有限元分析理論基礎(chǔ)

1、有限元理論根底有限元方法的根底是變分原理和加權(quán)余量法,其根本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元,在每個(gè)單元內(nèi),選擇一些適宜的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn),將微分方程中的變量改寫(xiě)成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式,借助于變分原理或加權(quán)余量法,將微分方程離散求解.采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式,便構(gòu)成不同的有限元方法.4.4.加權(quán)余量法：是指采用使余量的加權(quán)函數(shù)為零求得微分方程近似解的方法稱(chēng)為加權(quán)余量法.(WeightedresidualmethodWRM)WeightedresidualmethodWRM)是一種直接從所需求解的微分方程及邊界條件出發(fā),尋求邊值問(wèn)題

2、近似解的數(shù)學(xué)方法.加權(quán)余量法是求解微分方程近似解的一種有效的方法.設(shè)問(wèn)題的限制微分方程為：在 V V 域內(nèi)A()-()-八0(5.1.1)在 S S 邊界上(“)-&= =0(5.1.2)式中：L L、B B分別為微分方程和邊界條件中的微分算子；f f、g g為與未知函數(shù) u u 無(wú)關(guān)的己知函數(shù)域值；u u 為問(wèn)題待求的未知函數(shù)當(dāng)弄!J用力u權(quán)余？肚法求近丁以解首先在求耳軍域上理立一個(gè)T式數(shù)H一般兵升如下形式：仁士CN=NC(5,1,3)TM式中：C彳寺定系數(shù),也可稱(chēng)為廣義坐標(biāo)；N：-取白完備函冬攵*$線,性無(wú)關(guān)的基函孕攵.由于一般只圮彳守求函纓攵U的近1以耳豈因u匕將式(51.3)代入式(5

3、11)牙口式(51.2)后將訶？不譽(yù)斯兄,昔迅：|R=L(flbf在V域內(nèi)RB=B(八g在S邊界上(14)城然&、盡反映了 r 式函竽攵與實(shí)解之問(wèn)的偏差.它丁門(mén)分另U稱(chēng)做內(nèi)召口牙口邊界余假設(shè)在域內(nèi)引入內(nèi)部權(quán)函數(shù)研,在邊界S上引入邊界權(quán)函數(shù)WB那么可理立11個(gè)消除余甘的條件.一般可農(nóng)示為：L兀WBHBCIS=0(/=L2.L,)(51-5)?V?S不同的權(quán)函數(shù)開(kāi)；和jrR反映了不同的消除余？眩的準(zhǔn)那么.從上式可以得到求解待定系數(shù)矩陣C的代數(shù)方程組一經(jīng)解得待定系數(shù).由式(5.1.3)即可得所需求解邊值問(wèn)題的進(jìn)似解 由于試函數(shù) 的不同余址A和RB可有如下三種T/r況.依匕加權(quán)余？垃法可分為：1.內(nèi)部

4、法試函數(shù)滿尺邊界條件,也即?=B?-g=此時(shí)消除氽呈的條件成為：1;%尺=072E)(5.16)2 .邊界法試函數(shù)滿足限制,方程.也即R砂CO此時(shí)消除氽址的條件為：“言古/二.(心L2LJI)(5.1.7)?s3,混合法試函數(shù)不測(cè)兄限制方程和邊界條件.此時(shí)用式(51.5)來(lái)消除氽顯、限元分析理論根底有限元分析概念有限元法：把求解區(qū)域看作由許多小的在節(jié)點(diǎn)處相互連接的單元子域所構(gòu)成,其模型給出根本方程的分片子域近似解,由于單元子域可以被分割成各種形狀和大小不同的尺寸,所以它能很好地適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀、復(fù)雜的材料特性和復(fù)雜的邊界條件有限元模型：它是真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象.由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組成,

