統(tǒng)計(jì)學(xué)第七章

1、第七章 平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)教 學(xué) 目 的掌握：1.相關(guān)樣本的檢驗(yàn)方法；2.獨(dú)立樣本的檢驗(yàn)方法；3.總體方差為齊性條件下的各種檢驗(yàn)方法；4.總體方差非齊性條件下的各種檢驗(yàn)方法；5.方差齊性檢驗(yàn)的方法。第一節(jié) 平均數(shù)差異檢驗(yàn)的基本原理一、平均數(shù)差異檢驗(yàn)的邏輯原理 雙樣本檢驗(yàn)原理與單樣本相同，即考察在以中心的抽樣分布上出現(xiàn)概率的大小。若在其抽樣分布上出現(xiàn)的概率較大（P0.05），則保留零假設(shè)HO，則兩個(gè)總體平均數(shù)與無(wú)顯著性差異；若在其抽樣分布上出現(xiàn)的概率小于事先規(guī)定的水平，則拒絕HO而接受H1即與有顯著性差異。二、平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤平均數(shù)之差的標(biāo)準(zhǔn)誤是進(jìn)行檢驗(yàn)的重要指標(biāo)，要進(jìn)行檢驗(yàn)要先求（的標(biāo)準(zhǔn)

2、誤的估計(jì)量）。即：兩個(gè)變量之差的平均數(shù)等于兩個(gè)變量平均數(shù)之差。 因此，要求的標(biāo)準(zhǔn)誤，關(guān)鍵是求D變量的總體標(biāo)準(zhǔn)差，欲求D變量的總體標(biāo)準(zhǔn)差；先求D變量的樣本方差。D的離差：D的離差平方和： D的樣本方差： 當(dāng)r=0時(shí)： ：此處與教材（107頁(yè)）略有不同。第二節(jié)相關(guān)樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)相關(guān)樣本：兩個(gè)樣本內(nèi)的個(gè)體存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)據(jù)是成對(duì)出現(xiàn)的。兩種常見(jiàn)的相關(guān)樣本形式：同一組被試先后兩次測(cè)試結(jié)果；匹配組情況。一、相關(guān)大樣本兩總體為正態(tài)分布，兩樣本為相關(guān)樣本，雖然總體未知，但n30時(shí)，可用Z檢驗(yàn)（也可用t檢驗(yàn)）?！纠?】：某校將100名學(xué)生按匹配原則配成50對(duì)，將每對(duì)學(xué)生隨機(jī)分入實(shí)驗(yàn)班和對(duì)照班

3、。實(shí)驗(yàn)班按新教學(xué)方法施教，對(duì)照班按傳統(tǒng)教學(xué)方法施教。一學(xué)期后用同一套試題測(cè)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)班的平均分為82，標(biāo)準(zhǔn)差為6分；對(duì)照班的平均分為80.5，標(biāo)準(zhǔn)差為7分，兩班成績(jī)的相關(guān)系數(shù)為 0.70，問(wèn)實(shí)驗(yàn)班的成績(jī)與對(duì)照班的成績(jī)有無(wú)顯著性差異？檢驗(yàn)： 假定兩總體為正態(tài)分布，未知，兩樣本為相關(guān)樣本，且n =5030，故采用Z檢驗(yàn)。 3、確定檢驗(yàn)形式?jīng)]有資料說(shuō)明新方法是否優(yōu)于傳統(tǒng)方法，故采用雙側(cè)檢驗(yàn)。4、統(tǒng)計(jì)決斷|Z|= 2.05*1.96=Z 0.05 P0.05因此，在0.05 水平上拒絕零假設(shè)，接受備擇假設(shè)。結(jié)論為實(shí)驗(yàn)班的成績(jī)顯著高于對(duì)照班的成績(jī)?！纠?】： 32人的射擊小組經(jīng)過(guò)三天集中訓(xùn)練，訓(xùn)練后與訓(xùn)練

