解排列組合應(yīng)用題的26種策略

1、解排列組合應(yīng)用題的26種策略排列組合問(wèn)題是高考的必考題,它聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣,但題型多樣,思路靈活,不易掌握.解排列組合問(wèn)題的根底是兩個(gè)根本原理,分類用加法原理,分步用乘法原理,問(wèn)題在于怎樣合理地進(jìn)行分類、 分步,特別是在分類時(shí)如何做到既不重復(fù),又不遺漏,正確分每一步,這是比擬困難的.要求我們周密思考,細(xì)心分析,理解并掌握解題的常用方法和技巧,掌握并能運(yùn)用分類思想、轉(zhuǎn)化思想、整體思想、正難那么反等數(shù)學(xué)思想解決排列組合問(wèn)題.實(shí)踐證實(shí),掌握題型和解題方法,識(shí)別模式,熟練運(yùn)用,是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略.1-相鄰排列一一捆綁法：n個(gè)不同元素排列成一排,其中某k

2、個(gè)元素排在相鄰位置上,有多少種不同排法？先將這k個(gè)元素“捆綁在一起“,看成一個(gè)整體,當(dāng)作一個(gè)元素同其它元素一起排列,共有A；種排法.然后再將“捆綁在一起的元素進(jìn)行內(nèi)部排列,共有Ak種方法.由乘法原理得符合條件的排列,共A；k11.A：種.例l.a,b,c,d,e五人并排站成一排,如果a,b必須相鄰且b在a的右邊,那么不同的排法種數(shù)有A、60種B、48種C、36種D、24種解析：把a(bǔ),b視為一人,且b固定在a的右邊,那么此題相當(dāng)于4人的全排列,A424種,答案：D.例2有3名女生4名男生站成一排,女生必須相鄰,男生必須相鄰,共有多少種不同的站法？解：先把3名女生作為一個(gè)整體,看成一個(gè)元素,4名男

3、生作為一個(gè)整體,看成一個(gè)元素,兩個(gè)元素排列成一排共有A2種排法；女生內(nèi)部的排法有屋種,男生內(nèi)部的排法有A4種.故合題意的排法有A第浦288種.排列插空法：元素相離即不相鄰問(wèn)題,可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列,再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端.將n個(gè)不同元素排成一排,其中k個(gè)元素互不相鄰knk,有多少種排法？先把nk個(gè)元素排成一排,然后把k個(gè)元素插入nk1個(gè)空隙中,共有排法大種.例3五位科學(xué)家和五名中學(xué)生站成一排照像,中學(xué)生不相鄰的站法有多少種？本材料第 1 1 頁(yè)共 1616 頁(yè)解：先把科學(xué)家作排列,共有A5種排法；然后把 5 5 名中學(xué)生插入 6 6 個(gè)空中,共有解種排

4、法,故符合條件的站法共有A-A86400種站法.例4.七位同學(xué)并排站成一行,如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰,那么不同的排法種數(shù)是A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種解析：除甲乙外,其余5個(gè)排列數(shù)為A5種,再用甲乙去插6個(gè)空位有A2種,不同的排法種數(shù)是AA3600種,選B.3、定序問(wèn)題-倍縮法：在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序,可用縮小倍數(shù)的方法.此法也被叫消序法.將n個(gè)不同元素排列成一排,其中某k個(gè)元素的順序保持一定,有多少種不同排法？n個(gè)不同元素排列成一排,共有A：種排法；k個(gè)不同元素排列成一排共有Ak種不同排法.于n是,k個(gè)不同兀素順序一定的排法只占排列總數(shù)的A：分

5、之一.故符合條件的排列共勺種.Ak例5.a,b,c,d,e五人并排站成一排,如果b必須站在a的右邊a,b可以不相鄰那么不同的排法種數(shù)是A、24種B、60種C、90種D、120種解析：b在a的右邊與b在a的左邊排法數(shù)相同,所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列1數(shù)的一半,即A560種,選B.2例6.A,B,C,D,E五個(gè)元素排成一列,要求A在B的前面且D在E的前面,有多少種不同的排法？解：5個(gè)不同元素排列一列,共有A5種排法.A,B兩個(gè)元素的排列數(shù)為A2;D,E兩個(gè)元素的排列數(shù)為A.5因此,符合條件的排列法為噲方30種.A2A24、標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題-分步法：把元素排到指定位置上,可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入,

