用牛頓法求解非線性方程

1、實(shí)驗(yàn)七非線性方程求根一、實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)1,掌握常用的非線性方程求根算法二分法、不動(dòng)點(diǎn)迭代法與Newton法及加速技術(shù)Aitken力口速與Steffsen力口速.2.會(huì)編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)給定迭代函數(shù)的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.二、實(shí)驗(yàn)問(wèn)題求代數(shù)方程fx=x33x5=0的實(shí)根.三、實(shí)驗(yàn)要求、仙?*5-2135.21A、-+上1.方程有一個(gè)實(shí)根：x=化2.27902.將方程以下面六種不322 .對(duì)每一種迭代格式,編制一個(gè)程序進(jìn)行運(yùn)算,觀察每種格式的斂散情況；用事后誤差估計(jì)|xk書(shū)-xk|tol,tol=10來(lái)限制迭代次數(shù),并且輸出迭代的次數(shù)；觀察不同初值的結(jié)果.3,從理論上分析各種格式

2、的收斂性及收斂階.4.將收斂較慢的一種格式分別用Atken方法及Steffsen方法加速,通過(guò)輸出結(jié)果了解加速效果.5,將一種不收斂的方法用Steffsen方法加速得到收斂的迭代.、.、.一.*同方式等價(jià)地改寫(xiě),構(gòu)造迭代格式,計(jì)算x:3x5x3-5(a)x=-2-,(b)x=,x2355(d)x=2(e)x=.3一一,x-3x(f)x=x一一31x3-3x-5x2-1數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)附錄一：?數(shù)值分析?實(shí)驗(yàn)報(bào)告(模板)實(shí)驗(yàn)課題用牛頓迭代法求非線性方程根【實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)】明確實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)1,掌握常用的非線性方程求根算法(二分法、不動(dòng)點(diǎn)迭代法與Newton法)及加速技術(shù)(Aitken力口速與Steffsen

3、力口速).2.會(huì)編寫(xiě)計(jì)算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)給定迭代函數(shù)的迭代算法及其加速；掌握迭代算法的精度控制方法.3探索不同方式改寫(xiě)方程的收斂程度【理論概述與算法描述】1.牛頓法設(shè)方程f(x)=0有近似根xk,將函數(shù)f(x)在點(diǎn)xk展開(kāi),有f(x)=f(xk)+f(xk)(x-xk),于是方程可表示為f(xk)+f,(xk)(x-xk)=0,這是個(gè)線性方程,記其根為x(k+1),那么x(k+1)=xk-f(xk)/f(xk),這就是牛頓迭代法求根.2,埃特金加速收斂方法設(shè)x0是根x的某個(gè)近似值,用迭代一次得x1=P(xo),而由微分中值定理,有*,x1-X=?(%)-中(X)=9(-)(Xo-X)其中介于x和xo

4、之間假設(shè)中(x)改變不大,近似地取某個(gè)近似值L,那么有*、x-xL(xo-x)假設(shè)將校正值為=*(刈)再迭代一次,又得刈=中()由于4-乂L(x1-x)將它與前面的式子聯(lián)立,消去未知的L,有*出一xxo-x-1&-*x2-xx一x由此推知xx2-x1x2-2x1%(x1-xo)2x2-2x1%數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)(xk1-xk)xk1=xkxk-xk1xk.2稱為埃特金加速方法.3.斯特芬森迭代法將埃特金加速技巧與不動(dòng)點(diǎn)迭代結(jié)合,那么可得到如下的迭代法yk=(x)Zk=(Yk)即為斯特芬森迭代法【實(shí)驗(yàn)問(wèn)題】同方式等價(jià)地改寫(xiě),構(gòu)造迭代格式,計(jì)算3 .對(duì)每一種迭代格式,編制一個(gè)程序進(jìn)行運(yùn)算,觀

5、察每種格式的斂散情況；用事后誤差估計(jì)|xk書(shū)-xk|tolx0=x1;數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)g1=fun1(x0);g2=fun2(x0);k=k+1;x1=x0-g1/g2;endk;x=x1;da=abs(x1-x0)/2;g=fun1(x);endfunctiong1=fun1(x)g1=xA3-3*x-5;endfunctiong2=fun2(x)g2=3*xA2-3;endfunctiong1=fun1(x)g1=xA3-3*x-5;endfunctionx=Aitken(A);n=length(A);x=zeros(n,1);t=0;x(1)=A(1);fori=1:n-2x(i+1)=

6、A(i)-(A(i+1)-A(i)A2)/(A(i)-2*A(i+1)+A(i+2);endfunctionx=Steffsen(A,B)n=length(B);x=zeros(n,1);x(1)=B(1);fori=2:nx(i)=A(i)-(B(i-1)-A(i)A2)/(B(i)-2*B(i-1)+A(i);end%構(gòu)造迭代算法x=(3*x+5)/(xA2)數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)functionx=diedai1(x0,tol,N)%x0是初值,tol為迭代精度,N是迭代最大次數(shù)x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=(3*x(i-1

7、)/(x(i-1)A2);endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend%構(gòu)造迭代算法x=(xA3-5)/3functionx=diedai2(x0,tol,N)%x0是初值,tol為迭代精度,N是迭代最大次數(shù)x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=(x(i-1)A3-5)/3;endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend%構(gòu)造迭代算法x=(3*x+5)A(1/3)functionx=diedai3(x0,tol,N)%x0是初值,tol

8、為迭代精度,N是迭代最大次數(shù)數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=(3*x(i-1)+5)A(1/2);endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend%構(gòu)造迭代算法x=5/(xA2-3)functionx=diedai4(x0,tol,N)%x0是初值,tol為迭代精度,N是迭代最大次數(shù)x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=5/(x(i-1)A2-3);endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs

9、(t)=tolbreak;endend%構(gòu)造迭代算法x=sqrt(3+5/x)functionx=diedai5(x0,tol,N)%x0是初值,tol為迭代精度,N是迭代最大次數(shù)第1010頁(yè)數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)x=zeros(N,1);x(1)=x0;k=1;t=0;whilek=Nfori=2:Nx(i)=sqrt(3+5/x(i-1);endk=k+1;t=x(i)-x(i-1);ifabs(t)=tolbreak;endend%構(gòu)造迭代算法x=x-(xA3-3*x-5)/(3*(xA2-1)functionx=diedai6(x0,tol,N)%x0是初值,tol為迭代精度,N是迭代最大次數(shù)x=zero