4、前測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)已知（參看教材111頁(yè)表7.2所示），問(wèn)三天集中訓(xùn)練有無(wú)顯著效果？檢驗(yàn)：用D計(jì)算3、確定檢驗(yàn)形式由于過(guò)去的資料表明三天射擊訓(xùn)練有效果，即訓(xùn)練后射擊得分的總體平均數(shù)與訓(xùn)練前射擊得分的總體平均數(shù)之差大于零，故采用右側(cè)檢驗(yàn)。4、統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)單側(cè)Z檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則，本例Z0.05=1.652.057*2.33=Z0.01，則0.01P0.05，于是在職0.05顯著性水平上拒絕Ho而接受H1 。結(jié)論為：三天射擊訓(xùn)練有顯著效果。二、相關(guān)小樣本的檢驗(yàn)總體為正態(tài)，總體未知，相關(guān)樣本，n30時(shí)，必須采用t檢驗(yàn)?！纠?】：某教師設(shè)計(jì)了一種開(kāi)發(fā)學(xué)生智力的訓(xùn)練方法，并對(duì)15名學(xué)生進(jìn)行了為期一個(gè)月的訓(xùn)練。在訓(xùn)

5、練前后分別用智力量表進(jìn)行了智力測(cè)量。訓(xùn)練前的平均智商為 103，標(biāo)準(zhǔn)差為12；訓(xùn)練后的平均智商為105，標(biāo)準(zhǔn)差為13，兩次測(cè)量的相關(guān)系數(shù)為0.65。試問(wèn)該教師的訓(xùn)練方法是否顯著地提高了學(xué)生的智力？檢驗(yàn)： 假定兩總體為正態(tài)，未知，兩樣本為相關(guān)樣本，且n =1530，故采用t檢驗(yàn)。3、確定檢驗(yàn)形式：因題中問(wèn)是否提高了學(xué)生的智商，故采用左側(cè)檢驗(yàn)。4、統(tǒng)計(jì)決斷|t|=0.711.76=t(14)0.05 （單側(cè)臨界值）P0.05因此，在0.05水平保留零假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)。結(jié)論為該教師的訓(xùn)練方法對(duì)提高學(xué)生智力效果不顯著?！纠?】： 為了揭示小學(xué)二年級(jí)的兩種識(shí)字教學(xué)法是否有顯著性差異，根據(jù)學(xué)生的智力水平

6、、努力程度、識(shí)字量多少、家庭輔導(dǎo)力量等條件基本相同的原則，將學(xué)生配成10對(duì)，然后把每對(duì)學(xué)生隨機(jī)地分入實(shí)驗(yàn)組和對(duì)照組。實(shí)驗(yàn)組施以分散識(shí)字教學(xué)法，對(duì)照組施以集中識(shí)字教學(xué)法，后期統(tǒng)一測(cè)驗(yàn)結(jié)果如教材108頁(yè)表7.1。檢驗(yàn)：用觀察值的差數(shù)D表示在這里D表示觀察值的差數(shù)，n表示差數(shù)的個(gè)數(shù)計(jì)算t值：3、確定檢驗(yàn)形式?jīng)]有資料可以說(shuō)明兩種教學(xué)方法哪一種效果好，故采用雙側(cè)檢驗(yàn)。4、統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)自由度df =n-1=10-1=9，得 t（9）0.05=2.262, t（9）0.01=3.250實(shí)際計(jì)算出來(lái)的| t |=3.456*3.250= t（9）0.01，則P0.01，根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)決斷規(guī)則，在0.01顯著性水

7、平上拒絕H0,而接受H1。其結(jié)論為：小學(xué)分散識(shí)字與集中識(shí)字教學(xué)法有極其顯著性差異。分散識(shí)字教學(xué)法的平均分?jǐn)?shù)高于集中識(shí)字教學(xué)法的平均分?jǐn)?shù)，即，所以分散識(shí)字教學(xué)法優(yōu)于集中識(shí)字教學(xué)法。當(dāng)r未知時(shí)可通過(guò)逐對(duì)計(jì)算差數(shù)D，再計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤：第三節(jié)獨(dú)立樣本平均數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)一、獨(dú)立大樣本條件下的檢驗(yàn)當(dāng)兩總體為正態(tài)分布，未知，兩樣本為獨(dú)立樣本，n1和n2都大于30時(shí)，可用Z檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)。標(biāo)準(zhǔn)誤用：或【例1】：某校初二年級(jí)的數(shù)學(xué)考試中，150名女生的平均分為82分，標(biāo)準(zhǔn)差為12分，160名男生的平均分為83.5分，標(biāo)差為11.8分，問(wèn)初二年級(jí)男女生的數(shù)學(xué)成績(jī)有無(wú)顯著性差異？檢驗(yàn)：假定總體為正態(tài)分布，未知，獨(dú)立大