6、第二步再排另一個(gè)元素,如此繼本材料第 2 2 頁(yè)共 1616 頁(yè)續(xù)下去,依次即可完成.例7.將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)方格里,每格填一個(gè)數(shù),那么每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有A、6種B、9種C、11種D、23種解析：先把1填入方格中,符合條件的有3種方法,第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格,又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字,只有一種填法,共有3X3X1=9種填法,選B.5-留空排列一一借元法例8、一排10個(gè)坐位,3人去坐,每?jī)扇酥g都要留空位,共有種坐法.解：由題意,先借7人一排坐好,再安排3在8個(gè)空中找3個(gè)空插入,最后撤出借來(lái)的7人.得不同的坐

7、法共有A7A3/A；種.6、有序分配問(wèn)題-逐分法：有序分配問(wèn)題指把元素分成假設(shè)干組,可用逐步下量分組法例9.1有甲乙丙三項(xiàng)任務(wù),甲需2人承當(dāng),乙丙各需一人承當(dāng),從10人中選出4人承當(dāng)這三項(xiàng)任務(wù),不同的選法種數(shù)是A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種解析：先從10人中選出2人承當(dāng)甲項(xiàng)任務(wù),再?gòu)氖Ｏ碌?人中選1人承當(dāng)乙項(xiàng)任務(wù),第三步從另外的7人中選1人承當(dāng)丙項(xiàng)任務(wù),不同的選法共有CC8c72520種,選C.2學(xué)生會(huì)的12名同學(xué)分配到三個(gè)不同的年級(jí)對(duì)同學(xué)們進(jìn)行儀容儀表檢查,假設(shè)每個(gè)年級(jí)4人,那么不同的分配方案有答案：先從12人中選出4人到第一個(gè)年級(jí),再?gòu)氖Ｏ碌?人中選4人到第二個(gè)年

8、級(jí),第444三步從剩下的4人中選4人到第三個(gè)年級(jí),不同的選法共有C12C8c4種,選A.7、平均分堆問(wèn)題-除序法：例10.12本不同的書,平均分為3堆,不同的分法種數(shù)為多少種.解：先從12本書中選出4本到第一堆,再?gòu)氖Ｏ碌?本中選出4本到第二堆,第三步從_4_4_4_4_4_4一A、C12C8c4種B、3c12C8c4種C、C12C8A3種D、c4C4C4本材料第 3 3 頁(yè)共 1616 頁(yè)剩下的4本中選4本到第三堆,但題中是不要堆序,所以不同的分法共有8、全員分配問(wèn)題-分組法：例11.14名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所大學(xué)去,每所大學(xué)至少去一名,那么不同的保送方案有多少種？解析：把四名學(xué)生分成3組

9、有cj種方法,再把三組學(xué)生分配到三所大學(xué)有A3種,故共23有C4A336種方法.說(shuō)明：分配的元素多于對(duì)象且每一對(duì)象都有元素分配時(shí)常用先分組再分配25本不同的書,全局部給4個(gè)學(xué)生,每個(gè)學(xué)生至少一本,不同的分法種數(shù)為A、480種B、240種C120種D、96種答案：B.9、名額分配問(wèn)題-隔板法：例12:10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級(jí),每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額,有多少種不同分配方案？解析：10個(gè)名額分到7個(gè)班級(jí),就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成7堆,每堆至少一個(gè),可以在10個(gè)小千的9個(gè)空位中插入6塊木板,每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案,故共有不同的分配方案為C：84種.10、限制條件的分配問(wèn)題-分

10、類法：例13.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè),其中甲同學(xué)不到銀川,乙不到西寧,共有多少種不同派遣方案？解析：由于甲乙有限制條件,所以根據(jù)是否含有甲乙來(lái)分類,有以下四種情況：假設(shè)甲乙都不參加,那么有派遣方案A4種；假設(shè)甲參加而乙不參加,先安排甲有3種方法,然后安排其余學(xué)生有A3方法,所以共有3A3;假設(shè)乙參加而甲不參加同理也有3A3種；假設(shè)甲乙都參加,那么先安排甲乙,有7種方法,然后再安排其余8人到另外兩個(gè)城市有A2種,共有7A2M3A33A37A24088種.11、多元問(wèn)題-分類法：元素多,取出的情況也多種,可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計(jì)

