Matlab最小二乘法曲線擬合

1、最小二乘法在曲線擬合中比較普遍。擬合的模型主要有1 .直線型2 .多項式型3 .分數(shù)函數(shù)型4 .指數(shù)函數(shù)型5 .對數(shù)線性型6 .高斯函數(shù)型一般對于LS問題，通常利用反斜杠運算、fminsearch或優(yōu)化工具箱提供的極小化函數(shù)求解。在Matlab中，曲線擬合工具箱也提供了曲線擬合的圖形界面操作。在命令提示符后鍵入：cftool ,即可根據(jù)數(shù)據(jù)，選擇適當?shù)臄M合模型。命令1 .假設(shè)要擬合的多項式是：y=a+b*x+c*xA2.首先建立設(shè)計矩陣 X：X=ones(size(x) x xA2;執(zhí)行：para=Xypara 中包含了三個參數(shù)：para(1)=a;para(2)=b;para(3)=c;這種

2、方法對于系數(shù)是線性的模型也適應(yīng)。2 .假設(shè)要才以合:y=a+b*exp(x)+cx*exp(xA2)設(shè)計矩陣X為X=ones(size(x) exp(x) x.*exp(x.A2);para=Xy3 .多重回歸(乘積回歸)設(shè)要擬合：y=a+b*x+c*t ,其中x和t是預(yù)測變量，y是響應(yīng)變量。設(shè)計矩陣為X=ones(size(x) x t % 注意x,t大小相等！para=Xypolyfit 函數(shù)polyfit函數(shù)不需要輸入設(shè)計矩陣，在參數(shù)估計中，polyfit會根據(jù)輸入的數(shù)據(jù)生成設(shè)計矩陣。1 .假設(shè)要擬合的多項式是：y=a+b*x+c*xA2p=polyfit(x,y,2)然后可以使用pol

3、yval在t處預(yù)測：y_hat=polyval(p,t)polyfit函數(shù)可以給出置信區(qū)間。p S=polyfit(x,y,2) %S中包含了 標準差y_fit,delta = polyval(p,t,S) %按照擬合模型在 t處預(yù)測在每個 t 處的 95%CI 為：*delta, y_fit+*delta)2 .指數(shù)模型也適應(yīng)假設(shè)要才以合:y = a+b*exp(x)+c*exp(x.2)p=polyfit(x,log(y),2)fminsearch 函數(shù)fminsearch是優(yōu)化工具箱的極小化函數(shù)。LS問題的基本思想就是殘差的平方和(一種范數(shù)，由此，LS產(chǎn)生了許多應(yīng)用)最小，因此可以利用f

4、minsearch函數(shù)進行曲線擬合。假設(shè)要才以合:y = a+b*exp(x)+c*exp(x.2)首先建立函數(shù)，可以通過m文件或函數(shù)句柄建立：x=.1；y=;f=(p,x) p(1)+p(2)*exp(x)+p(3)*exp(x.2) % 注意向量化:p(1)=a;p(2)=b;p(3)=c;%可以根據(jù)需要選擇是否優(yōu)化參數(shù)%opt=options() p0=ones(3,1);% 初值para=fminsearch(p) (y-f(p,x),A2,p0) %可以輸出Hessian矩陣res=y-f(para,x)%擬合殘差曲線擬合工具箱提供了很多擬合函數(shù)，對大樣本場合比較有效！非線性擬合nl

5、infit 函數(shù)clear all;x1=;x2=;x=x1 x2;y=;f=(p,x)*p(1)*(1-1/p(2)*(1-(1-x(:,1)A(1/p(2)Ap(2)A2.*(x(:,1)A(-l/p(2)-1)A(-p(2).*x(:,1)A(-1/p(2).*x(:,2);p0=8 ;opt=optimset(TolFun,1e-3,TolX,1e-3);%p R=nlinfit(x,y,f,p0,opt)例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子例子直線型例子2.多項式型的一個例子1900-2000年的總?cè)丝谇闆r的曲線擬合 clear all;close all;%

6、cftool提供了可視化的曲線擬合！t=1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000;y=;%t太大，以t的嘉作為基函數(shù)會導致設(shè)計矩陣尺度太差，列變量幾乎線性相依。變換為 -1 1上 s=(t-1950)/50;%plot(s,y,ro);刎歸線：y=a+bxmx=mean(s);my=mean(y);sx=std(s);sy=std(y);r=corr(s,y);b=r*sy/sx;a=my-b*mx;rline=a+b.*s;figure;subplot(3,2,1 2)plot(s,y,ro,s,rline,k);%titl

7、e( 多項式擬合);set(gca,XTick,s,XTickLabel,sprintf(%d|,t);%hold on;n=4;PreYear=2010 2015 2020;% 預(yù)測年份tPreYear=(PreYear-1950)/50;Y=zeros(length(t),n);res=zeros(size(Y);delta=zeros(size(Y);PrePo=zeros(length(PreYear),n);Predelta=zeros(size(PrePo);for i=1:nP S(i)=polyfit(s,y,i);Y(:,i) delta(:,i)=polyval(p,s,S

8、(i);%擬合的 YPrePo(:,i) Predelta(:,i)=polyval(p,tPreYear,S(i);%預(yù)測res(:,i)=y-Y(:,i);% 殘差end% plot(s,Y);%2009a自動添加不同顏色% legend(data,regression line,1st poly,2nd poly,3rd poly,4th poly,2)% plot(tPreYear,PrePo,);% hold off% plot(Y,res,o);% 殘差圖r=corr(s,Y),A2 %RA2%以合誤差估計CIYearAdd=t;PreYear;tYearAdd=s;tPreYea

9、r;CFtit=一階擬合,二階才合,三階擬合,四階擬合);for col=1:nsubplot(3,2,col+2);plot(s,y,ro,s,Y(:,col),g-);%原始數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)legend(Original,Fitted,2);hold on;plot(s,Y(:,col)+2*delta(:,col),r:);%95% CIplot(s,Y(:,col)-2*delta(:,col),r:);plot(tPreYear,PrePo(:,col),);%預(yù)測值plot(tPreYear,PrePo(:,col)+2*Predelta(:,col);%預(yù)測 95% CIplot(tPreYear,PrePo(:,col)-2*Predelta(:,col);axis( 0 400);set(gca,XTick,tYearAdd,XTickLabel,sprintf(%d|,YearAdd);title(CFtitcol);hold off;endfigure;%殘差圖for col=1:nsubplot(2,2,col);plot(Y(:,i),res(:,i),o);end一個非線性的 應(yīng)用例子（多元情況）在百度知道 中，要擬合 y=a*x1An1+b*x2An2+c*x3An3%4:只是作為應(yīng)用，模型不一定正確！%x2=x3!2,;y=;x1=1x2