8、樣本，故采用Z檢驗(yàn)3、確定檢驗(yàn)形式過(guò)去無(wú)資料表明男女生的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異，故采用雙側(cè)檢驗(yàn)。4、統(tǒng)計(jì)決斷|Z|=1.111.96=Z0.05 P0.05因此，在0.05水平上保留零假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)。結(jié)論為男女生的數(shù)學(xué)成績(jī)無(wú)顯著性差異。二、獨(dú)立小樣條件下檢驗(yàn)n1、n2都小于30，或有一個(gè)小于30時(shí)的獨(dú)立樣本為獨(dú)立小樣。對(duì)獨(dú)立小樣進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，要考慮總體方差是否為齊性。 （假定兩個(gè)總體方差為齊性）我們用兩個(gè)樣本的離差平方和之和比上兩個(gè)樣本自由度之和，作為的最佳估計(jì)量（用S2表示），S2稱作匯合方差。標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)量：注：獨(dú)立小樣本，方差為齊性，用t檢驗(yàn)。思考與練習(xí)：當(dāng)時(shí)，【例1】：在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，A校

9、10名參賽者的平均分為78分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，B校12名參賽者的平均分為76分，標(biāo)準(zhǔn)差為11分（假定兩總體方差為齊性），問(wèn)A、B兩校的成績(jī)有無(wú)顯著性差異？檢驗(yàn)：兩總體為正態(tài)分布，兩總體方差為齊性，兩樣本為獨(dú)立小樣本，故采用t檢驗(yàn)。3、確定檢驗(yàn)形式過(guò)去無(wú)資料說(shuō)明兩校成績(jī)有差異，故采用雙側(cè)檢驗(yàn)。4、統(tǒng)計(jì)法斷|t|=0.412.09=t（20）0.05 P0.05因此，在0.05水平上保留零假設(shè)，拒絕備擇假設(shè)。結(jié)論為A、B兩校成績(jī)無(wú)顯著性差異?！纠?】：從高二年級(jí)隨機(jī)抽取兩個(gè)小組，在化學(xué)教學(xué)中實(shí)驗(yàn)組采用啟發(fā)探究法，對(duì)照組采用傳統(tǒng)講授法，后期統(tǒng)一測(cè)驗(yàn)結(jié)果（教材117頁(yè)表7.4所示），問(wèn)兩種教學(xué)法是否有

10、顯著性差異？（已有經(jīng)驗(yàn)：?jiǎn)l(fā)式優(yōu)于講授法） 檢驗(yàn)：兩組化學(xué)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)假定是從兩個(gè)正態(tài)總體隨機(jī)抽出的獨(dú)立樣本，而兩個(gè)相應(yīng)總體標(biāo)準(zhǔn)差為未知，經(jīng)方差齊性檢驗(yàn)兩個(gè)總體方差相等，兩個(gè)樣本容量都小于30，其樣本平均數(shù)之差與相應(yīng)總體平均數(shù)之差的離差統(tǒng)計(jì)量呈t分布，故應(yīng)當(dāng)采用t檢驗(yàn)。 3、確定檢驗(yàn)形式4、統(tǒng)計(jì)決斷根據(jù)自由度df=n1+n2-2=10+9-2=17，得t(17)0.01=2.567，t(17)0.005=2.898實(shí)際計(jì)算出|t|=2.835，t(17)0.01=2.5672.835*2.898=t(17)0.005，則0.005P3.090 = t0.01，則P7.49=F（17,6）0.01，則P0.01，于是在0.01顯著性水平上拒絕Ho而接受H1。結(jié)論為：走讀生與住宿生自學(xué)能力得分的方差不齊性，并有極其顯著性差異。三、兩個(gè)相關(guān)樣本的方差齊性檢驗(yàn)對(duì)兩個(gè)相關(guān)樣本檢驗(yàn)時(shí)，需要用t檢驗(yàn)，而不能用F檢驗(yàn)?！纠纭浚河肁、B兩卷對(duì)36名學(xué)生的測(cè)驗(yàn)結(jié)果，其A卷的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，B卷的樣本標(biāo)準(zhǔn)差，A、B兩卷的相關(guān)系數(shù)=0.40，問(wèn)A、B兩試卷的方差是否齊性？檢驗(yàn):由于兩組分?jǐn)?shù)是用A、B卷對(duì)同一批學(xué)生的測(cè)驗(yàn)