11、數(shù),最后總計(jì).種.本材料第 4 4 頁(yè)共 1616 頁(yè)例141由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有A、210種B、300種C、464種D、600種解析：按題意,個(gè)位數(shù)字只可能是0,1,2,3,4共5種情況,分別有A5個(gè),1.1,3.1.1.3.1.1.3.1.3A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3個(gè),合并總計(jì)300個(gè),選B.2從1,2,3,100這100個(gè)數(shù)中,任取兩個(gè)數(shù),使它們的乘積能被7整除,這兩個(gè)數(shù)的取法不計(jì)順序共有多少種？解析：被取的兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)能被7整除時(shí),他們的乘積就能被7整除,將這100個(gè)數(shù)組成的集合視為全集I,

12、能被7整除的數(shù)的集合記做A7,14,21,|98共有14個(gè)元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做A1,2,3,4,|,100共有86個(gè)元素；由此可知,從A中任取2個(gè)元素的取法有G：,從A中任取一個(gè),又從A中任取一個(gè)共有GLC、,兩種情形共符合要求的取法有C；4C4c21295種.3從1,2,3,100這100個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),使其和能被4整除的取法不計(jì)順序有多少種？解析：將I1,2,3口,100分成四個(gè)不相交的子集,能被4整除的數(shù)集A4,8,12,|p00；能被4除余1的數(shù)集B1,5,9,|97,能被4除余2的數(shù)集C2,6,|,98,能被4除余3的數(shù)集D3,7,11,|99,易見(jiàn)這四個(gè)集合中每一

13、個(gè)有25個(gè)元素；從A中任取兩個(gè)數(shù)符合要；從B,D中各取一個(gè)數(shù)也符合要求；從C中任取兩個(gè)數(shù)也符合要求； 此外其它取法都不符合要求； 所以符合要求白取法共有C25C25c25C25種.12、交叉問(wèn)題-集合法：某些排列組合問(wèn)題幾局部之間有交集,可用集合中求元素個(gè)數(shù)公式n(AB)n(A)n(B)n(AB).例15.從6名運(yùn)發(fā)動(dòng)中選出4人參加4X100米接力賽,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少種不同的參賽方案？解析：設(shè)全集=6人中任取4人參賽的排列,A=甲跑第一棒的排列,B=乙跑第本材料第 5 5 頁(yè)共 1616 頁(yè)四棒的排列,根據(jù)求集合元素個(gè)數(shù)的公式得參賽方法共有：一4.3.3.2.n(I)n

14、(A)n(B)n(AB)入A5A5A4252種.13、定位問(wèn)題-優(yōu)先法：有限制條件,某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置,通常要優(yōu)先考慮這個(gè)或幾個(gè)元素受限位置或受限元素,再排其它的元素.假設(shè)反面情況較為簡(jiǎn)單時(shí),那么用排除法求解.例16.乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員,現(xiàn)要派5名參加比賽,3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置,其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置,那么不同的出場(chǎng)安排共有種用數(shù)字作答.解：由題意,先安排3名主力隊(duì)員在第一、三、五位置,有A3種；再安排其余7名隊(duì)員選2名在第二、四位置有A2種；由乘法原理,得不同的出場(chǎng)安排共有A3A252種.例17.1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念

15、,假設(shè)老師不站兩端那么有不同的排法有多少種？解析：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有A1種,4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有A4種方法；14所以共有A3A472種.14、多排問(wèn)題-單排法：把元素排成幾排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮,再分段處理.例18.16個(gè)不同的元素排成前后兩排,每排3個(gè)元素,那么不同的排法種數(shù)是A、36種B、120種C、720種D、1440種解析：前后兩排可看成一排的兩段,因此此題可看成6個(gè)不同的元素排成一排,共A6720種,選C.28個(gè)不同的元素排成前后兩排,每排4個(gè)元素,其中某2個(gè)元素要排在前排,某1個(gè)元素排在后排,有多少種不同排法？解析：看成一排,某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè),

16、有8種,某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有A4種,其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有A5種,故共有_1_2_5兒A4A55760種排法.15、“至少“至多問(wèn)題一間接排除法或分類法：例19.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái),其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái),那么本材料第 6 6 頁(yè)共 1616 頁(yè)不同的取法共有A、140種B、80種C、70種D、35種解析1:逆向思考,至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào),不取另一種型號(hào)的電視機(jī),故不同的取法共有c3C43C；70種,選.C解析2:至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2.一一.2112臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有C5