5、單元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接,并承受一定載荷.有限元分析：是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)幾何和載荷工況進(jìn)行模擬.并利用簡(jiǎn)單而又相互作用的元素,即單元,就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無(wú)限未知量的真實(shí)系統(tǒng).線彈性有限元是以理想彈性體為研究對(duì)象的,所考慮的變形建立在小變形假設(shè)的根底上.在這類(lèi)問(wèn)題中,材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系,滿足廣義胡克定律； 應(yīng)力與應(yīng)變也是線性關(guān)系,線彈性問(wèn)題可歸結(jié)為求解線性方程問(wèn)題,所以只需要較少的計(jì)算時(shí)間.如果采用高效的代數(shù)方程組求解方法,也有助于降低有限元分析的時(shí)間.線彈性有限元一般包括線彈性靜力學(xué)分析與線彈性動(dòng)力學(xué)分析兩方面 C C非線性問(wèn)題與線彈性問(wèn)題的區(qū)別：1 1非線性問(wèn)

6、題的方程是非線性的,一般需要迭代求解；2 2非線性問(wèn)題不能采用疊加原理；3 3非線性問(wèn)題不總有一致解,有時(shí)甚至沒(méi)有解.有限元求解非線性問(wèn)題可分為以下三類(lèi)：1 1材料非線性問(wèn)題材料的應(yīng)力和應(yīng)變是非線性的,但應(yīng)力與應(yīng)變卻很微小,此時(shí)應(yīng)變與位移呈線性關(guān)系,這類(lèi)問(wèn)題屬于材料的非線性問(wèn)題.由于從理論上還不能提供能普遍接受的本構(gòu)關(guān)系,所以,一般材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間的非線性關(guān)系要基于試驗(yàn)數(shù)據(jù),有時(shí)非線性材料特性可用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬,盡管這些模型總有他們的局限性.在工程實(shí)際中較為重要的材料非線性問(wèn)題有：非線性彈性包括分段線彈性、彈塑性、粘塑性及蠕變等.2 2幾何非線性問(wèn)題幾何非線性問(wèn)題是由于位移之間存在非線性

7、關(guān)系引起的.當(dāng)物體的位移較大時(shí),應(yīng)變與位移的關(guān)系是非線性關(guān)系.研究這類(lèi)問(wèn)題一般都是假定材料的應(yīng)力和應(yīng)變呈線性關(guān)系.它包括大位移大應(yīng)變及大位移小應(yīng)變問(wèn)題.如結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問(wèn)題屬于大位移小應(yīng)變問(wèn)題,橡膠部件形成過(guò)程為大應(yīng)變問(wèn)題.3 3非線性邊界問(wèn)題在加工、密封、撞擊等問(wèn)題中,接觸和摩擦的作用不可無(wú)視,接觸邊界屬于高度非線性邊界.平時(shí)遇到的一些接觸問(wèn)題,如齒輪傳動(dòng)、沖壓成型、軋制成型、橡膠減振器、緊配合裝配等,當(dāng)一個(gè)結(jié)構(gòu)與另一個(gè)結(jié)構(gòu)或外部邊界相接觸時(shí)通常要考慮非線性邊界條件.實(shí)際的非線性可能同時(shí)出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問(wèn)題.有限元理論根底有限元方法的根底是變分原理和加權(quán)余量法,其根本求解思想是把計(jì)算

8、域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元,在每個(gè)單元內(nèi),選擇一些適宜的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn),將微分方程中的變量改寫(xiě)成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式,借助于變分原理或加權(quán)余量法,將微分方程離散求解.采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式,便構(gòu)成不同的有限元方法.1?1?加權(quán)余量法：是指采用使余量的加權(quán)函數(shù)為零求得微分方程近似解的方法稱(chēng)為加權(quán)余量法.(WeightedresidualmethodWRM)WeightedresidualmethodWRM)是一種直接從所需求解的微分方程及邊界條件出發(fā),尋求邊值問(wèn)題近似解的數(shù)學(xué)方法O加權(quán)余量法是求解微分方程近似解的一種有效的方法.設(shè)問(wèn)題的限

