.（）解：由題設(shè)可得， 即（） 易知是首項為，公差為的等差數(shù)列 （II）解：由題設(shè)得，令，則 易知是首項為，公比為的等比數(shù)列

11、 由解得 閱題: 這是一道創(chuàng)新題,題目較為新穎,遇見題目不要慌亂,其實(1)問已經(jīng)提示解答本題的方法,應(yīng)整體考慮.本小題考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項公式及前項和公式、不等式的證明 利用遞推關(guān)系式證明數(shù)列成等比.利用分組求和法求和利用作差比較法證明不等式.建議：學(xué)會解題的技巧，有時候題目的提示往往在問題當(dāng)中.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力兩式相加構(gòu)造兩式相減構(gòu)造列方程組求分組求和求建議：在學(xué)習(xí)中重視整體思想的訓(xùn)練.四、習(xí)題一、選擇題1.（2008福建) 設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若,則數(shù)列前7項的和為A.63B.64C.127D.1282.（2008浙江）已知

12、是等比數(shù)列，則=A. B. C. D. 3.（2008海南）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項和為，則A. 2B. 4C. D. 4(2007陜西) 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，若則等于A.80B.30 C. 26 D.165（2006遼寧） 在等比數(shù)列中,前項和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于A. B. C. D.6.數(shù)列的前項和為（ ）A.B.C.D.7.A.B.C.D.二、填空題8.等比數(shù)列共項，其和為，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比 9(2007全國) 等比數(shù)列的前項和為，已知，成等差數(shù)列，則的公比為10.若等比數(shù)列的前項和為滿足,則此數(shù)列的公比為三、解答題11. （2007全國）設(shè)

13、等比數(shù)列的公比，前項和為已知，求的通項公式12.(2008全國) 在數(shù)列中，（）設(shè)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（）求數(shù)列的前項和13.已知數(shù)列滿足： 且（1）令，求的通項公式；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前項和習(xí)題答案1. C. 分析：由及是公比為正數(shù)得公比，所以2. C. 分析：為等比數(shù)列， 設(shè)，是首項為8，公比為的等比數(shù)列. ，3. C 分析: 4. B 分析: 為等比數(shù)列，成等比 即或 各項均為正數(shù)，故，故， 成等比，所以，5. D 分析: 解：依題意，為首項為2，公比為的前項和，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得D6.C 分析：因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則，即，所以，故選擇答案

14、C。7.A 分析： 8.B分析: 設(shè)， 則兩式相減得 9. 分析:由題意可知因為等比數(shù)列共項，10. 分析：假設(shè)塔每層有盞，塔尖有盞，由題意知道數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列， ，11. 分析：，即解得的公比12. 分析 數(shù)列為等比數(shù)列，故成公比為的等比數(shù)列，故有,13. 分析:,確定,等比數(shù)列唯一確定.由,得即不能唯一確定,從而該數(shù)列不能唯一確定.,為奇數(shù)時,為偶數(shù),不唯一,而該數(shù)列不能唯一確定.唯一確定,等比數(shù)列唯一確定故滿足題意.14.分析：由條件列出關(guān)于的方程組求解進而得出結(jié)論.解：由題設(shè)知，則 由得，因為，解得或當(dāng)時，代入得，通項公式；當(dāng)時，代入得，通項公式點撥:等比數(shù)列求基本量的題目都可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程組解題.當(dāng)然,應(yīng)在解題過程中注意有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用,可簡化計算量.15.分析:利用遞歸關(guān)系式構(gòu)造等差數(shù)列,進而求出數(shù)列的通項公式,利用錯位相減法求其前項和.解：（1）， ， ， 則為等差數(shù)列， ，（2） 兩式相減，得 點撥:在求解題目的過程中,不應(yīng)把思路集中在題目的條件上,有時考慮一下題目的問題上,往往會有“暮然回首，那人卻在燈火闌