17、c4C5c470臺(tái),選C.16、選排問(wèn)題-先取后排法：從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素,再安排到一定的位置上,可用先取后排法.例20.1四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒中,那么恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？2解析：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組,另二組各一個(gè)球的萬(wàn)法有c4種,再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A3種,故共有c2A3144種.29名乒乓球運(yùn)發(fā)動(dòng),其中男5名,女4名,現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打練習(xí),有多少種不同的分組方法？解析：先取男女運(yùn)發(fā)動(dòng)各2名,有c；cj種,這四名運(yùn)發(fā)動(dòng)混和雙打練習(xí)有A中排法,故共有c5cA2120種.17、局部合條件問(wèn)題一排除法：在選取的總數(shù)中,只有一局部合條件,可

18、以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù),即為所求.例21.1以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有A、70種B、64種c、58種D、52種解析：正方體8個(gè)頂點(diǎn)從中每次取四點(diǎn),理論上可構(gòu)成c：四面體,但6個(gè)外表和6個(gè)對(duì)角面的四個(gè)頂點(diǎn)共面都不能構(gòu)成四面體,所以四面體實(shí)際共有c841258個(gè).2四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10點(diǎn),在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn),不同的取法共有A、150種B、147種c、144種D、141種解析：10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有c2種,其中四點(diǎn)共面的有三種情況：在四面體的四.,.,一44_4_4個(gè)面上,每面內(nèi)四點(diǎn)共面的情況為c6,四個(gè)面共有4c6c104c636141種.本材料第 7 7 頁(yè)共 1616

19、頁(yè)18、圓排問(wèn)題-直排法：把n個(gè)不同元素放在圓周n個(gè)無(wú)編號(hào)位置上的排列,順序 例如按順時(shí)鐘 不同的排法才算不同的排列,而順序相同即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合的排法認(rèn)為是相同的,它與普通排列的區(qū)別在于只計(jì)順序而首位、末位之分,以下n個(gè)普通排列：為a冏“卜；a?,a4|,anj“；an,aij|,an1在圓排列中只算一種,由于旋轉(zhuǎn)后可以重合,故認(rèn)為相同,n個(gè)元素的圓排列數(shù)有n1種.因此可將某個(gè)元素固定展成單排,其它n的n1元素全排列.例22.5對(duì)姐妹站成一圈,要求每對(duì)姐妹相鄰,有多少種不同站法？解析：首先可讓5位姐姐站成一圈,屬圓排列有A4種,然后在讓插入其間,每位均可插入其姐姐的左邊和右邊,有2種方式,

20、故不同的安排方式2425768種不同站法.說(shuō)明：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓形排列共有工町種不同排法.m19、可重復(fù)的排列-求帚法：允許重復(fù)排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象,元素不受位置的約束,可逐一安排元素的位置,一般地n個(gè)不同元素排在m個(gè)不同位置的排列數(shù)有mn種方法.例23.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)共有多少種不同方法？解析：完成此事共分6步,第一步；將第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種不同方案,第二步：將第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種不同方案,依次類推,由分步計(jì)數(shù)原理知共有76種不同方案.20、元素個(gè)數(shù)較少的排列組合問(wèn)題-枚舉法：例24.設(shè)有編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)為1,

21、2,3,4,5的盒子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球,并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)與盒子號(hào)相同,問(wèn)有多少種不同的方法？解析：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有C；種,還剩下3個(gè)球與3個(gè)盒子序號(hào)不能對(duì)應(yīng),利用枚舉法分析,如果剩下3,4,5號(hào)球與3,4,5號(hào)盒子時(shí),3號(hào)球不能裝入3號(hào)盒子,當(dāng)3號(hào)球裝入4號(hào)盒子時(shí),4,5號(hào)球只有1種裝法,3號(hào)球裝入5號(hào)盒子時(shí),4,5號(hào)球也只有1種裝法,所以剩下三球只有2種裝法,因此總共裝法數(shù)為2C；20種.本材料第 8 8 頁(yè)共 1616 頁(yè)21、復(fù)雜的問(wèn)題-對(duì)應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法:對(duì)應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方法,它可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題處理例25.1圓周