9、制微分方程為：在 V V 域內(nèi)L(u)-f=O(5.1.1)在 S S 邊界上Bg-g=0式中:L L、B B分別為微分方程和邊界條件中的微分算子；f f、9 9為與未知函數(shù) U U 無(wú)關(guān)的己知函數(shù)域值；U U為問(wèn)題待求的未知函數(shù)當(dāng)牙！J用力口權(quán)余試法求近T以解日寸,甘先在求解喊上理立一個(gè)壬式函數(shù)一般兵有如幣形式：z?0=VCNt=AV(53)式中：G鉗定系數(shù).她可稱(chēng)為廣義坐標(biāo)；N、-J隊(duì)白完備函數(shù)共的線J生無(wú)關(guān)白勺基函數(shù)二由于R一般只足彳寺求函掬；u的近似解.因D匕將？式(5.1.3)代入式(5.11)芽口式(5.12)后將？得?不至U滿足.假設(shè) 2:、Ri=L(M_.f在V域內(nèi)RB=B(f

10、t八-g在S邊界上顯然耳、懸反映了試?函數(shù)與懸賣(mài)if之川1白勺偏差,它T門(mén)分另州爾做內(nèi)占口才口邊界余Tib,假設(shè)在域內(nèi)引入內(nèi)部權(quán)函數(shù)為,在邊界S上引入邊界權(quán)函數(shù)WB那么可建立11個(gè)消除氽量的條件,一般可農(nóng)示為：|r,Ar+|rs)AAzs=o(/=L2,L,)er?p*s不同的權(quán)函數(shù)；和%反映了不同的消除余-址的準(zhǔn)貝！J.從上式可以得到求解詩(shī)定系數(shù)矩陣C的代數(shù)方程組.一經(jīng)解得待定系數(shù),由式(5.13)即可得所需求if邊值問(wèn)題的近似解由于試函數(shù)的不同.余壁即口鳧可方如下三種僑況,(5.1.2)依此加權(quán)余崔？法可分為：1.內(nèi)部法試函數(shù)滿兄邊界條件.她即&7衢甘Q此時(shí)消除余壁的條件成為：I：麻!=0

11、Q=1、2.L)(5.1.6)2 .邊界法試函數(shù)滿足限制方程,電卯只=乂$7-/=0此時(shí)消除金量的條件為：曲陽(yáng)洽=0(/=1.2XJi)(S-i-7)3,混合法試函數(shù)不瀕叉限制方程和邊界條件.此時(shí)用式5.1.5來(lái)消除余蚤混合法對(duì)于試函數(shù)的選取最方便,但在相同精度條件下,工作量最大.對(duì)內(nèi)部法和邊界法必須使基函數(shù)事先滿足一定條件,這對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析往往有一定困難,但試函數(shù)一經(jīng)建立,其工作量較小.無(wú)論采用何種方法,在建立試函數(shù)時(shí)均應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)(1)試函數(shù)應(yīng)由完備函數(shù)集的子集構(gòu)成.已被采用過(guò)的試函數(shù)有幕級(jí)數(shù)、三角級(jí)數(shù)、樣條函數(shù)、貝賽爾函數(shù)、切比雪夫和勒讓德多項(xiàng)式等等.(2)(2)試函數(shù)應(yīng)具有直

12、到比消除余量的加權(quán)積分表達(dá)式中最高階導(dǎo)數(shù)低一階的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性.(3)(3)試函數(shù)應(yīng)與問(wèn)題的解析解或問(wèn)題的特解相關(guān)聯(lián).假設(shè)計(jì)算問(wèn)題具有對(duì)稱(chēng)性,應(yīng)充分利用它.顯然,任何獨(dú)立的完全函數(shù)集都可以作為權(quán)函數(shù).根據(jù)對(duì)權(quán)函數(shù)的不同選擇得到不同的加權(quán)余量計(jì)算方法,主要有：配點(diǎn)法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽遼金法.其中伽遼金法的精度最高.下而以?xún)?nèi)部法為例,介紹按權(quán)函數(shù)分類(lèi)時(shí)加權(quán)余蚤的五種根本方法.對(duì)內(nèi)部法來(lái)說(shuō),消除余蚤的統(tǒng)一格式是：0%亦=0(/=1,2,L中)1.子域法(SiibdoinninMethod)此法首先M各求解域Y劃分成n個(gè)子域,衣宓個(gè)子域內(nèi)令權(quán)函數(shù)等于1.而在子域之外取權(quán)函數(shù)為零,也艮P:P(

