高等數(shù)學(xué)備課資料：第八章 空間解析幾何與向量代數(shù) 07 第七節(jié) 空間直線及其方程

1、第七節(jié) 空間直線及其方程分布圖示 空間直線的一般方程 例1 空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程 例2 例3 直線的兩點(diǎn)是方程 兩直線的夾角 例4 例5 直線與平面的夾角 例6 平面束 例7 例8 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題8-7 返回內(nèi)容要點(diǎn) 一、空間直線的一般方程： 二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程： 三、兩直線的夾角設(shè)，分別是直線，的方向向量，則與的夾角應(yīng)是和 兩者中的銳角. 因此. 仿照對(duì)于平面夾角的討論可以得到下列結(jié)果.（1） ；（2）的充要條件是；（3）的充要條件是 四、直線與平面的夾角（1）設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量直線與平面的夾角為，則 ；（2）的充要條件是（3）的充要條件是五

2、、平面束通過空間一直線可作無窮多個(gè)平面, 通過同一直線的所有平面構(gòu)成一個(gè)平面束.設(shè)空間直線的一般方程為則方程稱為過直線L的平面束方程, 其中為參數(shù).注: 上述平面束包含了除平面之外的過直線L的所有平面.例題選講空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程例1 求過點(diǎn)且與兩個(gè)平面和的交線平行的直線的方程.解 先求過點(diǎn)且與已知平面平行的平面 即 所求直線的一般方程為:例2 (E01) 設(shè)一直線過點(diǎn)且與y軸垂直相交, 求其方程.解 因?yàn)橹本€和軸垂直相交,所以交點(diǎn)為所求直線方程例3 (E02) 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線 解 在直線上任取一點(diǎn)例如,取得點(diǎn)坐標(biāo)因所求直線與兩平面的法向量都垂直,可取對(duì)稱式方程 參數(shù)

3、方程 兩直線的夾角例4 (E03) 求過點(diǎn)且與兩平面和 的交線平行于的直線方程.解 設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程例5 求過點(diǎn)M(2, 1, 3)且與直線垂直相交的直線方程.解 先作一過點(diǎn)且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平面的交點(diǎn)令 代入平面方程得交點(diǎn)取所求直線得方向向量為所求直線方程為 直線與平面的夾角例6 (E04) 設(shè)直線平面求直線與平面的夾角.解 為所求夾角.平面束例7 (E05) 過直線作平面, 使它垂直于平面解 設(shè)過直線的平面束的方程為即現(xiàn)要在上述平面束中找出一個(gè)平面圖使它垂直于題設(shè)平面因平面垂直于平面故平面的法向量垂直于平面的法向量于是即解得故所求平面方程為容易驗(yàn)證，平面不是所求平面.例8 在一切過直線L: 的平面中找出平面, 使原點(diǎn)到它的距離最長(zhǎng).解 設(shè)通過直線的平面束方程為即要使為最大,即使為最小，得故所求平面的方程為易知，原點(diǎn)到平面的距離為故平面非所求平面.課