22、上有10點(diǎn),以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？解析：由于圓的一個(gè)內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線相交于圓內(nèi)一點(diǎn),一個(gè)圓的內(nèi)接四邊形就對(duì)應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn),于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個(gè)點(diǎn)可以確定多少個(gè)不同的四邊形,顯然有C：個(gè),所以圓周上有10點(diǎn),以這些點(diǎn)為端點(diǎn)的弦相交于圓內(nèi)的交點(diǎn)有C2個(gè).2某城市的街區(qū)有12個(gè)全等的矩形組成,其中實(shí)線表示馬路,從A到B的最短路徑有多少種？段,向北3段；而且前一段的尾接后一段的首,所以只要確定向東走過(guò)定路徑,因此不同走法有C；種.22、區(qū)域涂色問(wèn)題-分步與分類綜合法解答區(qū)域涂色問(wèn)題,一是根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,對(duì)各個(gè)區(qū)域分步涂色；二是根據(jù)共用了多少種顏色

23、分類討論；三是根據(jù)相間區(qū)域使用顏色的種數(shù)分類.以上三種方法常會(huì)結(jié)合起來(lái)使用.、的各局部涂色,每局部只涂一種顏色,相鄰局部涂不同顏色,那么不同的涂色方法有多少種？法1：A53A4240法2：A542A；240例28、一個(gè)地區(qū)分5個(gè)區(qū)域,現(xiàn)用4種顏色給地圖著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色那么不同的著色方法有多少種？本材料第 9 9 頁(yè)共 1616 頁(yè)解析：可將圖中矩形的一邊叫一小段,從A到B最短路線必須走7小段,其中：向東44段的走法,便能確法1.分步：涂有4種方法,涂有3種方法,涂有2種方法,/涂有2種方法,涂時(shí)需看與是否相同,因此分兩類.f4322432172法2.按用了幾種顏色分兩類：涂

24、了4色和3色432A2A：A A；7272例 2929、某城市在中央廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃,花圃分為6個(gè)局部如圖,現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花,每局部栽種一種且相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色,不同的栽種方法有種.(用數(shù)字作答y解法1：首先栽種第i局部,有C4種栽種方法；二1/；然后問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為用余下3種顏色的花,去栽種周圍的5個(gè)部分如右圖所示,廣對(duì)扇形2有3種栽種方法,扇形3有2種栽種方法,/5扇形4也有2種栽種方法,扇形5也有2種栽種方法,LJL-VJ1)扇形6也有2種栽種方法.2于是,共有324種不同的栽種方法.但是,這種栽種方法可能出現(xiàn)一一區(qū)域2與6著色相同的情形,這是不符合題意的,因此,答案應(yīng)從324中減

25、去這些不符合題意的栽種方法.這時(shí),把2與6看作一個(gè)扇形,其涂色方法相當(dāng)于用3種顏色的花對(duì)4個(gè)扇形區(qū)域栽種這種轉(zhuǎn)換思維相當(dāng)巧妙.1_4_1_2_一一一綜合和,共有C432(C322A311)4(4818)430120種.解法2:依題意只能選用4種顏色,要分5類1與同色、與同色,那么有A：；2與同色、與同色,那么有A4；3與同色、與同色,那么有A：；4與同色、與同色,那么有A：；5與同色、與同色,那么有A：；所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5A：=120種23、復(fù)雜問(wèn)題一-樹圖法(選組窮舉法)當(dāng)以上各法還難以解決時(shí),可用畫樹圖的方法解決.雖然原始、笨拙,但清楚、可靠.此法稱選組窮舉法,即將所有滿足

26、條件的排列一一列舉,探索出其規(guī)律.解：以 a,b,c,da,b,c,d 分別代替 4 4 種顏色的花.通過(guò)樹圖可知,完成此事共分6步,第一步有4方法；二步有3方法,第三步有2同方案,第四步也有2不同方法第五步有2種不同方案,然而第六步有？種不同方案？,不易看清！畫出樹圖,由圖知將四、五、六兩步并為一步,有5種方法.本材料第 1010 頁(yè)共 1616 頁(yè)于是共有432512024、復(fù)雜排列組合問(wèn)題-構(gòu)造模型法:例31.馬路上有編號(hào)為1,2,3,9九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞,但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞,也不能關(guān)掉兩端的兩盞,求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解析：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型,在6盞亮貨