13、)|0代外)如果在各個(gè)子域里分別選取試函數(shù).那么它的求禪在形式上將類(lèi)似于有P艮元法O2,配點(diǎn)法(CollocationMethod)子域法是令余呈在一個(gè)子域上的總和為冬.而配點(diǎn)法是使余?豪在才旨定的n個(gè)點(diǎn)上等于寺,這些點(diǎn)稱(chēng)為配點(diǎn).0匕法的杈函數(shù)為：Wh=&P_P)ooo篦羽誠(chéng)(猶拉克函數(shù),它的定義為：4.伽遼金法Method)本法是使余涅,與每一個(gè)基函數(shù)正交,也即以基函數(shù)作為權(quán)函數(shù)Wh=N(/=1,2,LJI)當(dāng)？式函數(shù)田包含注個(gè)完備函數(shù)集時(shí),用本法必可衣得耕確解P、Pj一分別代表求耦域內(nèi)任一點(diǎn)和色己點(diǎn).由于此法只在配點(diǎn)上偌證余量為零,因此不需耍作積分計(jì)算,所以是最簡(jiǎn)單的加權(quán)余蚤法3.最小二乘

14、法(LeastSquareMethod)本法立旌立無(wú)Y更在涎個(gè)求解域上余-處的平方和取竭力、來(lái)建立消除余假設(shè)記余泌平方和為1(C),即2(C)=f被如=IRR,dV那么極值條件為：2廠(箸)巳沙=量的條件由此可見(jiàn),本法權(quán)函數(shù)為:昭=淫0=L21,?)5,矩法(MethodofMoment)本法與伽遼金法相似,也是用完備函數(shù)集作權(quán)函數(shù).但本法的權(quán)函數(shù)與伽遼金法又有區(qū)別,它與f式函數(shù)天關(guān).消除余？晝的條件是從岑開(kāi)始的各階夕巨為冬,因此對(duì)一八維問(wèn)題,W=兀NU=l,2,L,n)對(duì)二維J訶題叫?八o=12L衛(wèi))其余類(lèi)推這五種根本方,去在待定系數(shù)尺夠多(牙爾做高階近似)時(shí),其榜皮彼此相近.但對(duì)低階近似(

15、口較刀寸忻況下,后三科的精皮要高于前兩種.根本方法羋例為說(shuō)明上述根本棋念,以圖所示等截面懸皆梁,淡清跨均布荷載作用,求懸臂端B的豎向位移心為例,說(shuō)明根本方法的應(yīng)用.圖示采？的才空制方程為：怙=.其邊界條件為：必.y=-0|dxdyI7ax不難驗(yàn)證其,萌足邊界條件,也叩A(chǔ)=0o而限制方程的內(nèi)部余苛R?為：A；=E/C(120.V+24/)-7口口口1 11 1i-ni-n(x=0)17171-假設(shè)取試函數(shù)為：c(x5+ylx4-14/2,v3+26l3X)(*)因此本問(wèn)題屈內(nèi)郃法.下而？步別用根本方法進(jìn)行求解.子域法解由于f式函數(shù)僅一個(gè)待定常數(shù),因此只需取一個(gè)子域芳于全域即可.呼12O.Y+24/-必二0由此可解得：一qS4EI1代回巧式可得?：,二W一427憶點(diǎn)法解同上所述.只需選一個(gè)配點(diǎn)來(lái)建立消除余呈的條件假