27、T的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈C；種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說(shuō)明：一些不易理解的排列組合題,如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型,排隊(duì)模型,裝盒2正方體8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少隊(duì)異面直線？解析： 由于四面體中僅有3對(duì)異面直線,可將問(wèn)題分解成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成多少個(gè)不同的四面體,從正方體8個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四面體有C841258個(gè),所以8個(gè)頂點(diǎn)可連成的異面直線有3X58=174X.26、逆向問(wèn)題-方程法例33.平面上有相異的11個(gè)點(diǎn),每?jī)牲c(diǎn)連成一條直線,共得43條不同的直線.1這11個(gè)點(diǎn)中有無(wú)三點(diǎn)或三個(gè)以上的點(diǎn)共線？假設(shè)有共線,情形怎樣？2這11個(gè)點(diǎn)構(gòu)成多少個(gè)三角形？解：1設(shè)假設(shè)

28、有x條三點(diǎn)共線,y條四點(diǎn)共線,z條五點(diǎn)共線,于是有：C112x(C321)y(C421)z(C521)=43即23-2x-5y-9z-=0這方程的解只可能是：x=6,y=z=0或x=1,y=2,z=0.由此可知,這11個(gè)點(diǎn)中有6條三點(diǎn)共線或一條三點(diǎn)共和二條四點(diǎn)共線的情形.2由上可知這11個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)的情形有C1136C33=159或C113C32c42=156排列根底例題講習(xí)例1:7位同學(xué)站成一排,共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：7個(gè)元素的全排列一一A7=50407位同學(xué)站成兩排前3后4,共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7X6X5X4X3X2X1=7!=50407位同

29、學(xué)站成一排,其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法?模型可使問(wèn)題容易解決.25、復(fù)雜的排列組合問(wèn)題-分解與合成法：例32.130030能被多少個(gè)不同偶數(shù)整除?解析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2X3X5X7M1X13;依題意偶因數(shù)2必取,35,7,11,13這5個(gè)因數(shù)中任取假設(shè)干個(gè)組成成積,所有的偶因數(shù)為C；C5C；c53C；C；32個(gè).本材料第 1111 頁(yè)共 1616 頁(yè)解：?jiǎn)栴}可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列一一A6=720(4)7位同學(xué)站成一排,甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有A；種；第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有

30、A；種那么共有A2A；=240種排列方法7位同學(xué)站成一排,甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一直接法：第一步從除去甲、乙其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有A52種方法；第二步從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列全排列5.2.5有A種方法所以一共有A5A5=2400種排列方法.解法二：排除法假設(shè)甲站在排頭有A65種方法；假設(shè)乙站在排尾有A6種方法；假設(shè)甲站在排頭且乙站在排尾那么有A5種方法.所以甲不能站在排頭,乙不能排在排尾的排法共有A；2A6+A；=2400種.小結(jié)一：對(duì)于“在與“不在的問(wèn)題,常常使用“直接法或“排除法,對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮.例2：7位同學(xué)站成一排.、乙兩

31、同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？解：先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素同學(xué)一起進(jìn)行全排列有A6種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁進(jìn)行排列有A；種方法.所以這樣的排法一共有A(6A；=1440種.、乙和丙三個(gè)同學(xué)都相鄰的排法共有多少種？解：方法同上,一共有A；A：=720種.、乙兩同學(xué)必須相鄰,而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？解法一：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾,所以可以從其余的5個(gè)元素中選取2個(gè)元素放在排頭和排尾,有A；種方法；將剩下的4個(gè)元素進(jìn)行全排列有A4種方法；最后將甲、乙_2.242兩個(gè)同學(xué)松綁進(jìn)行排列

32、有A2種方法.所以這樣的排法一共有A5AA2=960種方法.解法二：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,假設(shè)丙站在排頭或排尾有2A5種方法,所以丙不能站在排頭和排尾的排法有(A62A5bA960種方法.解法三：將甲、乙兩同學(xué)“捆綁在一起看成一個(gè)元素,此時(shí)一共有6個(gè)元素,因?yàn)楸荒苷驹谂蓬^和排尾,所以可以從其余的四個(gè)位置選擇共有A4種方法,再將其余的5個(gè)元素進(jìn)行全排列共有A5種方法,最后將甲、 乙兩同學(xué)“松綁,所以這樣的排法一共有A1AA=960種方法.本材料第 1212 頁(yè)共 1616 頁(yè)小結(jié)二：對(duì)于相鄰問(wèn)題,常用“捆綁法先捆后松例3:7位同學(xué)站成一排.、乙兩同學(xué)不能相

33、鄰的排法共有多少種？解法一：排除法AAA3600解法二：插空法先將其余五個(gè)同學(xué)排好有A5種方法,此時(shí)他們留下六個(gè)位置就稱為“空吧,再將甲、乙同學(xué)分別插入這六個(gè)位置空有儲(chǔ)種方法,所以一共有_5_2A5A63600種方法.甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？解：先將其余四個(gè)同學(xué)排好有A4種方法,此時(shí)他們留下五個(gè)“空,再將甲、乙和丙三個(gè)同學(xué)分別插入這五個(gè)“空有A53種方法,所以一共有A4A53=1440種.小結(jié)三：對(duì)于不相鄰問(wèn)題,常用“插空法特殊元素后考慮.例4：從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單,如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上,那么共有多少種不同的排法？解

34、法一：從特殊位置考慮NA；136080解法:從特殊兀素考慮假設(shè)選：5Ag假設(shè)不選：Ag那么共有5Ag+Ag=136080解法三：間接法A60A；136080例5:八個(gè)人排成前后兩排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,那么共有多少種不同的排法？略解：甲、乙排在前排A：;丙排在后排A：;其余進(jìn)行全排列A55.所以一共有A：A4A5=5760種方法.不同的五種商品在貨架上排成一排,其中 a,ba,b 兩種商品必須排在一起,而 c,dc,d 兩種商品不排在一起,那么不同的排法共有多少種？略解：“捆綁法和“插空法的綜合應(yīng)用a a,b b 捆在一起與 e e 進(jìn)行排列有A；此時(shí)留下三個(gè)空,將

35、c,dc,d 兩種商品排進(jìn)去一共有 A A；最后將 a a,b b“松綁有尾,所以一_2_2.2共有A2A3A2=24種方法.6張同排連號(hào)的電影票,分給3名教師與3名學(xué)生,假設(shè)要求師生相間而坐,那么不同的坐法有多少種？略解：分類假設(shè)第一個(gè)為老師那么有A3A3；假設(shè)第一個(gè)為學(xué)生那么有AA3所以一共有2A33A；=72種方法.例6:由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？略解：A5AAA；A55325由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字,并且比13000大的正整數(shù)？解法一：分成兩類,一類是首位為1時(shí),十位必須大于等于3有A3A；種方法；另一類是首位不為1,有A：種

36、方法.所以一共有A3A；A；A：114個(gè)數(shù)比13000大.本材料第 1313 頁(yè)共 1616 頁(yè)解法二：排除法比13000小的正整數(shù)有A3個(gè),所以比13000大的正整數(shù)有A3A=114個(gè).例7:用1,3,6,7,8,9組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),由小到大排列.第114個(gè)數(shù)是多少？3796是第幾個(gè)數(shù)？解：由于千位數(shù)是1的四位數(shù)一共有A60個(gè),所以第114個(gè)數(shù)的千位數(shù)應(yīng)該是“3,十位數(shù)字是“1即“31開頭的四位數(shù)有A：12個(gè)；同理,以“36、“37、“38開頭的數(shù)也分別有12個(gè),所以第114個(gè)數(shù)的前兩位數(shù)必然是“39,而“3968排在第6個(gè)位置上,所以“3968是第114個(gè)數(shù).由上可知“37開頭的數(shù)的

37、前面有60+12+12=84個(gè),而3796在“37開頭的四位數(shù)中排在第11個(gè)倒數(shù)第二個(gè),故3796是第95個(gè)數(shù).例8:用0,1,2,3,4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中能被25整除的數(shù)有多少個(gè)？十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的有多少個(gè)？解：能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50兩種,末尾為50的四位數(shù)有A：個(gè),末尾為25的有A3A3個(gè),所以一共有A2+A3A3=21個(gè).注：能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50,75,00四種情況.用0,1,2,3,4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),一共有A5A；300個(gè).由于在這300個(gè)數(shù)中,十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的大小關(guān)系是“等可能的,所以十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的有1A5A；150個(gè).參考練習(xí)1.有6張椅子排成一排,現(xiàn)有3人就座,恰有兩張空椅子相鄰的不同坐法數(shù)是-()2.由1、2、3、4組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列人排成一排,其中甲、乙之間至少有一人的排法種數(shù)為4.用0、1、2、3、4、5、6組成滿足以下條件的數(shù)各多少個(gè)？1無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；2無(wú)重復(fù)數(shù)字